新疆
高中物理中所涉及的系統(tǒng)內(nèi)力做功問題,例如彈力做功,摩擦力做功,磁場力做功,碰撞中的彈力做功等,在這些相互作用中,作用力與反作用力做功的代數(shù)和由什么決定?并且這個代數(shù)和與能量轉(zhuǎn)化的關(guān)系是怎樣的?本文從探討高中物理中課堂教學(xué)的常見模型出發(fā),探討“一對內(nèi)力功”代數(shù)和的問題。
力在空間的累積效果叫作功,而且力的作用是相互的,由兩個或兩個以上的質(zhì)點組成的系統(tǒng)叫作質(zhì)點組或者質(zhì)點系,質(zhì)點系以外的物體均稱為外界,外界對質(zhì)點系內(nèi)質(zhì)點的作用力稱為外力,質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點間的相互作用力稱為內(nèi)力。然而內(nèi)力功的問題在高中階段是難點,例如兩個質(zhì)點A和B,內(nèi)力的大小為FAB(A對B的力)和FBA(B對A的力),F(xiàn)AB和FBA做的功分別為WAB和WBA,由于兩質(zhì)點A、B的運動情況不相同,WAB與WBA可能為零,可能都為正值,可能一正一負相加為零;也可能一正一負相加不為零。我們感興趣的是這一對內(nèi)力功的代數(shù)和什么時候為零,什么時候不為零,功又是能量轉(zhuǎn)化的量度,當(dāng)這個代數(shù)和不為零時,能量又是怎樣轉(zhuǎn)化的?
如圖1中,表面為弧形的光滑斜劈A放在一個光滑的水平面上靜止,現(xiàn)在斜劈頂端處無初速度釋放一個小物塊B,在小物塊下滑的過程中,A、B間彈力對斜劈做的功與對小物塊做的功的代數(shù)和為多少?
圖1
解:設(shè)重力對B做的功為WGB,彈力對A做的功為WA,彈力對B做的功為WB,對A、B組成的系統(tǒng)由動能定理有WA+WB+WGB=ΔEkA+ΔEkB①
ΔEkA和ΔEkB分別表示A、B兩物體動能的增量。
由于A、B系統(tǒng)內(nèi)僅有動能和重力勢能相互轉(zhuǎn)化,故系統(tǒng)機械能守恒-ΔEpB=ΔEkA+ΔEkB②
重力做功與重力勢能變化的關(guān)系WGB=-ΔEpB③
聯(lián)立①②③解得WA+WB=0 ④
可見,以上的解法由動能定理和機械能守恒定律聯(lián)立得出內(nèi)力功之和為零,并沒有從正面直接解決問題,理由是機械能守恒的前提是系統(tǒng)外力不做功,系統(tǒng)內(nèi)非保守力也不做功(這里的保守力僅限于重力和彈簧彈力),支持力和壓力是非保守力,既然認(rèn)為機械能守恒,也就默認(rèn)了非保守力不做功,即這一對彈力做功之和為零,也就沒有證明的必要了。
如圖2,這是2014年海南的高考題,質(zhì)量相同的兩物體a、b間用不可伸長的輕繩跨接在一光滑的輕質(zhì)定滑輪兩側(cè),a在水平桌面的上方,b在水平粗糙桌面上,初始時用力壓住b使a、b靜止,撤去此壓力后,a開始運動。在a下降過程中,b始終未離開桌面,在此過程中“D.繩的拉力對a做的功與對b做功的代數(shù)和為零”這是其中的一個選項。我們設(shè)ΔEa和ΔEb分別表示a,b機械能的增加量,Wf表示摩擦力對b做的功,Q表示產(chǎn)生的內(nèi)能,對a、b系統(tǒng)用能量守恒定律有-ΔEa=ΔEb+Q①
圖2
由功能關(guān)系知Wa+Wb+Wf=ΔEa+ΔEb②
由功能關(guān)系知Wf=-Q③
聯(lián)立①②③得Wa+Wb=0 ④
在這個問題中a、b系統(tǒng)的機械能是減小的,即機械能不守恒,我們依然得出了這一對內(nèi)力功之和為零的結(jié)論。我們還可以推測在1.1中,若斜劈A與地面之間有滑動摩擦,可以斷定,那一對彈力功之和依然為零,具體證明如下:設(shè)摩擦力對斜劈A做的功為Wf,產(chǎn)生的內(nèi)能為Q,ΔEA和ΔEB分別表示A、B機械能的增加量,對A、B系統(tǒng)用功能關(guān)系,有WA+WB+Wf=ΔEA+ΔEB④
對A、B系統(tǒng)用能量守恒定律有-ΔEB=ΔEA+Q⑤
由功能關(guān)系知Wf=-Q⑥
聯(lián)立④⑤⑥得WA+WB=0 ⑦
可見,一對內(nèi)力功之和是否等于零和機械能守恒與否無關(guān)。
如圖3,彈簧對物體A的彈力與對物體B的彈力是一對內(nèi)力,A、B兩物體放在光滑的水平面,其間連一彈簧,現(xiàn)給物體A一個初速v0,從開始到彈簧長度最短時,彈力對物體A、物體B做的功分別為WA、WB,A、B動能的增加量分別為ΔEkA和ΔEkB,(ΔEkA<0)彈簧彈性勢能的增加量為ΔEp,對A、B系統(tǒng)列動能定理WA+WB=ΔEkA+ΔEkB①
圖3
對A、B系統(tǒng)列能量守恒定律-ΔEkA=ΔEkB+ΔEp②
聯(lián)立①②得WA+WB=-ΔEp③
這說明:一對彈簧彈力做功的代數(shù)和等于其彈性勢能的減少量。我們可以看到,物體A位移大于物體B位移,故|WA|>WB,即WA+WB<0,將③式改成-(WA+WB)=ΔEp,可以看出,克服一對彈簧彈力做的功等于系統(tǒng)彈性勢能的增加量。
反思:這里的WA+WB為什么不等于零呢?很顯然是由于A、B兩物體的位移不一樣大,導(dǎo)致彈簧長度發(fā)生了變化,即動能轉(zhuǎn)化為彈性勢能。
如圖4,木板B在光滑的水平面勻速向右運動,這時,無初速度釋放一物塊A,最終二者一起勻速運動(物塊A沒有從木板B上掉下),若在這個過程中,摩擦力對物塊A做的功為WfA,對木板B做的功為WfB,因摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能為Q,用ΔEkA和ΔEkB分別表示A、B動能的增加量,在沒有計算之前,有讀者會認(rèn)為|WfB|=Q,認(rèn)為木板B克服摩擦力做的功等于產(chǎn)生的內(nèi)能。但是,木板B克服摩擦力做的功等于其動能的減少,如果全部等于產(chǎn)生的內(nèi)能,那么物塊A的動能增大又怎么解釋呢?
圖4
對系統(tǒng)A、B列動能定理WfA+WfB=ΔEkA+ΔEkB①
對系統(tǒng)A、B列能量守恒-ΔEkB=ΔEkA+Q②
聯(lián)立①②得-(WfA+WfB)=Q③
這說明:克服一對滑動摩擦力做功之和等于內(nèi)能的增加量(也就是我們平時所說的Q=fs相對)
反思:這里的WfA+WfB為什么不等于零呢?很顯然,物塊A與木板B的位移不一樣大,導(dǎo)致物塊A在木板B上滑動,從而產(chǎn)生了內(nèi)能。
在電磁感應(yīng)現(xiàn)象中,對于動生電動勢的能量轉(zhuǎn)換,我們常說“克服安培力做的功等于產(chǎn)生的電能”。但是,這句話是不完整的,例如在電磁驅(qū)動中,安培力是物體運動的動力,不存在“克服”這一說法,何況,這時安培力做了功,使物體具有動能,而不是電路中的電能,關(guān)于這個問題,是否也涉及到內(nèi)力功的問題呢?
如圖5,光滑平行金屬導(dǎo)軌固定在水平面上,左端由導(dǎo)線相連,導(dǎo)體棒垂直靜置于導(dǎo)軌上構(gòu)成回路。在外力F作用下,回路上方的條形磁鐵豎直向上做勻速運動。在勻速運動過程中外力F做功WF,磁場力對導(dǎo)體棒做功W1,磁鐵克服磁場力做功W2,重力對磁鐵做功WG,回路中產(chǎn)生的焦耳熱為Q,導(dǎo)體棒獲得的動能為Ek。則
( )
圖5
A.W1=QB.W2-W1=Q
C.W1=EkD.WF+WG=Ek+Q
對導(dǎo)體棒列動能定理,可知C項正確,對磁鐵和導(dǎo)體棒組成的系統(tǒng)列動能定理WF+W1-W2+WG=Ek①
對系統(tǒng)列能量守恒WF=Ek+ΔEp+Q②
由功能關(guān)系WG=-ΔEp③
聯(lián)立②③,可知D正確,再由D項和①聯(lián)立,可知B正確。
B項是什么意思呢?如果我們將它寫成
-(-W2+W1)=Q④
其中-W2為磁場力對磁鐵做的功,W1為磁場力對導(dǎo)體棒做的功,-W2+W1為這一對磁場力做功之和,這個和為負值,這也是顯而易見的,括號前面的負號表示“克服”。因此,我們可以說“克服一對磁場力做功之和等于電能”,然而,造成這一對內(nèi)力做功之和不為零的原因是磁鐵與導(dǎo)體棒發(fā)生了相對運動,導(dǎo)致機械能轉(zhuǎn)化為電能。下面我們繼續(xù)討論電磁驅(qū)動中內(nèi)力功的問題。
如圖6,是一個磁懸浮列車的原理簡化圖,紙面為軌道平面,垂直紙面向里和向外的磁場相互間隔,每個磁場的長和寬分別為s和l,矩形線框abcd(與磁場的長,寬相同)固定在車廂底板,當(dāng)磁場以速度v0向右勻速運動時,線框也跟著向右運動,當(dāng)線框的速度為v時(v 圖6 線框產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為E=2Bl(v0-v)① 將①兩邊同乘以電流I,得EI=2IBl(v0-v)② 安培力F=2IlB③ 而電功率P電=EI④ 聯(lián)立②③④可得P電=Fv0-Fv⑤ 將⑤變形為-(-Fv0+Fv)=P電⑥ 其中,-Fv0表示安培力對磁場做功的功率,F(xiàn)v表示安培力對線框做功的功率,-Fv0+Fv表示一對安培力功率之和,-(-Fv0+Fv)表示克服這一對安培力功率之和,故⑤的含義是克服這一對安培力功率之和等于電功率,如果兩邊同乘以時間t,我們就可以說克服這一對安培力做功之和等于產(chǎn)生的電能。然而,造成這一對內(nèi)力功之和不為零的原因是線框與磁場之間發(fā)生了相對運動,產(chǎn)生了電能,這一對安培力做功之和為負值是必然結(jié)果。 (a) (b) 這一對內(nèi)力元功的代數(shù)和為 表明兩質(zhì)點間相互作用力的元功的代數(shù)和等于力與相對元位移的標(biāo)積。 表明一對作用力和反作用力做功的代數(shù)和取決于力和質(zhì)點間的相對位移,即一對內(nèi)力功的代數(shù)和等于力乘在力的方向上的相對位移,功的正負由力的正負和力的方向上位移的正負決定,可以得出,兩質(zhì)點在力的方向上沒有發(fā)生相對運動時,內(nèi)力功的代數(shù)和為零,這句話是判斷一對內(nèi)力功之和是否等于零的依據(jù)。到這里我們不禁想起碰撞問題,在一維非彈性碰撞中,兩物體在力的方向上有相對運動(物體發(fā)生了形變),內(nèi)力功之和不為零而是一個負值,故系統(tǒng)機械能不守恒,而這個和的絕對值為系統(tǒng)損失機械能的值,在彈性碰撞中,物體碰撞后恢復(fù)了原狀,兩物體在力的方向上沒有發(fā)生相對運動,內(nèi)力功之和為零,機械能無損失,故守恒?,F(xiàn)在,也很容易解釋了為什么完全非彈性碰撞損失的機械能最多的問題。4.理論證明