文|何月豐

2020年12月9日，周三

今日要教學(xué)“商的變化規(guī)律”，腦海里浮現(xiàn)出以前這節(jié)課教學(xué)之后學(xué)生做習(xí)題時(shí)的景象，于是在讀完《教師教學(xué)用書》上的“教材解讀”和“教學(xué)建議”之后，趕緊翻開配套的作業(yè)本查看。因?yàn)槲乙呀?jīng)不止一次在這個(gè)事情上“翻船”了——按照《教師教學(xué)用書》的建議進(jìn)行教學(xué)，結(jié)果作業(yè)本上的習(xí)題超出了“教材解讀”中的要求，學(xué)生和我都苦不堪言。

下圖是《商的變化規(guī)律》一課同步作業(yè)本上的最后一題。

真是不看不知道，一看嚇一跳。如果依據(jù)教材，通過觀察幾組除法算式得出“商的變化規(guī)律”，面對(duì)這道習(xí)題時(shí)我和學(xué)生豈不又要苦不堪言了！

如何在教學(xué)之后使學(xué)生能較好地解答這道題？這個(gè)困惑讓我陷入了思考。思之思之，猛然覺得，這道習(xí)題所要求的解題思路，不正是“商的變化規(guī)律”的原形嗎？于是，一個(gè)新的教學(xué)設(shè)想在心中逐步形成，趕緊記錄下教學(xué)流程，帶著信心走進(jìn)了教室。

師：我們這段時(shí)間在學(xué)除法，我寫幾道題大家算一算。

先板書“16÷8=”，請(qǐng)學(xué)生口答并板書答案。繼續(xù)板書“160÷8=”。

師：現(xiàn)在等于幾呢？

學(xué)生基于現(xiàn)在的水平，馬上一起回答等于“20”。我寫出答案后繼續(xù)板書“320÷8=”，詢問答案，板書“40”。繼續(xù)完成“640÷8”的計(jì)算。

此時(shí)形成一組板書：

師：請(qǐng)大家看一看這些算式，有沒有特殊的地方？

生：除數(shù)都是8。

我結(jié)合學(xué)生的回答，與大家一起關(guān)注除數(shù)，并用紅色粉筆在8下面畫橫線凸顯。

師：除了除數(shù)都是8，你還有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

此處《教師教學(xué)用書》的建議是“提出問題：每組題中的什么數(shù)變了？什么數(shù)沒變？除數(shù)（或被除數(shù)）和商的變化有什么特點(diǎn)？”我沒有采取這個(gè)建議，因?yàn)槲艺J(rèn)為這樣太瑣碎了，所以讓學(xué)生整體觀察，自己發(fā)現(xiàn)。

生：我發(fā)現(xiàn)被除數(shù)都是乘2，商也一樣。

此話一出，已經(jīng)有學(xué)生表示反對(duì)了。大家圍繞第1、2兩個(gè)算式進(jìn)行比較，證明這個(gè)發(fā)現(xiàn)不對(duì)。

生：我發(fā)現(xiàn)除數(shù)不變，被除數(shù)乘幾，商也乘幾。

我沒想到這個(gè)答案會(huì)來得這么快且清晰！“銅鑰匙”獎(jiǎng)勵(lì)。一些學(xué)生對(duì)于這次獎(jiǎng)勵(lì)有意見，認(rèn)為太簡(jiǎn)單了不足以用“銅鑰匙”。

師：這個(gè)發(fā)現(xiàn)并不簡(jiǎn)單。不信的話，誰再來把這個(gè)發(fā)現(xiàn)講一遍？

請(qǐng)了三位學(xué)生，都不能達(dá)到上述清晰的程度，至此大家認(rèn)可了此次獎(jiǎng)勵(lì)。

師：現(xiàn)在我們一起來把這個(gè)發(fā)現(xiàn)講一遍。

與學(xué)生一起講的時(shí)候，配合板書進(jìn)行標(biāo)識(shí)。

講完后，與學(xué)生一起用字母式將此發(fā)現(xiàn)進(jìn)行了表達(dá)。（在學(xué)“積的變化規(guī)律”時(shí)，已經(jīng)有過這樣的表達(dá)，因此學(xué)生對(duì)此并不陌生）

師：誰還有新的發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生都覺得不可思議，還能有什么新的發(fā)現(xiàn)？

師：想問題有時(shí)候需要倒過來想。

有了這個(gè)提醒，反應(yīng)快的學(xué)生馬上舉手了。

生：這些算式倒過來看就是除數(shù)不變，被除數(shù)除以幾，商也除以幾。

“銅鑰匙”獎(jiǎng)勵(lì)，然后結(jié)合黑板上的算式進(jìn)行理解，最后結(jié)合字母式表達(dá)形成如下板書。

師：現(xiàn)在誰能把這個(gè)發(fā)現(xiàn)合起來說一說？

學(xué)生獨(dú)立思考后各抒己見，然后統(tǒng)一說法，對(duì)此不再贅述。

師：學(xué)到這里，你們心里產(chǎn)生什么問題了？

學(xué)生提問，以問引學(xué)。

生：乘或除的這個(gè)數(shù)能是0嗎？

這是意料之外的，不過那么真實(shí)。一起討論，發(fā)現(xiàn)不能是0，板書“0除外”。

師：誰還有不一樣的問題？

生：如果被除數(shù)不變，除數(shù)乘幾，商會(huì)怎么變化呢？

意料之中，給予“銅鑰匙”獎(jiǎng)勵(lì)——好問題。

舉例、觀察、發(fā)現(xiàn)，并以“分蘋果”為例，理解為什么商的變化與除數(shù)的變化相反，（具體過程略）最后用字母式表達(dá)。（如下圖）

師：現(xiàn)在，誰能再合起來說一說我們的發(fā)現(xiàn)？（略）

師：學(xué)到現(xiàn)在，不知道你們心里有沒有新的問題產(chǎn)生呢？

話音剛落就有學(xué)生舉手了，說明下面這個(gè)問題不是此刻經(jīng)我提問后產(chǎn)生的，而是他們?cè)谇懊娴膶W(xué)習(xí)中就有了。

生：剛才都是一個(gè)數(shù)不變，如果兩個(gè)數(shù)都變會(huì)怎么樣？

師：好問題，“銅鑰匙”獎(jiǎng)勵(lì)！

板書“18÷6=3、180÷60”。

師：等于幾？

生：3。

師：有什么發(fā)現(xiàn)？

生：商不變。

師：對(duì)的。為什么商不變呢？

生：因?yàn)楸怀龜?shù)乘10，除數(shù)也乘10，所以商不變。

從道理上講，這樣的解釋完全正確。根據(jù)“教學(xué)建議”，這樣的解釋也可以了。但現(xiàn)在是要“發(fā)現(xiàn)道理”，且我還想要學(xué)生會(huì)解答作業(yè)本上的那道題，現(xiàn)在自然沒這么簡(jiǎn)單。畢竟，前面那么長(zhǎng)的鋪墊可不是用來做擺設(shè)的。

我隨著學(xué)生的解釋，完善板書。

師：好奇怪！被除數(shù)乘了10，除數(shù)也乘了10，怎么商是不變的呢？

學(xué)生陷入了慌亂！不過，還是有勇敢舉手的學(xué)生。

生：抵消了。

師：乘10和乘10怎么就抵消了呢？

我本來想刺激一下這位學(xué)生，讓他繼續(xù)往下講，可他卻坐下了?？磥硭^的“抵消”也是一種猜測(cè)。不過，這好像啟發(fā)了其他學(xué)生。

生：被除數(shù)乘10，商就乘10，除數(shù)乘10，商就除以10。這樣乘10和除以10就抵消了。

學(xué)生這下炸開了，似乎一下子都明白了，于是又請(qǐng)了兩位學(xué)生把這個(gè)理由復(fù)述了一遍。然后，我結(jié)合學(xué)生的說法跟進(jìn)板書。

師：看來不變真的是“抵消”了的原因，獎(jiǎng)勵(lì)！

繼續(xù)板書“360÷12”，練習(xí)運(yùn)用，解釋不變的原因。

此后，自然要用字母式來表示其規(guī)律了。

結(jié)合上述板書，總結(jié)“商不變性質(zhì)”。（略）

【日志解讀】

我相信，如果沒有作業(yè)本上的那道習(xí)題，對(duì)于“商的變化規(guī)律”的教學(xué)我會(huì)在學(xué)生發(fā)現(xiàn)“商不變”時(shí)就止步了。這樣的“發(fā)現(xiàn)”，已經(jīng)較好地完成教材對(duì)于這節(jié)課的教學(xué)要求，也符合《教師教學(xué)用書》的解讀和建議。然而作業(yè)本上的一道習(xí)題，讓我的教學(xué)又向前走了一步。這一步，將“商不變”不是作為一種特定的發(fā)現(xiàn)來對(duì)待，而是作為被除數(shù)和除數(shù)變化過程中的某一種現(xiàn)象來對(duì)待，是商隨著除數(shù)和被除數(shù)變化而變化過程中的一種比較特殊的情況而已。同時(shí)，字母表達(dá)式這樣的模型，也為學(xué)生解答相關(guān)習(xí)題提供了支撐。略感可惜的是，因?yàn)榍懊娴陌l(fā)現(xiàn)和推理耗時(shí)太多，導(dǎo)致來不及在課堂上做習(xí)題。不過從課后學(xué)生的作業(yè)情況看，效果還是不錯(cuò)的。

一次教學(xué)改進(jìn)，起因是作業(yè)本上的一道習(xí)題。這便是我在這則教學(xué)日志中所想表達(dá)的一個(gè)觀點(diǎn)：分析學(xué)生解題，助推教學(xué)改進(jìn)。

一、為什么學(xué)生解題可以助推教學(xué)改進(jìn)

研讀教材和研讀學(xué)生是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改進(jìn)的兩個(gè)重要抓手。研讀教材有助于我們更好地把握“教什么”，研讀學(xué)生有助于我們更好地把握“怎么教”。一直以來，對(duì)于教材的研讀，我們常常將重心落在例題教學(xué)上，與此相對(duì)應(yīng)，對(duì)于學(xué)生的研讀，我們的重心也就常常落在學(xué)生對(duì)例題的學(xué)習(xí)上。但是在實(shí)際教學(xué)過程中，我們的教學(xué)改進(jìn)常常還有第三個(gè)抓手——學(xué)生在解答習(xí)題中的表現(xiàn)。

如上教學(xué)日志中記錄的故事，對(duì)于“商的變化規(guī)律”，我研讀了教材和《教師教學(xué)用書》，也研讀過學(xué)生——這節(jié)課之前已經(jīng)教過幾次了，因此很清楚要“教什么”和“怎么教”。但當(dāng)看到作業(yè)本上的習(xí)題后，我立刻想起了以往學(xué)生解答此類習(xí)題的表現(xiàn)，這讓我清楚地意識(shí)到，如果僅僅根據(jù)現(xiàn)在我對(duì)這節(jié)課“教什么”和“怎么教”的理解，學(xué)生在解答這道習(xí)題時(shí)一定會(huì)遇到比較大的困難。這促使我再一次對(duì)“教什么”和“怎么教”進(jìn)行審視，努力尋求解決路徑，最終有了教學(xué)日志中的教學(xué)改進(jìn)。

因此，如果我們現(xiàn)在把“研讀教材”狹義地理解為是研讀教材上的例題教學(xué)，把“研讀學(xué)生”狹義地理解為是研讀學(xué)生的例題學(xué)習(xí)，那么，研讀習(xí)題、分析學(xué)生的解題表現(xiàn)，無疑成為連接“教材”和“學(xué)生”的紐帶。也就是說，通過習(xí)題教學(xué)，不僅可以鞏固學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握，還可以檢驗(yàn)我們的教學(xué)效果。如果習(xí)題在“學(xué)生端”出現(xiàn)了問題，那么，作為教師就該反思自己的教學(xué)，從“知識(shí)端”入手，并設(shè)法改進(jìn)。

以上是從我個(gè)人實(shí)踐的層面看待習(xí)題對(duì)教學(xué)改進(jìn)的助推作用。從更為廣義的層面講，各地甚至全國范圍內(nèi)開展的教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)，不也是通過學(xué)生解答相關(guān)習(xí)題的形式來分析教師教學(xué)中存在的問題，進(jìn)而提出改進(jìn)意見的嗎？可見，分析學(xué)生解題助推教學(xué)改進(jìn)，是一種較為常態(tài)的做法。

二、如何通過分析學(xué)生解題助推教學(xué)改進(jìn)

通過上文分析已經(jīng)明確，對(duì)學(xué)生解題的分析可以助推我們平時(shí)的教學(xué)改進(jìn)，進(jìn)而提高教學(xué)效率。那么，在具體的教學(xué)過程中我們?cè)撊绾螌?shí)施呢？一般而言，需要我們把握好以下兩個(gè)方面。

1.深入分析學(xué)生的解題表現(xiàn)。

對(duì)學(xué)生在解題過程中的表現(xiàn)進(jìn)行分析，是實(shí)現(xiàn)教學(xué)改進(jìn)的重要前提。教師一般能在兩種場(chǎng)景下注意到學(xué)生在解題中的表現(xiàn)：一是學(xué)生在課堂上的解題過程中；二是學(xué)生在課后練習(xí)的解題結(jié)果中。本文討論的主要是第二種場(chǎng)景下的學(xué)生解題表現(xiàn)。

教師對(duì)學(xué)生的課后練習(xí)進(jìn)行批閱，不僅可以了解學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握情況，還可以從中看到自己教學(xué)中是否存在問題，這便是習(xí)題的評(píng)價(jià)功能。當(dāng)然，要實(shí)現(xiàn)習(xí)題的這個(gè)功能，作為教師，在批閱時(shí)就不能僅僅看到“對(duì)”“錯(cuò)”，還要對(duì)其中的“錯(cuò)”展開深入地分析，找到“錯(cuò)”背后的原因，進(jìn)而厘清學(xué)生在解題中遇到的困難到底是什么。舉一個(gè)典型的例子，在梯形教學(xué)之后，學(xué)生在后續(xù)解題中經(jīng)常不認(rèn)可下圖是個(gè)梯形。深入分析不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生廣泛出現(xiàn)這個(gè)錯(cuò)誤的原因，是我們對(duì)梯形認(rèn)識(shí)教學(xué)不到位造成的。

這就告訴我們，面對(duì)學(xué)生的大面積錯(cuò)誤，或者出現(xiàn)了聚集性的典型錯(cuò)誤，這個(gè)時(shí)候必須要引起重視，因?yàn)榇藭r(shí)的錯(cuò)誤往往已經(jīng)不是“學(xué)生端”的原因，而是“教師端”的原因，是教師對(duì)“教什么”和“怎么教”把握不到位造成的。

2.把握教學(xué)改進(jìn)的兩個(gè)時(shí)機(jī)。

從時(shí)間順序上講，學(xué)生在解題中出現(xiàn)問題是在教師教學(xué)之后。因此，當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)了問題，需要反思的應(yīng)該是之前的教學(xué)，需要改進(jìn)的也是之前教學(xué)這一內(nèi)容的策略。但是，時(shí)間不可能倒流，我們不可能再回到之前的教學(xué)時(shí)段進(jìn)行教學(xué)改進(jìn)來糾正學(xué)生的錯(cuò)誤。由此可見，分析學(xué)生解題表現(xiàn)后的教學(xué)改進(jìn)，不是“回到從前”，而是“啟示未來”。

（1）改進(jìn)“下一課”教學(xué)——及時(shí)補(bǔ)救。

當(dāng)我們通過分析學(xué)生的解題表現(xiàn)發(fā)現(xiàn)了自己教學(xué)存在的問題后，此時(shí)需要做的第一件事就是及時(shí)補(bǔ)救，途徑是想辦法改進(jìn)“下一課”的教學(xué)。

這里的“下一課”，可以是緊接著自己批閱學(xué)生練習(xí)之后的那節(jié)課，是名副其實(shí)的下一課。此時(shí)，學(xué)生解題中出現(xiàn)的問題一般與緊接著的教學(xué)內(nèi)容聯(lián)系密切，如果不及時(shí)解決，會(huì)影響后續(xù)的教學(xué)。

這里的“下一課”，也可以是在某一階段性教學(xué)內(nèi)容完結(jié)之后再專門安排的一節(jié)課。此時(shí)，學(xué)生解題中出現(xiàn)的問題不會(huì)直接影響緊接著的教學(xué)內(nèi)容，因此可以暫時(shí)緩一緩。

常用的改進(jìn)措施：一是將學(xué)生在解題中出現(xiàn)的問題通過一定形式在課堂上呈現(xiàn)，然后組織學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行討論，進(jìn)而糾正學(xué)生的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，以彌補(bǔ)之前教學(xué)中存在的不足，促進(jìn)學(xué)生的深刻理解；二是可以重新設(shè)計(jì)一道類似的習(xí)題，然后有針對(duì)性地展開教學(xué)（像教例題一樣教習(xí)題），以此彌補(bǔ)之前教學(xué)中存在的不足，幫助學(xué)生更好地理解并掌握知識(shí)。

當(dāng)然我們還要認(rèn)識(shí)到，如果因?yàn)槔}教學(xué)時(shí)存在不足而導(dǎo)致學(xué)生在解題時(shí)出現(xiàn)問題，那么僅憑一次補(bǔ)救往往是不夠的，這需要有一個(gè)不斷強(qiáng)化的過程。

（2）改進(jìn)“下一輪”教學(xué)——根源入手。

一般情況下，小學(xué)數(shù)學(xué)教師的教學(xué)是一個(gè)循環(huán)往復(fù)的輪回過程。如第一學(xué)段的教師一般在1～3年級(jí)輪回，第二學(xué)段的教師一般在4～6年級(jí)輪回。因此，當(dāng)我們?cè)趯W(xué)生的解題中發(fā)現(xiàn)了問題，此時(shí)雖不能“回到從前”，但可以促使我們?cè)俅谓虒W(xué)這個(gè)內(nèi)容時(shí)進(jìn)行教學(xué)改進(jìn)。

這是一種從根源入手的教學(xué)改進(jìn)方法。其實(shí)，這種方法在教師平時(shí)的教學(xué)實(shí)踐中還是非常多見的，比如平時(shí)大家在備課時(shí)思考“以前教到這里時(shí)學(xué)生的問題是什么”，此時(shí)的思考對(duì)象常常就是學(xué)生在解題中出現(xiàn)的問題。因此這樣的思考，其本質(zhì)便是基于上一輪教學(xué)中學(xué)生解題時(shí)出現(xiàn)的問題而引發(fā)的教學(xué)改進(jìn)行為。

不過，從現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)學(xué)生在解題中出現(xiàn)的問題，到下一輪教學(xué)這個(gè)內(nèi)容，往往要間隔一至三年時(shí)間。這么長(zhǎng)的時(shí)間，期間難以避免會(huì)出現(xiàn)一定的遺忘。因此，每一次備課時(shí)先去看一看、做一做教材或作業(yè)本上的習(xí)題，想一想以前學(xué)生在這里出現(xiàn)過什么問題，就可以“喚醒”自己的記憶，有助于“教學(xué)改進(jìn)”的更好發(fā)生，如上教學(xué)日志中的故事便是如此。

當(dāng)然，我們更希望從“發(fā)現(xiàn)問題”到“教學(xué)改進(jìn)”的過渡時(shí)間能再縮短一些，因?yàn)檎Ｇ闆r下真的到“下一輪”往往是一到三年以后的事情。對(duì)此，加強(qiáng)教師間的教學(xué)交流便是一種較為有效的手段。這也就是說，對(duì)學(xué)生在解題中出現(xiàn)問題的認(rèn)識(shí)，并不是一定要自己親身經(jīng)歷，還可以從同事那里交流而得。當(dāng)然，自己發(fā)現(xiàn)的問題也可以分享給同事，這不僅可以為大家提供第一手的教學(xué)資料，也可以一起商討更為有效的教學(xué)改進(jìn)策略。

可見，這里的“下一輪”，可以是自己真實(shí)的下一輪，也可以是從別人那里學(xué)來的“下一輪”，還可以是自己提供給別人的“下一輪”。

深入分析學(xué)生的解題表現(xiàn)，充分發(fā)揮習(xí)題的評(píng)價(jià)功能，促進(jìn)自己的教學(xué)不斷改善，最終目標(biāo)是為了促進(jìn)學(xué)生更好地發(fā)展。