□ 劉 霞
“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué),不應(yīng)求全,而應(yīng)求聯(lián)?!比私贪娼滩闹?,乘法運(yùn)算意義的理解是引導(dǎo)學(xué)生借助小棒,基于計(jì)數(shù)單位進(jìn)行思考實(shí)現(xiàn)的;面積的度量是引導(dǎo)學(xué)生借助乘法運(yùn)算的意義,基于計(jì)量單位進(jìn)行學(xué)習(xí)實(shí)現(xiàn)的。其實(shí),兩者可以進(jìn)行適度整合,如果能讓學(xué)生在對(duì)比思辨計(jì)數(shù)與計(jì)量的異同中建構(gòu)算理,那么他們不僅能對(duì)運(yùn)算意義的理解增加一個(gè)維度,對(duì)面積概念的認(rèn)知也會(huì)更加清晰。從運(yùn)算意義出發(fā),借助“面積圖”進(jìn)行“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”算理和算法的聯(lián)結(jié)與拓展,是結(jié)構(gòu)化教學(xué)的有效路徑。
逐層遞進(jìn)的教學(xué)設(shè)計(jì),符合學(xué)生思維發(fā)展的規(guī)律。筆者循著思維進(jìn)階的梯度,設(shè)計(jì)了三個(gè)課時(shí)的任務(wù),讓學(xué)生在問(wèn)題驅(qū)動(dòng)、活動(dòng)探究和知識(shí)應(yīng)用中達(dá)成知識(shí)系統(tǒng)的網(wǎng)狀構(gòu)建。具體路徑如表1所示。
表1 教學(xué)設(shè)計(jì)路徑
續(xù)表
第一課時(shí)重在聯(lián)結(jié),將乘法豎式分別與點(diǎn)狀圖和面積圖建立聯(lián)結(jié),要達(dá)成兩個(gè)目標(biāo):①進(jìn)一步理解乘法運(yùn)算的意義;②體驗(yàn)計(jì)數(shù)和計(jì)量中都可以探尋到運(yùn)算的意義,在內(nèi)化運(yùn)算意義的過(guò)程中體會(huì)面積的本質(zhì)。
第二課時(shí)重在拓展,關(guān)注三個(gè)梯度的探究活動(dòng),從點(diǎn)狀圖到面積圖再到抽象圖式,探究?jī)晌粩?shù)乘兩位數(shù)的圖式分解,是一次結(jié)構(gòu)化的探究過(guò)程。
第三課時(shí)重在應(yīng)用,應(yīng)用圖式分解進(jìn)行積最大、最小、積變化和算式大小判斷等問(wèn)題的解決,并滲透問(wèn)題解決的結(jié)構(gòu)化路徑。
結(jié)構(gòu)化的教學(xué)助推結(jié)構(gòu)化的思維,課堂實(shí)踐中可以從學(xué)生的表達(dá)中聽(tīng)到思維綻放的聲音,聯(lián)結(jié)拓展的結(jié)構(gòu)化教學(xué)在思維進(jìn)階中的助推作用清晰可見(jiàn)。
思維靈活性反映了智力的“轉(zhuǎn)移”能力,這正如我們常說(shuō)的“類比”。乘法運(yùn)算可用于計(jì)數(shù)求和,也可用于計(jì)量求和,學(xué)生往往能解決具體的問(wèn)題但很少主動(dòng)建立兩者之間的關(guān)聯(lián),教師以點(diǎn)狀圖和面積圖信息為載體,借助幾何直觀幫助學(xué)生在形與式之間建立聯(lián)結(jié),錘煉思維的靈活性。具體教學(xué)過(guò)程如表2所示。
表2 課堂教學(xué)過(guò)程
以追問(wèn)的形式倒逼學(xué)生思考,學(xué)生發(fā)現(xiàn)雖然情境不同,體現(xiàn)的現(xiàn)實(shí)意義不同,表達(dá)的方式不同,但本質(zhì)相同,都是解決13個(gè)22(或22個(gè)13)是多少的問(wèn)題。66 所蘊(yùn)含的運(yùn)算意義是3 個(gè)22 是66,情境意義分別為66個(gè)或66平方分米。后續(xù)進(jìn)一步的對(duì)比追問(wèn),能夠驅(qū)動(dòng)學(xué)生在“變與不變”的審辨思考中,發(fā)現(xiàn)面積大小的本質(zhì)就是面積單位數(shù)量的累加,明晰乘法運(yùn)算在不同情境中的應(yīng)用,從而借助運(yùn)算的意義建立形與式的關(guān)聯(lián)。
從點(diǎn)狀圖到面積圖,從計(jì)數(shù)求和到計(jì)量求和,結(jié)構(gòu)化教學(xué)中的素材選擇和問(wèn)題設(shè)計(jì)都是從學(xué)生思維的起點(diǎn)處出發(fā),在理解的基礎(chǔ)上達(dá)成知識(shí)的類比關(guān)聯(lián),促成學(xué)生思維靈活性的發(fā)展。
生活實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)和思考問(wèn)題很重要,創(chuàng)造性地解決問(wèn)題更重要,社會(huì)的進(jìn)步和發(fā)展都離不開(kāi)思維的創(chuàng)造性品質(zhì)。結(jié)構(gòu)化教學(xué)注重學(xué)習(xí)層次的螺旋上升和知識(shí)間的關(guān)聯(lián),在縱向建立計(jì)數(shù)方法和計(jì)量方法的聯(lián)結(jié)點(diǎn)后可進(jìn)行橫向拓展練習(xí),這是思維創(chuàng)造性發(fā)展的關(guān)鍵點(diǎn)。教師從學(xué)生建構(gòu)清晰的“點(diǎn)狀圖”出發(fā)激發(fā)其思考,然后以“面積圖”為跳板,最后建構(gòu)抽象的“圖式分解模型”,整個(gè)過(guò)程既內(nèi)化了乘法運(yùn)算的意義,又發(fā)展了學(xué)生思維的獨(dú)創(chuàng)性。詳細(xì)探究過(guò)程如下。
1.點(diǎn)狀圖,感受圖和式的聯(lián)結(jié)
點(diǎn)狀圖非常直觀,容易聯(lián)結(jié)學(xué)生的思維起點(diǎn)。教學(xué)中教師首先借助點(diǎn)狀雞蛋圖(如圖1),拋出問(wèn)題:“圖和算式分別表示什么意思,你理解嗎?”觸發(fā)學(xué)生思考圖和式之間的關(guān)聯(lián)。然后以點(diǎn)狀雞蛋圖為載體,設(shè)計(jì)了兩個(gè)層次的探究活動(dòng):①借助圖2,讓學(xué)生感受圖到式的關(guān)聯(lián),體驗(yàn)乘法算式22×13可以分成哪兩部分;②借助圖3,幫助學(xué)生建立式到圖的聯(lián)結(jié),先觀察圖式的特點(diǎn)再自主構(gòu)建分解方法,最后回歸圖形去圈一圈,體驗(yàn)式和圖的關(guān)系。
圖1
圖2
圖3
2.面積圖,建立圖和式的聯(lián)結(jié)
操作載體從點(diǎn)狀圖轉(zhuǎn)換成面積圖(如圖4),繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行圖式分解探究,可以在圖上畫(huà)一畫(huà)后寫(xiě)出算式,也可以寫(xiě)好算式后在面積圖上畫(huà)一畫(huà)進(jìn)行驗(yàn)證,探究建構(gòu)運(yùn)算的意義。
圖4
3.抽象圖,建立思維和圖式的聯(lián)結(jié)
建構(gòu)抽象圖可以培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力。以問(wèn)題“請(qǐng)有序分解這兩個(gè)算式(如圖5)”為驅(qū)動(dòng),完成抽象圖式的有序分解。
圖5
三個(gè)層次的探究,從借助點(diǎn)狀圖的模型初探,到面積圖的模型再探,到最后抽象圖式模型的建立,學(xué)生在真實(shí)的結(jié)構(gòu)化探究中錘煉了思維的獨(dú)創(chuàng)性。
高階思維的養(yǎng)成需訓(xùn)練思維的敏捷性。思維敏捷性指的是心理活動(dòng)的速度,表現(xiàn)為能靈活迅速地解決問(wèn)題。循著“意義思辨、圖式思辨、批判思辨和變式思辨”的結(jié)構(gòu)化路徑,培養(yǎng)問(wèn)題解決的策略,可以讓學(xué)生思維的敏捷性得到發(fā)展。
1.意義思辨,夯基礎(chǔ)
意義思辨是知識(shí)生長(zhǎng)的根基,要引導(dǎo)學(xué)生從源頭處思考問(wèn)題,尋找對(duì)策。如以問(wèn)題“蔬菜種植區(qū)的長(zhǎng)和寬是1、2、6、8 四個(gè)數(shù)字組成的兩個(gè)兩位數(shù)且乘積最小,請(qǐng)幫忙找到長(zhǎng)和寬”為驅(qū)動(dòng),培養(yǎng)學(xué)生意義思辨的能力。基于運(yùn)算意義可以將最小的數(shù)字1 和2 放在十位,初步得到兩種可能——16×28和18×26。從意義開(kāi)始,助力學(xué)生尋找正確的問(wèn)題解決策略。
2.圖式思辨,謀拓展
相對(duì)于抽象的意義思辨,圖式思辨是一條能縮短學(xué)生思考時(shí)間的可視化思維路徑。在意義深刻構(gòu)建的基礎(chǔ)上,引導(dǎo)學(xué)生借助直觀圖形,運(yùn)用圖式分解的方法直接判斷兩個(gè)算式的大小,是一條可行的拓展路徑。
圖6
如以問(wèn)題“觀察格子圖中的兩個(gè)圖形(如圖6),比較16×28和18×26 的大小”引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行圖式思辨。學(xué)生發(fā)現(xiàn)重疊部分為公共部分,只需比較未重疊部分就可以得到結(jié)論,由此完成從格子圖到算式的分解,使圖與式對(duì)應(yīng),讓算理與算法融合。
3.批判思辨,通障礙
批判性思維是新時(shí)代學(xué)生必備的思維品質(zhì)。教學(xué)中可以設(shè)置拐點(diǎn)問(wèn)題,對(duì)學(xué)生的批判性思維進(jìn)行錘煉。當(dāng)兩個(gè)數(shù)的和相等時(shí),比較兩組算式的大小可借助筆算也可基于規(guī)律(和相等,差越小,積越大)得出答案,那么當(dāng)兩個(gè)數(shù)的和不相等時(shí),還能基于規(guī)律得出答案嗎?很多學(xué)生會(huì)忽略前提條件,認(rèn)為此規(guī)律依然可行。
這時(shí)教師以問(wèn)題“選出面積最大的方案,方案一:長(zhǎng) 71 米,寬 34 米;方案二:長(zhǎng)78米,寬31米”為驅(qū)動(dòng),讓學(xué)生在小組合作、獨(dú)立驗(yàn)證的批判思辨中,得出結(jié)論:兩個(gè)數(shù)的和不相等時(shí),采用圖式分解(如圖7)和筆算的方法可行,而借助規(guī)律則不可行。
圖7
4.變式思辨,促聯(lián)結(jié)
對(duì)變式問(wèn)題的解決是學(xué)生思維升華的必經(jīng)之路。變式練習(xí)中,要引導(dǎo)學(xué)生找到變與不變的節(jié)點(diǎn),建立已有知識(shí)與未知問(wèn)題之間的聯(lián)結(jié)點(diǎn)。
如以變式問(wèn)題1“按照從小到大的順序排列下列算式:A.21×43;B.10×34;C.41×32;D.42×31”為驅(qū)動(dòng),讓學(xué)生感受估算(A 和B)、圖式分解(C 和D)在問(wèn)題解決中的便捷性。
如以變式問(wèn)題2“房子的長(zhǎng)增加11 米,面積增加多少?現(xiàn)在的面積是多少?(如圖8)”為驅(qū)動(dòng),讓學(xué)生借助圖式進(jìn)行問(wèn)題解決(如圖9),縮短問(wèn)題思考的路徑,助推學(xué)生的抽象思考能力。
圖8
圖9
四次思辨過(guò)程是一條結(jié)構(gòu)化的問(wèn)題解決路徑,這樣的路徑讓學(xué)生的思維在結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)中經(jīng)歷了結(jié)構(gòu)化的進(jìn)階。
以上三個(gè)課時(shí)的設(shè)計(jì),是在學(xué)生原有知識(shí)基礎(chǔ)上進(jìn)行的聯(lián)結(jié)與拓展推進(jìn),目標(biāo)的設(shè)計(jì)及達(dá)成路徑符合知識(shí)結(jié)構(gòu)化建構(gòu)和思維結(jié)構(gòu)化發(fā)展的邏輯。