□ 夏萍華

基于學(xué)生已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)是當(dāng)下極具價(jià)值的一種學(xué)習(xí)方式，這種學(xué)習(xí)方式具有統(tǒng)整性和關(guān)聯(lián)性，是學(xué)生對(duì)一節(jié)課的信息、一個(gè)單元的內(nèi)容、一系列活動(dòng)間的元素和關(guān)系進(jìn)行整體關(guān)聯(lián)后，主動(dòng)建構(gòu)學(xué)習(xí)的過程。項(xiàng)目化活動(dòng)是指將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容與數(shù)學(xué)游戲、真實(shí)性任務(wù)等有機(jī)整合，以展開系列活動(dòng)，讓學(xué)生在活動(dòng)中主動(dòng)探究，自主聯(lián)結(jié)已有知識(shí)結(jié)構(gòu)去解決新問題，是從學(xué)到用的過程。

“玩轉(zhuǎn)圓柱”結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)項(xiàng)目（如表1）是在學(xué)生學(xué)習(xí)了“圓柱與圓錐”單元后，教師統(tǒng)整了本單元核心概念及學(xué)生學(xué)習(xí)中的困惑與不足，對(duì)相關(guān)學(xué)習(xí)材料和內(nèi)容進(jìn)行適切的開發(fā)形成的，旨在通過項(xiàng)目化學(xué)習(xí)活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生將學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)自主遷移到“新情境、新問題”的探究解決過程中，實(shí)現(xiàn)從“學(xué)結(jié)構(gòu)”到“用結(jié)構(gòu)”的過程。該過程既可完善原有的認(rèn)知，又打通和發(fā)展數(shù)學(xué)的方法結(jié)構(gòu)、思維結(jié)構(gòu)以及策略結(jié)構(gòu)，效果明顯。

表1 “玩轉(zhuǎn)圓柱”結(jié)構(gòu)化項(xiàng)目活動(dòng)的整體框架

“玩轉(zhuǎn)圓柱”結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)以4個(gè)項(xiàng)目推進(jìn)，借助結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)材料，讓學(xué)生在“真實(shí)活動(dòng)”中經(jīng)歷操作探究，通過類比辨析，感悟數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)的魅力。

一、“卷中求通”項(xiàng)目：增補(bǔ)內(nèi)容完善知識(shí)結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)知識(shí)在教材中以一定的結(jié)構(gòu)分布排列，各知識(shí)間既有個(gè)性又有共性，緊抓素材背后的共性知識(shí)進(jìn)行探究，可達(dá)到知識(shí)結(jié)構(gòu)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)的同生共長(zhǎng)?！熬碇星笸ā表?xiàng)目借助結(jié)構(gòu)性材料“面積是36cm2的長(zhǎng)方形”，從“卷”圓柱活動(dòng)展開。

（一）利用結(jié)構(gòu)材料，聯(lián)通基礎(chǔ)知識(shí)

提問：用這張長(zhǎng)方形紙卷成一個(gè)圓柱體的形狀，你能獲得圓柱的哪些信息？

活動(dòng)要求：四人小組合作，卷一卷，畫一畫，并記錄。比比誰(shuí)獲得的信息更豐富。

圖1 “卷中求通”項(xiàng)目學(xué)生作品1

從圖1中可以看出，學(xué)生在基礎(chǔ)活動(dòng)中能自主勾連本單元中的重要概念，可見學(xué)生對(duì)本單元的基本知識(shí)結(jié)構(gòu)已經(jīng)初步形成，并積累了較豐富的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

（二）通過驗(yàn)證推理，彌補(bǔ)知識(shí)斷層

在喚醒學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)后，教師用結(jié)構(gòu)化材料“面積是36cm2的長(zhǎng)方形”和問題串“小組合作，試試能卷出哪些不同的圓柱？這些圓柱之間有什么異同”，引導(dǎo)學(xué)生有序思考、分類研究。

在任務(wù)驅(qū)動(dòng)下，學(xué)生活動(dòng)的過程展開充分，生成的資源豐富多元。

圖2 “卷中求通”項(xiàng)目學(xué)生作品2

從圖2的呈現(xiàn)可以看出，學(xué)生已經(jīng)有了很強(qiáng)的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)能力，展現(xiàn)出了有序思考的習(xí)慣，體現(xiàn)出較高的思維水平。教師借助生成的結(jié)構(gòu)性材料繼續(xù)進(jìn)行如下操作。

提問：再觀察，你又有什么發(fā)現(xiàn)？

發(fā)現(xiàn)：S側(cè)一樣，沿長(zhǎng)邊卷，表面積越大，體積也越大。

設(shè)疑：明明是面積的研究，怎么體積也會(huì)有這樣的規(guī)律？

解疑：再研究圓柱體積的推導(dǎo)過程（課件動(dòng)態(tài)演示，如圖3）。

圖3 圓柱體積推導(dǎo)過程再研究課件

在課件的直觀演示下，切拼成的長(zhǎng)方體形象在學(xué)生的腦海中動(dòng)了起來。通過想象旋轉(zhuǎn)的過程，學(xué)生進(jìn)一步理解體積概念的本質(zhì)，化解了特定思維的干擾，通過探究可以得到求解圓柱體積的新策略。

（三）借助習(xí)題拓展，完善知識(shí)架構(gòu)

通過“卷”的過程，學(xué)生聯(lián)通了S側(cè)、r、V 之間的關(guān)系。一種新策略出現(xiàn)后，需要跟進(jìn)練習(xí)，在應(yīng)用中進(jìn)一步鞏固理解。

題組1（原高頻錯(cuò)題）：

①用面積是36cm2的長(zhǎng)方形“卷”一個(gè)底面半徑是2cm的圓柱，這個(gè)圓柱的體積是多少？

②如果一個(gè)圓柱的側(cè)面積是200cm2，底面半徑是2cm，那么這個(gè)圓柱的體積是多少？

此時(shí)學(xué)生再做這兩題，都直呼“簡(jiǎn)單！”可見在“卷中求通”項(xiàng)目中，學(xué)生實(shí)現(xiàn)了對(duì)原有知識(shí)結(jié)構(gòu)的一次充盈，完善了自我的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

二、“切中求聯(lián)”項(xiàng)目：多元變式打通思維結(jié)構(gòu)

學(xué)生學(xué)習(xí)基本知識(shí)一定要求聯(lián)，在聯(lián)系中感受知識(shí)關(guān)聯(lián)、結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)、思想關(guān)聯(lián)、方法關(guān)聯(lián)?！扒兄星舐?lián)”項(xiàng)目在同一圓柱“多樣切法”活動(dòng)中推進(jìn)。

（一）通過知識(shí)聯(lián)結(jié)，盤活思維力度

穩(wěn)固的知識(shí)結(jié)構(gòu)是充分調(diào)動(dòng)學(xué)生思維張力的保障。“切中求聯(lián)”項(xiàng)目借助結(jié)構(gòu)化問題“看信息寫算式想生活問題”（如圖4），促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展。

圖4 “切中求聯(lián)”項(xiàng)目導(dǎo)入環(huán)節(jié)課件

（二）巧在切中求變，拓展思維寬度

圍繞核心問題“如果切一刀，會(huì)有哪些不同的結(jié)論？如果切不止一刀呢”開展探究活動(dòng)，學(xué)生的興趣被充分激發(fā)。圖5 是學(xué)生在項(xiàng)目活動(dòng)中的部分成果，從中可以看出學(xué)生在動(dòng)手操作、合作探究中思維得到了進(jìn)一步拓寬。

圖5 “切中求聯(lián)”項(xiàng)目學(xué)生課后拓展作業(yè)作品

借助直觀操作，學(xué)生全面思考了有哪些不同的切法，并在對(duì)比中發(fā)現(xiàn)，無論怎樣切，圓柱體都是“體積不變，表面積增加，不同切法增加的表面積不同”。這樣的“協(xié)變思維”打通了學(xué)生已有的數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)。

（三）加強(qiáng)對(duì)比辨析，挖掘思維深度

如何繼續(xù)挖掘思維深度？下面的對(duì)比辨析是不錯(cuò)的選擇。

題組2：

①一個(gè)高12cm 的圓柱，將它截成2個(gè)小圓柱，表面積增加了50.24 cm2，這個(gè)圓柱原來的體積是多少？

②一個(gè)高12cm 的圓柱，如果截掉一個(gè)2cm 高的小圓柱，表面積減少了50.24 cm2，這個(gè)圓柱原來的體積是多少？

通過找一找、說一說、畫一畫等直觀表征，學(xué)生明確了兩個(gè)“50.24”意義上的區(qū)別，并根據(jù)區(qū)別進(jìn)入程序性解決問題環(huán)節(jié)?！扒兄星舐?lián)”項(xiàng)目引導(dǎo)學(xué)生在“變與不變”的本質(zhì)探究中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并形成了一定的思維模型結(jié)構(gòu)。

三、“削中求變”項(xiàng)目：協(xié)變思維盤活方法策略

好的活動(dòng)教學(xué)力求設(shè)計(jì)求變，方法求變。變玩法、變信息、變模型、變圖形、變思路等，在變中發(fā)現(xiàn)不變，感悟知識(shí)結(jié)構(gòu)和方法結(jié)構(gòu)的不變?！跋髦星笞儭表?xiàng)目借助模型探究圓柱與圓錐的關(guān)系，并在此基礎(chǔ)上將“削”圓柱活動(dòng)推廣至其他立體圖形。

（一）結(jié)合摸底談話，探明變式方向

前面的活動(dòng)結(jié)束后，教師追問：“玩轉(zhuǎn)圓柱，還能怎么玩？可以將圓柱削成哪些不一樣的圖形？”這樣的開放性問題點(diǎn)燃了學(xué)生的興趣，在談話中可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在前面的項(xiàng)目活動(dòng)中積累的經(jīng)驗(yàn)得到了良性遷移，提出可以變玩法、變圖形、變思路等等，教師由此摸清了學(xué)生的能力起點(diǎn)。

（二）結(jié)合模型建構(gòu)，追尋變與不變

模型思想是數(shù)學(xué)的重要思想。圓柱與圓錐S底、h、V三者關(guān)系的辨析對(duì)于大部分學(xué)生而言存在障礙（見題組3），圖6 中的三組模型是解決這類問題的“腳手架”。通過“想象模型—復(fù)原模型—模型辨析”，學(xué)生明確了每組模型中的“變與不變”，并漸漸在腦海中形成模型結(jié)構(gòu)。

圖6 “圓柱與圓錐”相關(guān)聯(lián)的三組模型圖

題組3：

①一個(gè)圓柱的底面直徑是4，高是6，與它等底等高的圓錐的體積是（）π。

②一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐體積和底面積都相等，圓柱的高是15，圓錐的高是圓柱高的（）。

③一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的體積相等，高也相等。圓柱和圓錐底面積的比是（）。

（三）促進(jìn)活學(xué)活用，勤思方法拓展

課后挑戰(zhàn)性作業(yè)“將圓柱削成最大的長(zhǎng)方體，你能提出哪些有價(jià)值的問題”是“削中求變”項(xiàng)目的點(diǎn)睛之筆。在學(xué)生自主研究的過程中，教師發(fā)現(xiàn)活動(dòng)中的模型思想、方法策略結(jié)構(gòu)，學(xué)生都能夠遷移運(yùn)用，并能借助直觀圖示嘗試在三維立體圖形和二維平面圖形間建立勾連。

四、“圓柱的比”項(xiàng)目：認(rèn)知迭代展望能力結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)是思維的體操。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，有些知識(shí)會(huì)隨著時(shí)間的流逝被逐漸忘卻，但數(shù)學(xué)思想和方法卻不會(huì)被忘卻。“圓柱的比”項(xiàng)目緊扣“套娃模型”，在“看圖想物”活動(dòng)中展開。

（一）借套娃模型，引知識(shí)發(fā)聲

教師出示圖7，并提問：圖中是小學(xué)階段所學(xué)的四種立體圖形，這組圖形讓你想到了哪種物品？

圖7 “圓柱的比”套娃圖

“套娃”模型素材來源于教材，是“圓柱的比”項(xiàng)目中的核心素材，挖掘其背后的功能，調(diào)動(dòng)學(xué)生的知識(shí)聯(lián)結(jié)，可以為多角度研究“比”奠定活動(dòng)基礎(chǔ)。

（二）多角度對(duì)比，展認(rèn)知迭代

用數(shù)學(xué)眼光看問題，用數(shù)學(xué)方法解決問題，是數(shù)學(xué)能力素養(yǎng)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中進(jìn)行不斷迭代的最好呈現(xiàn)。多元策略解決問題，既能考查學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)的范圍，也能展現(xiàn)學(xué)生思維水平的層次?！澳銜?huì)怎樣比較它們的體積？”學(xué)生依次想到了“計(jì)算體積、等高比底面積、等底面積比高、用大套小”等不同的方法。知識(shí)不斷地輸出、遷移、迭代，提出新策略的過程，就是知識(shí)內(nèi)化、方法優(yōu)化的過程，學(xué)生的能力結(jié)構(gòu)在逐漸形成。

（三）再拓展探究，拓能力素養(yǎng)

好活動(dòng)一定能往下繼續(xù)延伸，探究性練習(xí)能讓學(xué)生的思維保持活躍。

題組4：

①長(zhǎng)方體與正方體的體積比是（）。長(zhǎng)方體的體積比正方體大（）%。

②圓柱的體積占正方體體積的（ ）%。

“圓柱的比”引導(dǎo)學(xué)生對(duì)不同立體圖形進(jìn)行關(guān)聯(lián)性研究，喚醒學(xué)生聯(lián)結(jié)更多的知識(shí)，用知識(shí)、用方法、用思想，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思維和能力向更高層次進(jìn)階。

“玩轉(zhuǎn)圓柱”四個(gè)項(xiàng)目的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)，讓學(xué)生經(jīng)歷了基于原有認(rèn)知的結(jié)構(gòu)化項(xiàng)目探究過程，從“學(xué)結(jié)構(gòu)”到“用結(jié)構(gòu)”。學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法、思維結(jié)構(gòu)、策略意識(shí)都在學(xué)習(xí)過程中遷移發(fā)展，學(xué)生數(shù)學(xué)能力、知識(shí)素養(yǎng)都在這一過程中不斷提升。