□ 董從發(fā)

在一次學校自己組織的測評中有一道題引發(fā)了教師們的討論熱情：批卷老師探討如何評判學生的對錯，任課老師探討評價的意圖與導向，教學中心則思考如何改進評價的形式與質量。此題之所以引起大家的討論，是因為形形色色的答案彰顯出學生的不同理解，而教師對不同答案的解讀，折射出的是各自不同的教學觀。這道試題的呈現(xiàn)，引起了教師對考什么、怎么考的思辨。

一、案例介紹

試題內容如下：聰聰在學習了“分數(shù)乘法和倒數(shù)”后，對“分數(shù)除法怎樣計算”感到很好奇，于是他翻閱了數(shù)學書，發(fā)現(xiàn)書上是這樣說的：“除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。例如”聰聰雖然看懂了計算方法，但他在思考：“為什么除以一個不等于0 的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)呢？”請用你喜歡的方法說明的道理。

從測試中可以發(fā)現(xiàn)，很多學生不知道該如何闡述算理，“說明道理”僅停留在“除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)”的算法上，或者“被逼著”用以往的“平均分”知識來解釋（如圖1）。

圖1

這是兩種比較典型但還不是最低水平的回答，測試中還有近10%的學生就是把算式抄一遍或干脆空著。

當然，也有學生能夠從本質上理解分數(shù)除法的道理，并將自己的解題過程用“線段圖+推理描述”的形式展現(xiàn)出來，其思維過程清晰可見（如圖2）。

圖2

二、命題解讀

分數(shù)除法建立在分數(shù)乘法的基礎上，是分數(shù)四則運算中的最后一項內容。這一內容與很多知識有直接的聯(lián)系，如分數(shù)乘法的意義、算法及其應用，倒數(shù)、整數(shù)除法的意義、解方程等等。學習分數(shù)除法，一方面會加深學生對乘除法關系的理解，體會數(shù)學知識方法的內在聯(lián)系，另一方面也為學生后續(xù)學習比和比例、百分數(shù)打下基礎。該題的考查點在于：學生對分數(shù)相關知識內在的聯(lián)系是否打通，對算理是否真正理解，能否用所學知識來解決問題這三個方面。

分數(shù)除法的計算方法并不難，大多數(shù)學生在教師未教學前就已經(jīng)可以計算，所以很多教師在教學這一內容時往往一帶而過，沒有深入地引導學生思考討論“為什么這樣做”。這種粗放型的教學方式，表面上“贏得了”時間，讓學生有充裕的時間鞏固練習，但這種教學會造成學生對這一知識點的認識停留在“工具性”理解上，無法達到“關系性”理解的水平。本命題的落腳點就是考查學生對分數(shù)除法的理解，是記住其“形”，還是理解其“理”，學生的思維究竟達到了什么程度。

三、命題導向

一線教師常常有一種“你怎么考，我怎么教”的心理，所以要從源頭上改進教師的教學，需要以命題評價為導向，引領課堂教學。本測試內容開放，答題的方式多元，可以見證學生對題目的多維理解。這與以往追求結果的命題方式不同，這樣的命題關注的是知識形成的過程，展現(xiàn)的是學生的數(shù)學素養(yǎng)。命題者希望通過這道題目的測試提醒教師，命題檢測的核心意義在于透過學生的解題過程，發(fā)現(xiàn)學生的解題策略、思考方式和思維品質，從而促進教師更好地反思教學、推動教學。

四、教學思考

透過評價再重新審視“分數(shù)除法”這一內容的教學，如何引導學生從“工具性理解”走向“關系性理解”？是否可以從對這節(jié)課教學的反思延伸開去，思考一類課的教學？圍繞這些問題，呈現(xiàn)以下思考。

（一）反思交流，重構教學過程

測試后，通過反思測試中出現(xiàn)的問題，結合與同伴交流的結果，重新設計了“分數(shù)除法”這節(jié)課的教學過程。

1.問題引入，獨立解決

2.交流反饋，建立連接

在反饋中，引導學生觀察：你能看懂這兩位同學的方法（如圖3、圖4）嗎？

圖3

圖4

3.溝通方法，拓展研究

師：分數(shù)除以整數(shù)可以轉化成乘這個數(shù)的倒數(shù)來算，那如果除數(shù)不是整數(shù)，該怎樣算呢？

生：也可以算走1 千米需要多少時間，時間少的快。

師：這樣的算式你會算嗎？這樣算的道理是什么？我們先來研究（師展示學生作品，如圖5）

圖5

師：你看懂了上面的哪些方法？

生：第①幅圖中的方法是對的，但是為什么這樣算沒有說明白。

……

以上教學過程，學生不再僅僅把“除以一個分數(shù)等于乘以它的倒數(shù)”作為解決這類問題的工具使用，而是充分經(jīng)歷了知識的形成過程，深入地理解了除以一個分數(shù)與乘以它的倒數(shù)之間的關系。

事實證明，學生有分數(shù)乘法的學習經(jīng)驗，有分數(shù)與除法的關系等知識經(jīng)驗，教師只要大膽放手，舍得花時間，就能讓學生的理解從“工具性”走向“關系性”。

（二）以點帶面，思考同類教學

1.關注知識本源，厘清知識脈絡

教學不能停留在知識的抽象層面，而要關注它的來龍去脈，從知識本源出發(fā)正確解讀教材，向數(shù)學本質邁進。人教版六年級上冊“分數(shù)除法”單元里安排了三個例題：分數(shù)除以整數(shù)，一個數(shù)（整數(shù)、分數(shù)）除以分數(shù)，分數(shù)除法解決問題。這是一個由易到難、循序漸進的過程。教師要引導學生理解除法是乘法的逆運算，分數(shù)除法本質上就是分數(shù)乘法。教學時可以從等式的意義、直觀圖、分數(shù)與除法的關系等學生已有的知識經(jīng)驗出發(fā)，再逐步溝通理解，引導學生建立模型。

在這一系列內容中，分數(shù)除以整數(shù)的算理，學生相對比較容易理解。他們可以通過直觀操作，用折紙和畫圖數(shù)形結合的方法，分析、計算得出結果。而一個數(shù)除以分數(shù)的算理就比較難理解，教師可以引導學生通過畫線段圖，將新問題轉化為已經(jīng)解決的問題，在數(shù)形結合中理解算理、發(fā)現(xiàn)算法。同時，“除以整數(shù)”和“除以分數(shù)”這兩類題都可以放入“總數(shù)÷份數(shù)=每份數(shù)”的關系中進行理解，前者是已知幾份求每份數(shù)，后者是已知1份數(shù)的幾分之幾求每份數(shù)。在教學中，教師要關注知識的本源，引導學生厘清知識脈絡，使學生深入理解所學知識，逐步建立良好的認知結構。

2.關注能力發(fā)展，提升思維品質

學生解決一個問題，運用到的數(shù)學能力遠遠不止一種，學生需要經(jīng)歷讀取分析、推理認證、抽象概括等過程，檢驗的是綜合應用各種能力的結果，如動手操作能力、問題解決能力、思維拓展能力等。如下面這個教學過程。

生：我覺得這里（如圖6）應該填個小括號，這樣看起來就明白除法變成分數(shù)了。

生：除號相當于分數(shù)線！

師：把你的想法寫給大家看看?。ㄈ鐖D7）

圖6

圖7

學生在完成個性化的算法建構后，通過生生間的相互啟發(fā)、點撥、激勵，不斷修正，產(chǎn)生共鳴，達到對知識的深層理解。

綜上所述，命題評價可以有效引導教師優(yōu)化課堂教學。通過對評價內容、評價結果的反思，可以有效地促進教師教學方式的改變。如本次測試，通過對一道題目的深入分析，促進了教師的教學從重知識向重過程、由重“教”向重“學”的轉變，讓教師們更深入地體會到要在展現(xiàn)學生思維的過程中，發(fā)展學生的數(shù)學思維能力，提升思維品質。讓學生從“工具性理解”走向“關系性理解”，這或許應該是小學階段教學測評最重要的價值！