□ 李國(guó)良

在“減法的認(rèn)識(shí)”教學(xué)過(guò)程中，教師一般把重點(diǎn)放在計(jì)算或解決具體問(wèn)題上，較少關(guān)注學(xué)生對(duì)減法意義的理解和減法模型的建構(gòu)水平。為了解這兩方面的真實(shí)情況，筆者通過(guò)分析教材、前測(cè)等方式對(duì)學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查研究。

一、調(diào)查前的思考

（一）“減法模型”有哪些類型

依據(jù)問(wèn)題中的關(guān)系可以把減法模型分成三類，分別是“部分—部分—全體”型問(wèn)題、“改變型”問(wèn)題、“比較型”問(wèn)題（如圖1）。

圖1

1.“部分—部分—全體型”問(wèn)題

這類問(wèn)題指的是將一個(gè)整體分為若干個(gè)部分，已知全體和其中的某部分，求其他部分的問(wèn)題。如：數(shù)學(xué)興趣小組有5 名學(xué)生，其中有3 名男生，有幾名女生？

2.“改變型”問(wèn)題

這類問(wèn)題指的是起始數(shù)量（起始量）增加或減少了一部分（改變量），得到了一個(gè)結(jié)果（結(jié)果量）的問(wèn)題。在減法中，根據(jù)未知量的不同可以分為三種形式——求減少后的量、求增加前的量以及求改變量。如，求減少后的量：小紅有5只蘋果，吃了3只，還剩幾只？求增加前的量：小紅有一些錢，媽媽給她3元后，小紅有5元了，小紅原來(lái)有幾元錢？求改變量：小紅有3 元，媽媽給她一些錢后，小紅有5 元了，媽媽給她多少元？

3.“比較型”問(wèn)題

這類問(wèn)題指的是對(duì)兩個(gè)量進(jìn)行比較產(chǎn)生的問(wèn)題。比較時(shí)會(huì)有較小、較大和差異三個(gè)不同量，在這三個(gè)量的關(guān)系中，有兩種類型的問(wèn)題要用減法解決：一種是求相差量，另一種是求較小量。如，求相差量：小明有5 元錢，小紅有3 元錢，小明比小紅多幾元？求較小量：小明有5 元，小紅比小明少3 元，小紅有幾元？或小明有5 元，比小紅多3 元，小紅有幾元？這兩種求較小量的問(wèn)題，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，體現(xiàn)出的思維層次不同，前一種題目，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和題目呈現(xiàn)的邏輯結(jié)構(gòu)一致，可稱作“求較小量的順向問(wèn)題”；而后一種題目，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和題目呈現(xiàn)的邏輯結(jié)構(gòu)不一致，可稱作“求較小量的逆向問(wèn)題”。逆向問(wèn)題對(duì)學(xué)生的思維水平要求更高。

（二）教材中如何呈現(xiàn)

根據(jù)減法意義的三種模型，對(duì)現(xiàn)行人教版教材一至六年級(jí)中有關(guān)減法的例題進(jìn)行了梳理與分類。

1.減法意義以板塊式分布

小學(xué)教材中與減法直接相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)主要涉及整數(shù)減法、小數(shù)減法和分?jǐn)?shù)減法。與減法意義相關(guān)的內(nèi)容集中安排在一、二年級(jí)的整數(shù)加減法中，也就是學(xué)生會(huì)在一、二年級(jí)初步理解減法的意義，而到四年級(jí)“四則運(yùn)算”單元中才學(xué)習(xí)減法的概念。

2.減法模型以穿插式構(gòu)建

教材以穿插的方式呈現(xiàn)減法的三種類型。第一次出現(xiàn)減法是在一年級(jí)上冊(cè)“1～5的認(rèn)識(shí)和加減法”中，情境是：4 個(gè)氣球飛走1 個(gè)，還剩幾個(gè)，即教材中關(guān)于減法意義的內(nèi)容是從“改變型”問(wèn)題（拿走）開(kāi)始呈現(xiàn)的；隨后在本單元練習(xí)中出現(xiàn)了借助于數(shù)數(shù)及一一對(duì)應(yīng)來(lái)學(xué)習(xí)的“比較型”問(wèn)題，情境是：上面一排5 只小雞，下面一排3 只小蟲(chóng)，問(wèn)題是小雞比小蟲(chóng)多___；第5單元開(kāi)始出現(xiàn)“部分—部分—全體型”問(wèn)題，情境是通過(guò)圖文呈現(xiàn)，一共有6只企鵝，可以看到右邊有4只，左邊被東西遮擋住了，問(wèn)左邊有幾只。綜上可見(jiàn)，一上年級(jí)已經(jīng)呈現(xiàn)了減法的三種模型。值得注意的是“比較型”問(wèn)題在一年級(jí)中只呈現(xiàn)求相差數(shù)的問(wèn)題，到了二上年級(jí)，在“100 以內(nèi)加減法（二）”中出現(xiàn)了“比較型”問(wèn)題中求較小量的順向問(wèn)題，到五上年級(jí)“簡(jiǎn)易方程”單元中才出現(xiàn)“比較型”問(wèn)題中求較小量的逆向問(wèn)題。

另外，三種減法模型（除“比較型”問(wèn)題中求較小量以外）都出現(xiàn)在“數(shù)的認(rèn)識(shí)”知識(shí)點(diǎn)后，教材呈現(xiàn)時(shí)都借助了情境圖，以幫助學(xué)生更好地理解減法意義。因此，教學(xué)時(shí)要關(guān)注數(shù)數(shù)、數(shù)的組成等內(nèi)容，并借助這些內(nèi)容幫助學(xué)生理解每一種減法模型的意義。

二、學(xué)情調(diào)查與分析

選取同一區(qū)域內(nèi)134 名學(xué)生，從兩個(gè)層面、四個(gè)維度對(duì)他們理解減法意義的情況進(jìn)行調(diào)查。第一層面是考查學(xué)生用圖示或情境來(lái)表征減法意義的情況；第二層面是考查學(xué)生將圖例或文字描述抽象成算式的水平。

（一）用圖示表征減法意義的水平分析

測(cè)試中，要求學(xué)生用兩個(gè)不同的圖示表征“5-3”的意思，以考查學(xué)生用圖示表征減法意義的情況，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表1所示。

表1 圖示表征算式能力水平統(tǒng)計(jì)表

從表1中可以發(fā)現(xiàn)：能用兩種不同方法表征減法意義的學(xué)生只占學(xué)生總?cè)藬?shù)的29.9%，而40.3%的學(xué)生畫了兩個(gè)圖示，但表征的內(nèi)容屬于同一類型，說(shuō)明多數(shù)學(xué)生還沒(méi)有建立對(duì)減法的“類”的感知。同時(shí)，在226 份表征圖中，有186 份采用“改變型”問(wèn)題的方式（用畫去、圈走等方法）來(lái)解釋減法的意義，僅有40 份采用了“部分—部分—全體型”問(wèn)題的方式來(lái)解釋5-3 的意思，而沒(méi)有學(xué)生采用“比較型”問(wèn)題的方式來(lái)解釋減法。這說(shuō)明在用圖式表示減法意義的三種模型時(shí)，學(xué)生最熟悉的是“改變型”，而“比較型”和學(xué)生的心理距離最遠(yuǎn)。同時(shí)，用“改變型”解釋減法意義的圖示，多數(shù)（178份）都是用圓圈等具體的圖形來(lái)表示數(shù)，極少數(shù)（8份）采用小棒圖或計(jì)數(shù)器來(lái)表示（如圖2、圖3），或許在其中可以看到教學(xué)對(duì)這部分學(xué)生產(chǎn)生的影響。

圖2

圖3

（二）用情境描述減法意義的水平分析

測(cè)試內(nèi)容為：要求學(xué)生根據(jù)算式“5-3”編寫兩個(gè)不同的情境來(lái)闡述算式的意義。以考查學(xué)生用情境描述減法意義的情況，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表2所示。

表2 情境描述減法意義的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表

從表2的數(shù)據(jù)中可以看出，97%的學(xué)生都能用一種或兩種情境描述減法的意義。但與用圖式表征不同的是，用情境描述減法意義時(shí)，學(xué)生的表征類型集中在“改變型”問(wèn)題和“比較型”問(wèn)題上，卻沒(méi)有學(xué)生采用“部分—部分—全體型”。其中，編寫出的218道題目中，有101道是“……飛走了（吃掉了）……還剩幾個(gè)？”這種求還剩多少的類型，占總題數(shù)的46.3%，有95 道是直接用文字表達(dá)“5 比3 多幾個(gè)？”或“3比5少幾個(gè)？”占總題數(shù)的43.6%。

在上述兩個(gè)維度的書(shū)面調(diào)查后，教師有針對(duì)性地選取了每班5 位（共20 位）學(xué)生進(jìn)行訪談。訪談的內(nèi)容為“你覺(jué)得什么是減法？”訪談中發(fā)現(xiàn)，78%的學(xué)生能模糊地說(shuō)出“從一堆東西里拿掉一部分”，也就是學(xué)生對(duì)減法意義的理解更多建立在“拿走、飛走、吃了”等生活中的動(dòng)態(tài)思維中，這是減法產(chǎn)生的原基礎(chǔ)。

（三）將圖例表征抽象成算式的水平分析

為考查學(xué)生根據(jù)圖例，寫出相應(yīng)的減法算式的能力，對(duì)學(xué)生進(jìn)行了“看圖寫算式并計(jì)算”的調(diào)查。調(diào)查試卷中共有10道題目，其中7道需要用減法解決。統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表3所示。

表3 圖例抽象算式能力水平統(tǒng)計(jì)表

從表3 中發(fā)現(xiàn)：學(xué)生解決“部分—部分—全體型”問(wèn)題（第3 小題）與“改變型”問(wèn)題（第1、2、4 小題）時(shí)，正確率都比較高。尤其是第1小題，正確率為100%，這與前文中，請(qǐng)學(xué)生用圖式表征減法意義，學(xué)生更喜歡用畫去圓形的方法表征減法意義相一致。這幾道題目中，相對(duì)來(lái)講，求改變量的第4小題有9%的學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤率較高。仔細(xì)分析發(fā)現(xiàn)，其中6.0%的學(xué)生把求結(jié)果量與求改變量相混淆，寫成了“10-4=6”，也就是說(shuō)他們對(duì)起始量、改變量與結(jié)果量三者之間的關(guān)系是清晰的，只是表征關(guān)系的算式與“習(xí)慣”不符，只有3.0%的學(xué)生把算式寫成了“10+6=16”，這3%的學(xué)生才是對(duì)三種量之間的關(guān)系理解不到位。

第5、6、7小題屬于“比較型”問(wèn)題模型，分別是求差異量、求較小量的順向問(wèn)題和求較小量的逆向問(wèn)題。其中，第7小題是所有題目中錯(cuò)誤率最高的題目，有70.1%的學(xué)生將算式列成“5+3=8”，訪談中發(fā)現(xiàn)，題目中的“多”字對(duì)學(xué)生的影響很大，也就是說(shuō)，這部分學(xué)生對(duì)誰(shuí)與誰(shuí)比、誰(shuí)比誰(shuí)少中，哪一個(gè)“誰(shuí)”才是比較的標(biāo)準(zhǔn)還不夠清晰。

（四）將文字描述抽象成算式的水平分析

為考查學(xué)生將純文字表征的題目抽象成算式的能力，進(jìn)一步了解學(xué)生對(duì)減法意義的理解，對(duì)學(xué)生進(jìn)行了“先用圖式表示題目?jī)?nèi)容，再列式計(jì)算”的測(cè)試，與“將圖例表征抽象成算式”的測(cè)試一樣，共測(cè)試10小題。統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表4所示。

測(cè)試結(jié)果同樣顯示學(xué)生解決“部分—部分—全體型”問(wèn)題（第3小題）與“改變型”問(wèn)題（第1、2、4小題）時(shí)，正確率較高，而解決“比較型”問(wèn)題尤其是“求較小量的逆向問(wèn)題”（第7 小題）出錯(cuò)的人數(shù)最多，正確率只有77.6%。同時(shí)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生用算式解答的正確率高于用圖式表征題目意思的正確率，尤其是第7小題，沒(méi)有學(xué)生能用圖式正確表征出題目的意思，這當(dāng)然可能與教材的安排有關(guān)，但同時(shí)也說(shuō)明比較型問(wèn)題涉及兩個(gè)量之間的關(guān)系，一上年級(jí)學(xué)生要理解兩個(gè)量（兩個(gè)數(shù)）之間存在的關(guān)系確實(shí)有困難。

三、調(diào)查后的啟示

（一）要整體構(gòu)建減法意義三種模型

所謂整體思維，就是要把各個(gè)部分按照一定的秩序組織起來(lái)，以整體和全面的視角把握對(duì)象。本次調(diào)查與分析，雖然是根據(jù)減法意義的三種模型，從不同角度展開(kāi)，但事實(shí)上，減法意義的分類與模型的建構(gòu)，并不是讓減法意義的理解從類型的角度割裂開(kāi)來(lái)，而更需要教師用整體的視角有深度地去把握，去架構(gòu)不同模型，使學(xué)生能從一種模型聯(lián)想到另一種模型，達(dá)到模型間的互相連通，真正把減法的意義理解透徹。

表4 文字抽象算式能力水平統(tǒng)計(jì)表

教學(xué)時(shí)，可以從減法的生活原型（拿走的）入手，把“改變型”問(wèn)題與“部分—部分—全體型”問(wèn)題建立起一個(gè)整體框架（如圖4）。

圖4

“改變型”問(wèn)題中的起始量相當(dāng)于“部分—部分—全體型”問(wèn)題中的總量，當(dāng)把拿走的部分看作是一種改變時(shí)，另一部分就是剩余量；如果把一部分看作是結(jié)果量，那么另一部分就是改變量。

“比較型”問(wèn)題的三種形式也可以與“部分—部分—全體型”問(wèn)題構(gòu)建起一個(gè)框架（如圖5）。

圖5

這樣學(xué)生會(huì)對(duì)減法有一個(gè)整體性的感知，對(duì)減法的認(rèn)知過(guò)程會(huì)成為一個(gè)系統(tǒng)化的過(guò)程，能凸顯減法知識(shí)內(nèi)外縱橫的結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)，突出減法認(rèn)知過(guò)程和思維方式深入的融通，結(jié)構(gòu)化地理解減法意義。

（二）要重視引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷多元表征過(guò)程

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中，數(shù)學(xué)表征起到了極其重要的作用，數(shù)學(xué)表征能力發(fā)展在很大程度上影響著學(xué)生的認(rèn)知水平。模型、文字、符號(hào)等是基本的表征形式，每一種表征都能用來(lái)表達(dá)任意一種運(yùn)算的關(guān)系，幫助學(xué)生發(fā)展運(yùn)算意識(shí)。如算式“5-3”，圖形表征方式可以是5個(gè)圖形整體圈去3個(gè)，實(shí)物表征可以是5個(gè)學(xué)具中拿去3個(gè)，當(dāng)然也可以用文字等形式來(lái)表征。學(xué)生能否用多種方式表征，與學(xué)生的理解程度存在正相關(guān)。在教學(xué)時(shí)，特別是在解決問(wèn)題的過(guò)程中，運(yùn)用不同的表征才能真正加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解，更好地提升數(shù)學(xué)思維能力。教師可以在教學(xué)中有意識(shí)地設(shè)計(jì)一些信息較多且相互之間關(guān)系較為復(fù)雜的問(wèn)題，讓學(xué)生經(jīng)歷并體會(huì)到運(yùn)用數(shù)學(xué)多元表征的豐富性和必要性，在這個(gè)過(guò)程中逐步梳理數(shù)學(xué)信息、對(duì)象之間的關(guān)系，促進(jìn)學(xué)生對(duì)意義的內(nèi)化、理解。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》指出：“教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，面向全體學(xué)生，注重啟發(fā)式和因材施教?！睂?duì)一年級(jí)學(xué)生進(jìn)行減法概念理解的調(diào)查正是基于這樣的思考，讓學(xué)生在減法意義、模型建構(gòu)中借助豐富的現(xiàn)實(shí)情境，經(jīng)歷從具體情境到抽象算式的歸納過(guò)程，并能從算式中聯(lián)想到具體情境，深刻感知減法不同形式的表達(dá)；最后，讓學(xué)生通過(guò)語(yǔ)言表述、符號(hào)表征和算式表達(dá)等方式進(jìn)行融會(huì)貫通，便于整體性、立體化理解減法的本質(zhì)意義。