姚裕豐, 張雅靜

（上海海事大學(xué) 數(shù)學(xué)系, 上海 201306）

0 引 言

設(shè)基域 F 是代數(shù)閉域, g 是 F 上的李代數(shù),r∈Z≥2. 李代數(shù) g 的r元組交換簇Cr(g) 是 g 中所有互相交換的r元組的集合, 即

則Cr(g) 是 gr的閉子簇. 當(dāng) c harF=0 , g 是簡約李代數(shù), 且r=2 時, Richardson[1]證明了C2(g) 是不可約簇. 此結(jié)論被Levi[2]推廣到了素特征域上簡約李代數(shù)的情形. 對于一般線性李代數(shù) g ln, Gerstenhaber[3]證明了當(dāng)n≥4 且r≥5 時,Cr(gln) 是可約的. 進(jìn)一步, Kirillov和Neretin[4]證明了C4(gl4) 是可約的, 且對于任意的r≥1 ,Cr(gl2) 及Cr(gl3) 都是不可約的. Guralnick和Sethuraman[5]證明了當(dāng)n≤10 時,C3(gln) 是不可約的, 而當(dāng)n≥30 時,C3(gln) 是可約的.

不同于特征零情形, 特征大于5的代數(shù)閉域上有限維單李代數(shù)分為典型李代數(shù)和Cartan型李代數(shù) (見文獻(xiàn)[6-7]). 作為非典型單李代數(shù)的第一個例子, 即Witt代數(shù), 是由Witt于20世紀(jì)30年代首先發(fā)現(xiàn)的. Witt代數(shù)的2元組交換簇在文獻(xiàn)[8]中被確定, 同時還證明了該簇是可約簇且不是等維的,并給出了所有不可約分支. 本文在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究Witt代數(shù)的r元組交換簇.

1 預(yù)備知識

本文總假設(shè)基域 F 是特征p＞3 的代數(shù)閉域. 所有的代數(shù)(線性空間, 簇)都定義在 F 上.

設(shè) A =F[X]/(Xp) 是域 F 上一個變量的截頭多項式代數(shù), 其中 (Xp) 表示 F [X] 中由Xp生成的理想.為方便起見, 將X在 A 中的陪集也記為X, 則 A 有一組典范的線性基{1,X,···,Xp?1}. 設(shè)?是 A 上的線性算子, 定義如下:?Xi=iXi?1,0≤i≤p?1 . Witt代數(shù)W1即為 A 上的所有導(dǎo)子構(gòu)成的李代數(shù).

以下總假設(shè) g =W1. 由文獻(xiàn)[9], g =spanF{Xi?|0≤i≤p?1}. 截頭多項式代數(shù) A 上的自然 Z -階化

誘導(dǎo)出 g 的 Z -階化

其中

結(jié)合于此階化, 有以下自然濾過:

其中

設(shè)G=Aut(g) 是 g 的 自 同 構(gòu) 群, 則G是 一 個p?1 維 的 連 通 代 數(shù) 群, 且 L ie(G)=g0,σ(gi)=gi,?σ∈G,?1≤i≤p?2 . 對于 g 中的任意元素x, 它的中心化子 zg(x)={y∈g|[x,y]=0}是g的一個限制子代數(shù). 需要以下關(guān)于 g 中元素中心化子的結(jié)構(gòu)定理.

引理 1.1[8]設(shè) g =W1是域 F 上的Witt代數(shù),x∈gigi+1, 則

2 Witt代數(shù)的 r 元組交換簇

保持之前的記號, 特別地, g =W1是域 F 上的Witt代數(shù),r∈Z≥2, g 的r元組交換簇Cr(g)={(x1,···,xr)∈gr|[xi,xj]=0,?1≤i,j≤r},則Cr(g) 是 gr的閉子簇, 且Cr(g) 在 g 的自同構(gòu)群G的對角作用下不變, 即Cr(g) 是一個G-簇. 本章研究代數(shù)簇Cr(g) 的結(jié)構(gòu).

設(shè)

對于任意i∈{1,···,p?2}, 令

記C(i) 的閉包為 C (i) , 0 ≤i≤p?1 . 有下面簡單的引理.證 明 由C(0) 的定義知

由引理 1.1 知φi是雙射. 從而, C (i) 是不可約的, 且

以下給出Witt代數(shù)r元組交換簇的結(jié)構(gòu)定理.

是Cr(g) 的不可約分支分解.

證 明 分以下幾步證明.

第1步 按如下方式定義GLr(F) 在 gr上的作用:

由Cr(g) 的定義易知Cr(g) 是 gr的GLr(F) -子簇. 由于GLr(F) 是連通代數(shù)群, 根據(jù)文獻(xiàn)[10]中的命題8.2知Cr(g) 的每個不可約分支在GLr(F) 作用下不變. 特別地, 對于任意 1 ≤i＜j≤r,Cr(g) 的每個不可約分支在以下對合作用下不變:

第2步 設(shè)

是典范的投射, 則 P r1(C(i))=gigi+1,1≤i≤p?2 , 而 P r1(C(0))=g , P r1(C(p?1))=0 . 因此,

且

第3步 以下對r用數(shù)學(xué)歸納法證明定理的結(jié)論.

當(dāng)r=2 時, 由 于C(?1):={(x,ax)|x∈g?1g0}?C(0) , 從而 C (?1):=C(?1)?C(0) . 由 引理2.2及文獻(xiàn)[8]中的定理1得到 C (?1)=C(0) . 因此, 由文獻(xiàn)[8]中的定理1知本定理當(dāng)r=2 時成立.

以下假設(shè)r＞2 , 且本定理結(jié)論對r?1 成立. 設(shè)

是Cr?1(g) 的不可約分支分解, 則

由引理1.1知ψi是同構(gòu). 從而 C (i)=gi×Cr?1(gp?1?i) . 設(shè)

是Cr?1(gp?1?i) 的不可約分支分解, 其中si是Cr?1(gp?1?i) 的不可約分支的個數(shù), 則

從而

從定理2.1可得到下面的推論.

推論 2.1 設(shè)g =W1是特征p＞3 的代數(shù)閉域上的Witt代數(shù),r∈Z≥2, 則 g 的r元組交換簇Cr(g)既不是正規(guī)的, 也不是Cohen-Macaulay.

因此，根據(jù)文獻(xiàn)[11]中的注記17.1.3知Cr(g) 不是正規(guī)的. 進(jìn)一步, 由定理2.1和引理2.2知Cr(g) 不是等維的, 從而不是Cohen-Macaulay.

注記 2.1 (1) 本文得到的關(guān)于Witt代數(shù)的r元組交換簇Cr(g) 的性質(zhì)與典型李代數(shù) g l2,sl2情形的性質(zhì)截然不同. Ngo[12]得到當(dāng) L =gl2或 s l2時, L 的r元組交換簇Cr(L) 是不可約的、正規(guī)的、Cohen-Macaulay.

(2) 本文基域 F 的特征p＞3 這一限制條件是必需的. 當(dāng)p=3 時, Witt代數(shù)W1同構(gòu)于典型李代數(shù)sl2.

(3) 對于秩n的Witt代數(shù)Wn的r元組交換簇Cr(Wn) 的結(jié)構(gòu)有待進(jìn)一步研究.