（中國(guó)船舶集團(tuán)第七二二研究所武漢邁力特通信有限公司 武漢 430205）

1 引言

動(dòng)力學(xué)的經(jīng)典通用運(yùn)動(dòng)方程為［3］

式中：［M］是質(zhì)量矩陣［4］、［C］是阻尼矩陣［4］、［K］是剛度矩陣［6］、δ是位移、F是激勵(lì)力。F是時(shí)間t的函數(shù)。

不同的分析類型對(duì)應(yīng)不同形式的求解方程：1）對(duì)于模態(tài)分析時(shí)，則F（t）=0，［C］被忽略；2）對(duì)于諧響應(yīng)分析，F(xiàn)（t）與δ（t）都假設(shè)為諧函數(shù)，例如正弦振動(dòng)；3）對(duì)于瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析，上述方程保持其完整性不變等。

因此，單自由度方向正弦振動(dòng)的微分方程可簡(jiǎn)化成如下方程：

正弦運(yùn)動(dòng)位移：δ（t）=Xsin（ωt+φ）。

式中：ω為角頻率，ω=2πf（rad/s）；f為周頻率（Hz），即單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)的次數(shù)；X為位移峰值（mm），即振幅；φ為初始相位角（rad）；t為時(shí)間（s）。

解上述簡(jiǎn)化方程，得：

因此，對(duì)于并聯(lián)隔振系統(tǒng)，明確了系統(tǒng)剛度和載荷質(zhì)量后，即可得到隔振系統(tǒng)的振動(dòng)頻率（即固有頻率）。

材料的剛度是由使其產(chǎn)生單位變形所需的外力值來(lái)衡量的。各向同性材料的剛度取決于它的彈性模量E和剪切模量G，還與其幾何形狀、邊界條件等因素有關(guān)。

等效剛度：材料、外形及幾何尺寸固定的物體，其自然頻率（又稱固有頻率）是固定不變的，因此使用線性等剛度或非線性變剛度隔振器時(shí)，在固定載荷質(zhì)量作用下，其固有頻率是固定不變的。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，可先簡(jiǎn)化計(jì)算用的數(shù)學(xué)模型。實(shí)際研究過(guò)程中，將剛度做歸一化處理［7］，得到一個(gè)固定的剛度值。這個(gè)固定的剛度值，就是等效剛度［8］。

下圖表示由兩個(gè)彈性系統(tǒng)，歸一化擬合成一個(gè)彈性系統(tǒng)的過(guò)程［8］。

圖1（a）表示由剛度分別為K1和K2的組成的彈性系統(tǒng)，在矢量力作用下，產(chǎn)生位移。根據(jù)胡克定律，得到以下等式。

圖1 并聯(lián)剛度轉(zhuǎn)化過(guò)程

圖1（b），在相同矢量力作用下，也產(chǎn)生相同位移。以上同理，可得如下等式。

圖1 某設(shè)備振動(dòng)掃頻結(jié)果

對(duì)比等式（1）、（2），于是就可得出：K=K1+K2，K就是K1+K2彈性系統(tǒng)的等效剛度。

依次類推，多個(gè)隔振器并聯(lián)使用時(shí)，單個(gè)隔振器的剛度分別是 K1、K2、K3，…，則并聯(lián)系統(tǒng)的等效剛度：

所以并聯(lián)使用彈性系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)的剛度系數(shù)K是各個(gè)隔振器的剛度系數(shù)Ki的算術(shù)之和。實(shí)際使用中，各個(gè)隔振器的算術(shù)符號(hào)完全相同，要么全為“+”，要么全為“-”，因此，并聯(lián)后隔振系統(tǒng)的剛度，都會(huì)強(qiáng)于單個(gè)隔振器的剛度，即

由于小阻尼對(duì)振動(dòng)周期略有影響［8］，所以此處可忽略阻尼的影響，隔振系統(tǒng)的振動(dòng)頻率可近似計(jì)算如下：

式中：f為隔振系統(tǒng)的振動(dòng)頻率，即隔振系統(tǒng)的固有頻率；|k|為隔振系統(tǒng)的剛度系數(shù)，即隔振系統(tǒng)的等效剛度；m為隔振系統(tǒng)所承受載荷的質(zhì)量。

由式（5）可知，當(dāng)知曉并聯(lián)隔振系統(tǒng)的等效剛度|k|與隔振系統(tǒng)載荷的質(zhì)量m后，就可計(jì)算出無(wú)阻尼狀態(tài)下，并聯(lián)隔振器系統(tǒng)的單自由度方向的振動(dòng)頻率，且f與|k|正相關(guān)，也就是說(shuō)，在相同載荷質(zhì)量m的作用下，并聯(lián)后隔振系統(tǒng)的振動(dòng)頻率，將朝頻率f軸的正方向移動(dòng)，即并聯(lián)后隔振系統(tǒng)的固有頻率，將高于單個(gè)隔振器的固有頻率。

例如，已知在載荷質(zhì)量m作用下，剛度是Kj的隔振器，其固有頻率是f1j。

當(dāng)四個(gè)剛度系數(shù)是Kj的相同隔振器并聯(lián)使用時(shí)，根據(jù)式（3）可計(jì)算出隔振系統(tǒng)的等效剛度系數(shù)是 4Kj。根據(jù)前面式（5）中 f與|k|的關(guān)系，并聯(lián)后隔振系統(tǒng)的固有頻率將增加到2f1j。計(jì)算過(guò)程如下。

并聯(lián)隔振系統(tǒng)等效剛度|k|=K1+K2+K3+K4=Kj+Kj+Kj+Kj=4Kj。

單個(gè)隔振器使用時(shí)，固有頻率為

四個(gè)隔振器并聯(lián)使用時(shí)，固有頻率為

解由式（6）、（7）組成的方程組，得

以上描述的是等剛度隔振器組成的隔振系統(tǒng)的等效剛度歸一化擬合方法和固有頻率計(jì)算方法。

實(shí)際工程應(yīng)用中，我們也經(jīng)常會(huì)遇到變剛度隔振器組成的隔振系統(tǒng)［9～11］。我們長(zhǎng)期的振動(dòng)試驗(yàn)得到的試驗(yàn)結(jié)果表明，類似不銹鋼鋼絲繩隔振器，屬變阻尼變剛度型隔振器，在單一軸方向振動(dòng)時(shí)［12］，用前面的等剛度歸一化方法計(jì)算得出的等效剛度及固有頻率，與試驗(yàn)結(jié)果接近度很高。

因此，對(duì)并聯(lián)變剛度隔振系統(tǒng)的等效剛度歸一化處理，也可參照此方法，從而可大大減少設(shè)計(jì)建模工作量和計(jì)算工作量，以提高設(shè)計(jì)效率。

2 實(shí)例驗(yàn)證

舉一具體實(shí)例，來(lái)對(duì)剛度歸一化的擬合算法及頻率計(jì)算數(shù)學(xué)模型進(jìn)行驗(yàn)證。

某掛裝安裝式設(shè)備的隔振系統(tǒng)，選用了兩個(gè)型號(hào)為GH-40B的不銹鋼鋼絲繩隔振器，該隔振器平坐安裝時(shí)的額定載荷能力是4kg、側(cè)掛安裝時(shí)的載荷能力是1.8kg。

隔振器特性見(jiàn)表1。

表1 隔振器特性表

隔振系統(tǒng)承載的設(shè)備質(zhì)量是3.2kg。隔振器的額定承載能力之和是8kg，與設(shè)備重量之比是8÷3.2=2.5（倍）。

查表1得到廠家給出的隔振器的特征數(shù)據(jù)如下。

GH-40B隔振器側(cè)掛額定載荷1.8kg，垂直于掛裝安裝面（即平坐方向）振動(dòng)時(shí)的固有頻率范圍是9Hz～12Hz。根據(jù)隔振器廠家的實(shí)測(cè)結(jié)果，并根據(jù)固有頻率、剛度系數(shù)與質(zhì)量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，以及1.8kg額定載荷對(duì)應(yīng)的隔振器的固有頻率是12Hz，對(duì)應(yīng)的方程式如下：

定義并聯(lián)使用兩個(gè)GH-40B組成的隔振系統(tǒng)的固有頻率為f21，并聯(lián)后，系統(tǒng)等效剛度是2K，隔振系統(tǒng)掛裝承載的載荷質(zhì)量3.2kg時(shí)，則對(duì)應(yīng)的方程式如下：

解由式（6）、（7）組成的方程組，得

圖2是振動(dòng)試驗(yàn)時(shí)振動(dòng)掃頻結(jié)果，共振點(diǎn)在12.67Hz，與計(jì)算出的12.73Hz固有頻率比較接近?？紤]測(cè)量誤差，基本可判定兩者結(jié)果是相同的。

3 仿真驗(yàn)證

3.1 不銹鋼隔振器

某不銹鋼材質(zhì)隔振器的形態(tài)如圖3所示。

圖3 某隔振器三維狀態(tài)圖

下面，我們將在Y軸方向，用ANSYS Workbench有限元仿真軟件，在相同載荷質(zhì)量m作用下，分別仿真分析單個(gè)隔振器、兩個(gè)隔振器、四個(gè)隔振器組成的隔振系統(tǒng)的固有頻率，看看仿真結(jié)果是否固有頻率計(jì)算結(jié)果一致。

定義用fij表示隔振系統(tǒng)的固有頻率，其中i表示并聯(lián)隔振器的數(shù)量，j表示振動(dòng)階次，如f21表示由兩個(gè)隔振器組成的隔振系統(tǒng)的第1階固有頻率。

3.2 單隔振器隔振系統(tǒng)

首先聲明一下，在如車、船、飛機(jī)等環(huán)境下，不會(huì)出現(xiàn)如下圖所示的單隔振器系統(tǒng)，但在理想的單軸方向，將單隔振器系統(tǒng)作為一種研究方法，以及作為研究對(duì)象是可行的，單隔振器系統(tǒng)是我們研究及參照基礎(chǔ)。

載荷質(zhì)量m，單隔振器組成的隔振系統(tǒng)三維形態(tài)如圖4所示。

圖4 單隔振器隔振系統(tǒng)三維狀態(tài)圖

經(jīng)仿真，前六階固有頻率及振型見(jiàn)表2。

表2 單隔振器系統(tǒng)固有頻率及振型

對(duì)比表2中的各階振型，可看出，只有第六階振型是沿Y軸方向運(yùn)動(dòng)的，第六階的固有頻率是f16=115.33Hz。

3.3 雙隔振器隔振系統(tǒng)

載荷質(zhì)量m，雙隔振器組成的隔振系統(tǒng)三維形態(tài)如圖5所示。

圖5 雙隔振器隔振系統(tǒng)三維狀態(tài)圖

經(jīng)仿真，前六階固有頻率及振型見(jiàn)表3。

表3 雙隔振器系統(tǒng)固有頻率及振型

對(duì)比表3中的各階振型，可看出，只有第五階振型是沿Y軸方向運(yùn)動(dòng)的，第五階的固有頻率是f25=160.32Hz。

3.4 四隔振器隔振系統(tǒng)

載荷質(zhì)量m，四隔振器組成的隔振系統(tǒng)三維形態(tài)如圖3所示。

經(jīng)仿真，前六階固有頻率及振型見(jiàn)表4。

表4 四隔振器系統(tǒng)固有頻率及振型

對(duì)比表4中的各階振型，可看出，只有第六階振型是沿Y軸方向運(yùn)動(dòng)的，第六階的固有頻率是f46=220.2Hz。

3.5 結(jié)果對(duì)比分析

我們將根據(jù)前文提供的剛度擬合及固有頻率計(jì)算方法，計(jì)算出三種隔振系統(tǒng)在Y軸方向振動(dòng)時(shí)的固有頻率，并與仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，對(duì)比結(jié)果見(jiàn)表5。

表5 隔振系統(tǒng)固有頻率計(jì)算與仿真結(jié)果對(duì)比表（Hz）

仿真及計(jì)算，都存在一定的誤差，忽略這些誤差，可判定仿真結(jié)果與計(jì)算結(jié)果是相同的。

圖6 四隔振器隔振系統(tǒng)三維狀態(tài)圖

4 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)實(shí)物振動(dòng)試驗(yàn)掃頻驗(yàn)證及仿真結(jié)果驗(yàn)證，證明了本文提供的并聯(lián)隔振系統(tǒng)的剛度歸一化擬合技術(shù)及并聯(lián)隔振系統(tǒng)固有頻率的計(jì)算方法是正確的，對(duì)設(shè)計(jì)并聯(lián)隔振系統(tǒng)具有較好的指導(dǎo)意義。