劉冠華 ，肖 威

（1.北京機械工業(yè)自動化研究所，北京 100120；2.北京機械工業(yè)自動化研究所有限公司，北京 100120）

0 引言

流延薄膜的生產(chǎn)方法主要有管膜法、平膜拉伸法，其中平膜法的生產(chǎn)效率和質(zhì)量高于管膜法，且能夠生產(chǎn)出更高幅寬的薄膜，因此被廣泛運用，現(xiàn)階段更多采用的是以此為基礎的多層共擠的流延拉伸薄膜生產(chǎn)技術(shù)[1,2]。

通常，合格的膜卷一般要求成品膜卷內(nèi)緊外松，最外側(cè)平整內(nèi)側(cè)無皺，兩端整齊。但薄膜具有寬幅且薄易發(fā)生形變的特性，為達到這一效果，需要對薄膜的表面張力以及膜卷內(nèi)應力進行更為有效的控制，常見方法是在收卷時保持薄膜表面張力的恒定或者形成一定的張力錐度[3]。目前，限制塑料薄膜生產(chǎn)行業(yè)發(fā)展和生產(chǎn)效率的主要因素變成了薄膜的卷取速度和收卷質(zhì)量[4]。

1 薄膜收卷現(xiàn)狀分析以及相應規(guī)律

對于通常的流延薄膜拉伸生產(chǎn)線而言，其生產(chǎn)工序通常應包括原料——計量——擠出——冷卻鑄片——拉伸——檢測——牽引（電暈處理）——收卷等工序，其中收卷作為最后一環(huán)，主要用于對已成型的薄膜進行在線卷繞并最終制成產(chǎn)品幅卷。國內(nèi)在此方面與國外差距較大，將兩家主要薄膜拉伸生產(chǎn)線供應商的主線收卷機參數(shù)與國外主要收卷機供應商相關(guān)參數(shù)做出對比，如表1所示，可見在國產(chǎn)收卷機仍停留在低速窄幅的水平，與國外有著較大差距。

表1 國內(nèi)外主線收卷機參數(shù)對比表

大多數(shù)薄膜的收卷都遵守TNT收卷規(guī)律[5]。當收取常規(guī)薄膜時，薄膜表面張力是控制膜卷內(nèi)部壓力大小的重要因素。隨著收卷過程的進行，最新的一層薄膜會對其包裹的內(nèi)層膜卷產(chǎn)生內(nèi)壓力，從而導致膜卷各層內(nèi)張力減小[6]。鑒于流延薄膜的特殊性，其不能承受壓應力[7]，出現(xiàn)負值內(nèi)張力時，將會出現(xiàn)膜卷褶皺，影響成品膜卷質(zhì)量。因此須對收卷機進行力學分析，找出合適的收卷張力曲線。

2 中心式薄膜收卷機

中心式收卷即收卷輥直接由電機驅(qū)動，該方式利用薄膜表面張力來控制收卷的膜卷的硬度和平整程度[8]。中心收卷模式通常使用雙工位工作形式，通過配備自動切膜機構(gòu)來實現(xiàn)自動換卷。在結(jié)構(gòu)上分為跟蹤機構(gòu)和卷曲機構(gòu)，跟蹤機構(gòu)主要為跟蹤架和跟蹤輥構(gòu)成，跟蹤輥一般要求質(zhì)輕，有剛性，因此常采用慣性較小的碳纖維輥[9]。而卷曲機構(gòu)是收卷機的主體部分，結(jié)合張力輥的張力檢測，可實現(xiàn)卷曲過程中的張力控制。

中心式收卷具有效率高無間斷工作的特點[10]，但是工作過程中，隨著卷徑的增加，為保證張力恒定或者錐度變化，轉(zhuǎn)矩與轉(zhuǎn)速必須隨之變化，這對于電氣控制以及機械結(jié)構(gòu)有著相當苛刻的要求，且其轉(zhuǎn)矩的傳遞通過膜卷的外層薄膜傳遞，易產(chǎn)生滑脫、褶皺，本文將對該類收卷機展開力學分析。

3 膜卷褶皺產(chǎn)生機理及薄膜張力分析

3.1 收卷輥轉(zhuǎn)矩——力學分析

圖1為中心收卷機中收卷輥與跟蹤輥的簡化模型，圖中右側(cè)軸體即為收卷輥，左側(cè)為跟蹤輥，在收卷的過程中收卷輥卷徑的增大會引起收卷線速度、兩輥之間的薄膜張力和收卷輥轉(zhuǎn)矩發(fā)生變化，但是通過力矩平衡方程可以較為容易的找出他們之間的關(guān)系。

圖1 收卷輥——接觸輥力學模型

設收卷輥收卷起始半徑為r，收卷過程中實際半徑為R，收卷轉(zhuǎn)速為n，兩輥之間薄膜張力為T，收卷輥軸承摩擦力矩為Mf，電動機（磁粉聯(lián)軸器）驅(qū)動轉(zhuǎn)矩為M，收卷輥等效轉(zhuǎn)動慣量為J，轉(zhuǎn)速為n，角加速度為。有以下力矩平衡方程：

其中收卷輥等效轉(zhuǎn)動慣量包括磁粉聯(lián)軸器輸出軸轉(zhuǎn)動慣量J1、收卷輥無卷時轉(zhuǎn)動慣量J2、收卷狀態(tài)時實時膜卷（不包括A軸）轉(zhuǎn)動慣量J3。其中J1、J2均為固定值只與選型有關(guān)，J3為隨收卷半徑R和質(zhì)量變化而變化的函數(shù)時間t有一定的關(guān)系，則：

J3與卷徑的關(guān)系需要使用微元法的方式求得，不妨設薄膜的質(zhì)量體密度為ρ，薄膜的幅寬為h，R為實時收卷卷徑，r為A軸原始半徑，每收一層薄膜卷徑增加d（R），由圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量公式可得：

該表達式證明收取膜卷的轉(zhuǎn)動慣量隨著卷徑R的變化而變化。而角加速α等于角速度ω的時間變化量即：

聯(lián)立上述二式可以求得關(guān)于收卷張力T的表達式(2)：

不計跟蹤輥輥到收卷輥之間因薄膜變形引起的膜長變化（距離較短），收卷速度等于跟蹤輥速度V2。則收卷輥轉(zhuǎn)速n為：

聯(lián)立式(3)，關(guān)于收卷張力T的表達式為：

收卷的張力大小是由電動機轉(zhuǎn)矩M、摩擦力矩Mf、收卷實時卷徑、收卷轉(zhuǎn)速n、驅(qū)動電機軸轉(zhuǎn)動慣量J1和A軸無卷時轉(zhuǎn)動慣量J2決定，由于Mf在電動機轉(zhuǎn)矩M恒定時可以忽略，故通過改變電動機輸出力矩M、跟蹤輥速度v2以及收卷的卷徑大小R來準確控制收卷張力。

3.2 收卷時膜卷內(nèi)張力變化分析

本節(jié)將分析已收取的成品膜卷內(nèi)層所承受張力的產(chǎn)生原因，并推導隨著收卷的進行，膜卷內(nèi)層薄膜的所承受張力的變化規(guī)律。

如圖2所示，設微元膜卷收到的均布載荷為p，收卷張力的大小為F，膜卷的初始卷徑為r0，收卷進行時外徑的大小為rn，張力的方向與水平面的夾角為φ。根據(jù)幾何關(guān)系有微元膜卷的弧長為rn?2φ，同時設收取薄膜的厚度為h。膜卷收卷時膜卷外側(cè)收到均布載荷，張力方向與水平面的夾角φ較小，且微元膜卷受到關(guān)于一組對稱的張力的影響。即有：

圖2 收卷時微元膜卷受力計算分析圖

又因為極角φ極小，可以近似sinφ=tanφ=φ，代入上式化簡有：

膜卷平面化模型應力分析如圖3所示，設對膜卷r處的徑向力為σr，環(huán)向力為σθ，徑向位移為ur，環(huán)向位移為uθ，則根據(jù)彈性力學，當=0和2π時，有可得B=0。又因為該模型為厚壁圓筒模型，整體為軸對稱模型與極角 無關(guān)，由此可知K=0、I=0，但力學公式中依舊含有待求未知數(shù)A、C，因此還需要尋找相關(guān)邊界條件：

圖3 膜卷平面化模型應力分析示意圖

上述四式證明了對于卷徑r處，徑向應變與材料彈性模量E以及泊松比μ有關(guān)，在同一膜卷內(nèi)卷徑r越大則徑向應變越大，且徑向應力，以及環(huán)向力均為負值。隨著收卷的進行，外側(cè)的薄膜對內(nèi)側(cè)的薄膜起到一個松弛作用，最終可能將內(nèi)部應力變?yōu)樨撝诞a(chǎn)生褶皺。根據(jù)式(10)可以得到第j圈對第i圈的環(huán)向應力為：

式(11)可以同時求得第j圈對第i圈的環(huán)向放松力為Fi,j=σθ（i，j）?h。對于卷徑內(nèi)某一點，設其層數(shù)為第i層，卷徑最大層數(shù)為n，初始張力為Fi，殘余張力為Fci。根據(jù)收卷規(guī)律，收卷后第i層殘余張力等于其后收卷的每層薄膜對其的放松張力與其初始張力的代數(shù)和。即有：

式(12)即第i層的殘余張力計算公式，再根據(jù)式(7)，式(13)進行簡化即：

式(13)即為離散形式的膜卷內(nèi)第i圈殘余張力計算方程，其適用于所有的膜卷任意一點殘余張力計算，但是收卷過程中成品膜卷層數(shù)基本達到千層以上級別，計算過于龐大復雜，由于薄膜厚度非常薄，通常只有30 μm以下，因此可以近似?。篽=dx，記：rj=x，F(xiàn)cj=Fc（x），上式變?yōu)椋?/p>

式(14)就是殘余張力Fci與初始張力Fi關(guān)系式。由于是積分方程，已知殘余張力時可直接積分求解初始張力，反之要求解這個積分方程。當rN=ri時，有FN=Fcn，也即最終收卷張力等于外層殘余張力，符合基本常識。

4 殘余張力收卷法介紹

通常將根據(jù)所要求的成品膜卷內(nèi)部殘余張力分布情況反推收卷時的初始張力變化曲線的這種方法稱為殘余張力收卷法。再采用張力與卷輥速度和力矩模式之間的數(shù)學關(guān)系進行張力控制，即得到滿足要求的成品膜卷。下面將進行詳細介紹。

4.1 恒殘余張力收卷法

設收卷后殘余張力為恒定值Fc（a）為常數(shù)，記收卷時卷徑比為Kr=ri/r0，完成時卷徑比Krn=rn/r0，即有Kr=1～Krn，張力錐度比為KF=F/Fn=F/Fcn，則開始時收卷時初始張力錐度比為KF0=F0/Fn，代入式(14)并進行計算有：

設卷輥初始卷徑為200mm，收卷完成時卷徑為1200mm，恒殘余張力為100N，λ=0.4，代入式(14)有并作圖如圖4所示。

圖4 恒殘余張力收卷收卷張力曲線

這是獲得恒殘余張力的收卷曲線。有擬合結(jié)果可知，若尋求恒殘余張力則要求收卷張力曲線接近于直線。

若以收卷時卷徑比Kr為橫坐標，張力錐度比KF為縱坐標如圖5所示。

圖5 恒殘余張力收卷時收卷張力錐度曲線

根據(jù)圖4和圖5所示，收卷即將結(jié)束時收卷張力與膜卷內(nèi)層殘余張力幾乎相等。收卷張力與殘余張力比KF為最大值時，

求得Kr取1.334時，KF為最大值。張力最大值為318.26N。

計算KF0有：

如圖6所示，恒殘余張力收卷時，根據(jù)膜卷最終卷徑比Krn與開始收卷時初始張力錐度比KF0基本滿足三次函數(shù)關(guān)系，只需要按照Krn=rn/r0選擇KF=F/Fn=F/Fcn即可得到F0的值，而后采用F0～Fn的近似線性的收卷張力變化曲線收卷，就會快速得到接近于恒值的膜卷內(nèi)殘余張力。

圖6 恒殘余張力收卷時KrN與KF0的關(guān)系

4.2 線性殘余張力收卷法

如果要求成品膜卷內(nèi)圈殘余張力大一些，防止褶皺，可采用線性殘余張力。如圖7所示。

圖7 線性殘余張力收卷法殘余張力曲線

線性殘余張力邊界條件是：

當r=r0，kr=kr0=1，F(xiàn)c（x）=kF0FN；當r=rN，kr=kFN=1，F(xiàn)c（x）=FN；也即有線性殘余張力方程：

代入式(14)積分化簡，令Kr=ri/r0有式(15)：

設卷輥初始卷徑為200mm，收卷完成時卷徑為1200mm，最內(nèi)層殘余張力為300N，最外層殘余張力為100N，代入式(15)，使用二次曲線進行擬合，有張力曲線如圖8所示。圖中可見自卷徑大于400mm后，擬合曲線幾與張力曲線重合，即收卷時可按二次曲線Fi=186.52ri2-721.02ri+695.4進行張力控制，可使成品膜卷得到近乎線性的殘余張力。按照需要的膜卷內(nèi)殘余張力曲線反推收卷張力曲線可以更加定性準確的進行收卷并有效提高收卷質(zhì)量。

圖8 線性殘余張力收卷曲線

5 結(jié)語

本文簡要說明了國內(nèi)外收卷機的發(fā)展現(xiàn)狀和相關(guān)參數(shù)差距。通過分析，得出了中心類收卷機的張力與收卷輥的力矩和轉(zhuǎn)速的數(shù)學關(guān)系。解釋分析了膜卷產(chǎn)生褶皺的機理，給出了膜卷內(nèi)任意一點殘余張力的計算方法，并建立了恒殘余張力收卷法和線性殘余張力收卷法的張力曲線設計公式和約束條件。這都為收卷機的張力控制提供了基礎理論和數(shù)據(jù)計算方法。