文 鄭小嬌

正方形是特殊的平行四邊形，通過它特殊的性質(zhì)，我們可以發(fā)現(xiàn)很多有趣的結(jié)論。

【基本問題1】如圖1，在正方形ABCD中，若點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，且AE⊥BF，垂足為M，那么AE與BF相等嗎？

圖1

圖2

圖3

【分析】由正方形ABCD，得AB=BC，∠ABC=∠C=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°?！逜E⊥BF，∴∠FBE＋∠AEB=90°，∴∠FBE=∠BAE，∴△ABE≌△BCF，∴AE=BF。

【變式】如圖2，在正方形ABCD中，若點(diǎn)E、F、G、H分別在BC、CD、DA、AB上，且GE⊥HF，垂足為M，那么GE與HF相等嗎？

【分析】過點(diǎn)A作GE的平行線交BC于點(diǎn)E′，過點(diǎn)B作HF的平行線交CD于點(diǎn)F′，如圖3，則問題轉(zhuǎn)化為【基本問題1】。

【基本問題2】如圖1，在正方形ABCD中，若點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，且AE=BF，那么AE⊥BF嗎？

【分析】由正方形ABCD，得AB=BC。又AE=BF，∠ABC=∠C=90°，∴Rt△ABE≌Rt△BCF?！唷螧AE=∠FBC，∴∠FBC+∠AEB=90°，∴AE⊥BF。

【變式】如圖2，在正方形ABCD中，若點(diǎn)E、F、G、H分別在BC、CD、DA、AB上，且HF=GE（AG＜BE，DF＜AH），那么HF⊥GE嗎？

【分析】過點(diǎn)A作GE的平行線交BC于點(diǎn)E′，過點(diǎn)B作HF的平行線交CD于點(diǎn)F′，則問題轉(zhuǎn)化為【基本問題2】。

【總結(jié)】如圖1，在正方形ABCD中，由AE=BF可 得AE⊥BF，由AE⊥BF可得AE=BF。由此，在解決其他問題時(shí)，就可以將“AE=BF”與“AE⊥BF”通過△ABE≌△BCF聯(lián)系起來，由此為突破口，從而找到解決問題的方法。若將“AE=BF”替換成“BE=CF”，“BE=CF”與“AE⊥BF”亦可通過△ABE≌△BCF聯(lián)系起來。

下面我們運(yùn)用這兩個(gè)基本原理解決相應(yīng)的問題。

【運(yùn)用1】如圖4，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，AE=BF，AE與BF相交于點(diǎn)M。

（1）若AE=5，點(diǎn)H為AF的中點(diǎn)，連接MH，則MH的長(zhǎng)為________。

（2）當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，CM的最小值為 。

圖4

圖5

【運(yùn)用2】如圖6，在正方形ABCD中，若點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，且AE⊥BF。

（1）四邊形ECFM與△ABM的面積相等嗎？說明理由。

（2）若AB=5，陰影部分的面積與正方形的面積之比為4∶5，求△ABM的周長(zhǎng)。

圖6

【分析】（1）由【基本問題1】可得△ABE≌△BCF，則△ABE與△BCF面積相等，又∵S四邊形ECFM=S△BCF-S△BME，S△ABM=S△ABES△BME，∴S四邊形ECFM=S△ABM。