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“相等”與“垂直”,緊緊兩相依

2021-06-06 12:15:00鄭小嬌
初中生世界 2021年18期
關(guān)鍵詞:平行線過點(diǎn)四邊形

文 鄭小嬌

正方形是特殊的平行四邊形,通過它特殊的性質(zhì),我們可以發(fā)現(xiàn)很多有趣的結(jié)論。

【基本問題1】如圖1,在正方形ABCD中,若點(diǎn)E、F分別在BC、CD上,且AE⊥BF,垂足為M,那么AE與BF相等嗎?

圖1

圖2

圖3

【分析】由正方形ABCD,得AB=BC,∠ABC=∠C=90°,∴∠BAE+∠AEB=90°?!逜E⊥BF,∴∠FBE+∠AEB=90°,∴∠FBE=∠BAE,∴△ABE≌△BCF,∴AE=BF。

【變式】如圖2,在正方形ABCD中,若點(diǎn)E、F、G、H分別在BC、CD、DA、AB上,且GE⊥HF,垂足為M,那么GE與HF相等嗎?

【分析】過點(diǎn)A作GE的平行線交BC于點(diǎn)E′,過點(diǎn)B作HF的平行線交CD于點(diǎn)F′,如圖3,則問題轉(zhuǎn)化為【基本問題1】。

【基本問題2】如圖1,在正方形ABCD中,若點(diǎn)E、F分別在BC、CD上,且AE=BF,那么AE⊥BF嗎?

【分析】由正方形ABCD,得AB=BC。又AE=BF,∠ABC=∠C=90°,∴Rt△ABE≌Rt△BCF?!唷螧AE=∠FBC,∴∠FBC+∠AEB=90°,∴AE⊥BF。

【變式】如圖2,在正方形ABCD中,若點(diǎn)E、F、G、H分別在BC、CD、DA、AB上,且HF=GE(AG<BE,DF<AH),那么HF⊥GE嗎?

【分析】過點(diǎn)A作GE的平行線交BC于點(diǎn)E′,過點(diǎn)B作HF的平行線交CD于點(diǎn)F′,則問題轉(zhuǎn)化為【基本問題2】。

【總結(jié)】如圖1,在正方形ABCD中,由AE=BF可 得AE⊥BF,由AE⊥BF可得AE=BF。由此,在解決其他問題時(shí),就可以將“AE=BF”與“AE⊥BF”通過△ABE≌△BCF聯(lián)系起來,由此為突破口,從而找到解決問題的方法。若將“AE=BF”替換成“BE=CF”,“BE=CF”與“AE⊥BF”亦可通過△ABE≌△BCF聯(lián)系起來。

下面我們運(yùn)用這兩個(gè)基本原理解決相應(yīng)的問題。

【運(yùn)用1】如圖4,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E、F分別在BC、CD上,AE=BF,AE與BF相交于點(diǎn)M。

(1)若AE=5,點(diǎn)H為AF的中點(diǎn),連接MH,則MH的長(zhǎng)為________。

(2)當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí),CM的最小值為 。

圖4

圖5

【運(yùn)用2】如圖6,在正方形ABCD中,若點(diǎn)E、F分別在BC、CD上,且AE⊥BF。

(1)四邊形ECFM與△ABM的面積相等嗎?說明理由。

(2)若AB=5,陰影部分的面積與正方形的面積之比為4∶5,求△ABM的周長(zhǎng)。

圖6

【分析】(1)由【基本問題1】可得△ABE≌△BCF,則△ABE與△BCF面積相等,又∵S四邊形ECFM=S△BCF-S△BME,S△ABM=S△ABES△BME,∴S四邊形ECFM=S△ABM。

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