趙雪松 謝倩嫻 尹仕紅 侯 婧 張日取

（1.深圳供電局有限公司計(jì)量管理所，廣東 深圳 430223；2.華立科技股份有限公司，浙江 杭州 310023）

0 引言

隨著智能電網(wǎng)發(fā)展和智能計(jì)量設(shè)備的普及應(yīng)用，智能計(jì)量設(shè)備運(yùn)行可靠性的問題越來越多，對(duì)計(jì)量貿(mào)易結(jié)算造成了重大影響[1]。目前全國眾多計(jì)量設(shè)備生產(chǎn)單位對(duì)智能計(jì)量設(shè)備的可靠性進(jìn)行了研究，例如物料平臺(tái)健全管控、自動(dòng)化檢測(cè)測(cè)試、間歇性故障研究、設(shè)計(jì)可靠性、零部件篩選以及生產(chǎn)工藝控制等，但這些研究以各企業(yè)自己的產(chǎn)品為研究對(duì)象，研究對(duì)象單一；同時(shí)，企業(yè)也不會(huì)公開發(fā)表相關(guān)的研究成果，因此不能推動(dòng)整個(gè)計(jì)量設(shè)備行業(yè)的發(fā)展，進(jìn)而嚴(yán)重影響了計(jì)量設(shè)備的健康發(fā)展[2-3]。隨著智能計(jì)量設(shè)備可靠性的發(fā)展，目前對(duì)馬爾可夫過程的研究也更加深入，馬氏過程模型的研究受到了越來越多的重視。在現(xiàn)實(shí)世界中，有很多過程都是馬爾可夫過程，從概率角度來看，對(duì)智能計(jì)量設(shè)備的可靠性水平進(jìn)行評(píng)估和預(yù)測(cè)，可以保證通信模塊有效、安全地運(yùn)行[4]。該文從其最原始的數(shù)學(xué)定義出發(fā)，逐步討論它的轉(zhuǎn)移概率矩陣、初始概率分布以及在時(shí)刻m的概率分布，詳盡闡述公式所表達(dá)的意義以及公式的應(yīng)用方法。目前，馬爾科夫過程的“無記憶性”（過去對(duì)于預(yù)測(cè)將來是無關(guān)的）已經(jīng)廣泛應(yīng)用于對(duì)相關(guān)行業(yè)可靠性的評(píng)價(jià)和預(yù)測(cè)等領(lǐng)域。該文從計(jì)量設(shè)備的可靠性出發(fā)，基于計(jì)量設(shè)備通信模塊（計(jì)量終端上行通信模塊）的失效建立了失效數(shù)據(jù)分布數(shù)學(xué)模型，從而對(duì)失效進(jìn)行評(píng)價(jià)。

1 馬爾科夫鏈

1.1 馬爾科夫鏈基本概念

如果離散空間K和離散時(shí)間的隨機(jī)過程F（t）為K={k1，k2，…}，那么對(duì)于任意時(shí)刻有0 ≤t1＜t2＜…＜tn，在tn時(shí)概率可以由條件概率定義，如公式（1）所示。

1.2 狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣

設(shè)某隨機(jī)過程滿足馬爾科夫過程，即滿足公式（3）的要求。

對(duì)于由n個(gè)狀態(tài)組成的狀態(tài)空間，它的轉(zhuǎn)移概率可以表示為如式（4）所示的矩陣。

式中：A（Δt）為時(shí)間間隔Δt內(nèi)狀態(tài)空間轉(zhuǎn)移函數(shù)；ann表示第n個(gè)狀態(tài)空間想第n狀態(tài)空間的轉(zhuǎn)移概率。

公式（4）具有的性質(zhì)如公式（5）所示。

式中：aij（Δt）為時(shí)間間隔Δt內(nèi)狀態(tài)ai與aj間的轉(zhuǎn)移概率函數(shù)。

如果t1，t2，t3…tn的時(shí)間間隔（Δt）相同，那么根據(jù)齊次性，概率矩陣A如公式（6）所示。

式中：aij為該狀態(tài)的概率；A為該空間整體樣本狀態(tài)概率。當(dāng)樣本數(shù)量趨向于無窮大時(shí)，可根據(jù)ti及ti+1時(shí)刻狀態(tài)的變化，獲得滿足誤差要求的系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣A。每增加1組樣本，矩陣A內(nèi)就可能會(huì)有一行值發(fā)生變化，行數(shù)對(duì)應(yīng)ti時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)，理論上，當(dāng)樣本數(shù)量足夠大時(shí)，A的統(tǒng)計(jì)值就可以無限接近于真實(shí)值。

2 通信模塊失效分類及狀態(tài)

2.1 通信模塊失效分類

在實(shí)際運(yùn)行時(shí)，智能計(jì)量設(shè)備通信模塊發(fā)生的某種故障可能是由1種或多種故障模式造成的，其故障機(jī)理過程是物理、化學(xué)、機(jī)械或生物等組合在一起的過程。通過故障機(jī)理分析，從根本上提高計(jì)量終端通信模塊的可靠性[5]。智能計(jì)量設(shè)備的典型故障都是由軟件、硬件引起的，下面以計(jì)量終端上行通信模塊為例，通過失效機(jī)理分析，對(duì)通信模塊進(jìn)行分類，見表1。

表1 通信模塊故障表

2.2 通信模塊狀態(tài)

將通信模塊安裝在運(yùn)行現(xiàn)場(chǎng)后，當(dāng)通信模塊處于或趨近于不滿足可靠性準(zhǔn)則要求的運(yùn)行狀態(tài)時(shí)，運(yùn)維人員將采取必要措施，確保智能計(jì)量設(shè)備的通信恢復(fù)到可以接受的水平。可以根據(jù)通信模塊的生命周期，對(duì)其不同狀態(tài)進(jìn)行分類，根據(jù)通信的實(shí)際情況，可以將其運(yùn)行狀態(tài)分為正常狀態(tài)、故障狀態(tài)和風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)。當(dāng)出現(xiàn)正常狀態(tài)和故障狀態(tài)時(shí)，都需要采取必要的措施，但是目前無有效措施可以對(duì)風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)進(jìn)行管控[6]。狀態(tài)1（運(yùn)行狀態(tài)）：在該狀態(tài)下，通信模塊無故障，通信正常。狀態(tài)2（風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)）：在該狀態(tài)下，存在部分出現(xiàn)失效風(fēng)險(xiǎn)的模塊，需要進(jìn)行排除才能保證通信正常。狀態(tài)3（故障狀態(tài)）：在該狀態(tài)下，通信模塊出現(xiàn)失效，智能計(jì)量設(shè)備通信異常，需要維修或更換通信模塊。

3 通信模塊的馬爾科夫鏈模型

3.1 通信模塊的3運(yùn)行狀態(tài)模型

通信模塊的3運(yùn)行狀態(tài)模型的狀態(tài)空間為K={1，2，3}，其狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程如圖1所示，其轉(zhuǎn)移矩陣如公式（7）所示。

式中：aij為通信模塊從i狀態(tài)轉(zhuǎn)移到j(luò)狀態(tài)的概率。

3.2 通信模塊m步狀態(tài)轉(zhuǎn)移

行向量Π（i）為ti時(shí)刻的通信模塊通信狀態(tài)分布，其定義如公式（8）所示。

式中：Π(i)為ti時(shí)刻的通信模塊通信狀態(tài)分布橫向量；πα（t）為ti時(shí)刻的通信模塊α狀態(tài)分布；T為終止時(shí)刻；T為終止時(shí)刻；[F（i）=k1]為i狀態(tài)下的概率為ki。

假設(shè)通信模塊的初始狀態(tài)為Π（0），由狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣A的定義，經(jīng)過Δt后，下一個(gè)時(shí)刻的通信模塊狀態(tài)分布，如公式（9）所示。

顯然，再經(jīng)過Δt后通信模塊狀態(tài)轉(zhuǎn)移，如公式（10）所示。

以此類推，經(jīng)過m個(gè)Δt后的通信模塊轉(zhuǎn)態(tài)轉(zhuǎn)移如公式（11）所示。

在已知Π（0）和A的前提下，可以通過快速解析來獲得未來每隔Δt時(shí)間間隔后通信模塊狀態(tài)分布的失效率。

3.3 通信模塊正常狀態(tài)概率

當(dāng)時(shí)間間隔的數(shù)量n→∞時(shí)（模塊理論壽命），通信模塊的可靠性趨近于某一穩(wěn)定值，即通信模塊的生命周期最終失效率如公式（12）所示。

式中：An為n次迭代。

理論上，開始狀態(tài)概率表示通信模塊投入運(yùn)行，此時(shí)失效率為0，但是存在部分風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)的通信模塊，此時(shí)的失效概率接近于πi（0），可以該根據(jù)電子產(chǎn)品的可靠性壽命串聯(lián)模型對(duì)該數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)計(jì)（參考SN29500標(biāo)準(zhǔn)），如公式（13）所示。

式中：λ為產(chǎn)品失效率；λref為元器件基本失效率；πU為電壓影響因子；πI為電流影響因子；πL為環(huán)境影響因子；πQ為元器件固有質(zhì)量影響因子。

圖1 通信模塊狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程圖

當(dāng)通信模塊開始狀態(tài)概率存在時(shí)（如公式（14）所示）。

式（13）有如下等效變換，如公式（15）所示。

由于公式（14）的n個(gè)方程中只有n-1個(gè)獨(dú)立，因此，需要與公式（15）聯(lián)立求解，得到通信模塊的正常狀態(tài)概率，如公式（16）所示。

3.4 通信模塊可用度

根據(jù)通信模塊的運(yùn)行情況，將其狀態(tài)空間K分為通信狀態(tài)W（工作狀態(tài)）和故障狀態(tài)U，記為W={e1.e2}，U={e3}。

通信模塊可用度D（i）定義為ti時(shí)刻通信模塊處于通信狀態(tài)概率，如公式（17）所示。

因此，公式（7）可以表示為相應(yīng)的矩陣形式，如公式（18）所示。

式中：B為通信模塊在通信狀態(tài)時(shí)失效概率的二階方陣；C為通信模塊從風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)向故障狀態(tài)轉(zhuǎn)移的概率；D為通信模塊失效概率向風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率；E為通信模塊故障狀態(tài)向通信狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率，即修復(fù)概率。

3.5 通信模塊首次失效前平均時(shí)間

將通信模塊的故障狀態(tài)置為靜止?fàn)顟B(tài)，即令公式（19）中的D=0，就可以得到一個(gè)新的馬爾科夫模型，那么通信模塊首次失效前的平均時(shí)間如公式（19）所示。

4 算例分析

該算例只為驗(yàn)證智能計(jì)量設(shè)備通信模塊運(yùn)行的馬爾科夫特性，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)要求，通信模塊壽命為5 a，因此設(shè)Δt時(shí)間間隔內(nèi)通信模塊故障率為0.0002，修復(fù)概率為0.01，其他故障概率均為0。通過對(duì)某批次通信模塊的狀態(tài)及在Δt時(shí)間間隔內(nèi)的分布和相鄰時(shí)間間隔通信狀態(tài)的變化進(jìn)行了300次統(tǒng)計(jì)，結(jié)果見表2。

表2 通信模塊狀態(tài)轉(zhuǎn)移數(shù)據(jù)

由表2可以獲得通信模塊轉(zhuǎn)態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，如公式（20）所示。

通信模塊狀態(tài)概率轉(zhuǎn)移矩陣的物理意義為：假設(shè)通信模塊狀態(tài)在上一個(gè)時(shí)間間隔處于狀態(tài)1，那么在下一個(gè)時(shí)間間隔有0.990454的概率保持在狀態(tài)1，有0.007383的概率轉(zhuǎn)移到狀態(tài)2，有0.006035的概率轉(zhuǎn)移到轉(zhuǎn)態(tài)3。

因?yàn)槊看谓y(tǒng)計(jì)后都會(huì)對(duì)通信模塊進(jìn)行修復(fù)，所以后續(xù)運(yùn)行都為通信完好狀態(tài)，即每次從狀態(tài)1開始，如公式（21）所示。

將公式（20）、公式（21）代入公式（9）和公式（11），經(jīng)過300次矩陣乘法運(yùn)算，可以快速得到Π（1）-Π（300）的值，利用公式（22）獲得每個(gè)時(shí)間斷面解析值與統(tǒng)計(jì)值的誤差。

式中：δi（j）為各時(shí)間斷面解析值與統(tǒng)計(jì)值的誤差；πi（j）為第j狀態(tài)的概率。

當(dāng)i=1，2，3，…，300時(shí)，那么20個(gè)時(shí)間斷面的平均誤差如公式（23）所示。

利用公式（22）和公式（23）可以求得300個(gè)時(shí)間斷面通信模塊狀態(tài)處于狀態(tài)1、狀態(tài)2和狀態(tài)3的統(tǒng)計(jì)值與解析值的平均誤差，分別為1.38%、1.06%和12.49%。當(dāng)通信模塊處于狀態(tài)3時(shí)，誤差較大的原因?yàn)闃颖緮?shù)量較少，造成πi'（j）基數(shù)較小，從而導(dǎo)致誤差較大。利用公式（14）、公式（16）可以求得該算例通信模塊的可靠性失效概率為Π（∞）=[0.998403 0.001416 0.000183]，該結(jié)果滿足智能計(jì)量設(shè)備壽命不少于5 a的要求，且與統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)相符。由上述分析可知，由狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣A和當(dāng)前通信模塊狀態(tài)直接獲得通信模塊在下一階段的失效概率，其預(yù)計(jì)值在誤差范圍之內(nèi)，說明通信模塊的通信失效的隨機(jī)過程具有馬爾科夫性。

5 結(jié)語

該文對(duì)智能計(jì)量設(shè)備通信模塊的運(yùn)行狀態(tài)進(jìn)行分類并得到了3種狀態(tài)，論證通信模塊失效過程具有馬爾科夫性，在足夠數(shù)量的樣本的支持下，可以統(tǒng)計(jì)出通信模塊失效的概率轉(zhuǎn)移矩陣A，由A和當(dāng)前通信模塊狀態(tài)，可以快速解析獲得未來時(shí)間段的通信模塊失效概率及變化，根據(jù)Δt的取值不同，可以將其分別應(yīng)用于通信模塊的運(yùn)行、檢修及規(guī)劃，同時(shí)還可以完成計(jì)量設(shè)備的周期輪換等工作，從而提升了產(chǎn)品的可靠性。