張 亮

(空軍軍醫(yī)大學(xué) 基礎(chǔ)醫(yī)學(xué)院，陜西 西安 70032)

狹義相對論是現(xiàn)代物理學(xué)的重要理論基石，也是大學(xué)物理課程中重要教學(xué)內(nèi)容.但由于狹義相對論相關(guān)理論與人們所熟知的經(jīng)典力學(xué)時空觀相悖，且難以進(jìn)行實際觀測.這導(dǎo)致在教學(xué)過程中，學(xué)生對這部分內(nèi)容感到抽象，難以理解其概念本質(zhì)，更多是機械性的記憶、套用公式.

洛倫茲變換作為狹義相對論的核心內(nèi)容，是開啟狹義相對論時空觀的關(guān)鍵“鑰匙”.在各個教材中都是重點講解部分并且是銜接后續(xù)狹義相對論時空觀的重要內(nèi)容[1-3].如果不能及時理解洛倫茲變換的概念內(nèi)涵，學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)中則很難將學(xué)習(xí)內(nèi)容前后關(guān)聯(lián)，導(dǎo)致所學(xué)知識點孤立，難以形成完整的知識結(jié)構(gòu)框架，不利于學(xué)生從整體上理解和把握狹義相對論.

為了讓學(xué)生加深理解洛倫茲變換，張元仲[4]、繆勁松[5]、王永剛[6]、秦立[7]等從圖示、模型、公式、示例等多個角度，對洛倫茲變換的推導(dǎo)引入以及狹義相對論時空觀中“長度收縮”、“時間延緩”等內(nèi)容進(jìn)行了探討研究.其中鄧魁英[8]基于閔式空間時空圖，從幾何層面對洛倫茲變換進(jìn)行推導(dǎo)；魏益煥[9]基于空間幾何旋轉(zhuǎn)研究了洛倫茲變換與歐氏空間中旋轉(zhuǎn)變換的聯(lián)系.兩人的研究成果論證了從幾何層面直觀理解洛倫茲變換的可行性.對此，本文基于時空圖的二維旋轉(zhuǎn)變換，從幾何層面對洛倫茲變換中包含的時空變換關(guān)系進(jìn)行分析，讓學(xué)生可以更直觀形象的理解二者之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)而加深對洛倫茲變換本質(zhì)內(nèi)涵的理解.

1 時空變換簡化研究模型

伽利略變換、洛倫茲變換本質(zhì)上解決的都是不同慣性參考系下，對物理事件P的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換.為了便于分析理解，我們將問題簡化，以圖1所示模型為例：在慣性系S和S′中建立坐標(biāo)系.令兩個坐標(biāo)系的y、z軸與y′、z′軸分別平行，x軸與x′軸重合.已知慣性系S′相對于慣性系S沿x軸以速度u做勻速運動.求空間中物理事件P在兩個慣性系下的坐標(biāo)(x,y,z,t)與(x′,y′,z′,t′)之間的變換關(guān)系.

圖1 時空變換簡化研究模型

圖1模型在伽利略變換和洛倫茲變換中，均有：y=y′，z=z′.而(x,t)與(x′,t′)之間的變換關(guān)系，根據(jù)線性空間變換可知二者應(yīng)滿足

矩陣A即為空間坐標(biāo)變換矩陣.無論是伽利略變換還是洛倫茲變換，都是矩陣A的不同表達(dá)形式.

2 幾何理解洛倫茲變換的時空內(nèi)涵

2.1 洛倫茲變換下時空坐標(biāo)的幾何變換規(guī)律

由洛倫茲坐標(biāo)變換公式可知圖1模型中事件P坐標(biāo)(x,t)與(x′,t′)滿足

(2)

由此可得洛倫茲變換下矩陣A為

(3)

從式(3)很難直觀判斷變換矩陣A的幾何作用效果.為此先設(shè)

(4)

可知，式(4)滿足cos2θ+sin2θ=1.且矩陣A變?yōu)?/p>

(5)

已知[10]，歐式空間中二維旋轉(zhuǎn)矩陣A′為

(6)

矩陣A和A′存在相似性，因此可推測二者在作用效果上近似.

為了進(jìn)一步理解并分析式(4)，在歐式空間中建立時空坐標(biāo)系t-x并作出勻速直線運動速率u直線和單位圓x2+t2=1進(jìn)行輔助分析，如圖2(a)所示.

圖2 歐式空間的時空坐標(biāo)系與閔式空間的時空坐標(biāo)系

從圖2(a)中可知：單位圓周與勻速直線運動速率u直線的交點(x0,t0)可用極坐標(biāo)表達(dá)為(sinθ,cosθ)，其中sinθ滿足

(7)

若進(jìn)一步假設(shè)光速c=1(這一假設(shè)的意義將在后面進(jìn)行討論)，則式(4)可轉(zhuǎn)化為

(8)

對比式(7)，可知式(8)差異性在于虛數(shù)i在時間軸的引入.也由于i的引入，時空距離測度的表達(dá)不再是傳統(tǒng)歐式幾何中距離與時間的平方和，而變?yōu)榱司嚯x平方與時間平方負(fù)值之和，稱為閔可夫斯基距離測度[8].因此，相應(yīng)的時空坐標(biāo)系t-x也將從歐式空間轉(zhuǎn)換到閔式空間中.參考圖2(a)，我們在閔式空間中重建時空坐標(biāo)系t-x，并作出勻速直線運動速率u直線.此時，用于輔助分析的單位圓x2+t2=1由于閔式距離測度的定義將轉(zhuǎn)變?yōu)殡p曲線x2-t2=±1，如圖2(b)所示.和單位圓周的幾何意義一樣，單位雙曲線x2-t2=±1表示閔式空間中所有到原點的時空距離為1的點的集合.

從圖2(b)中可知，時空坐標(biāo)系從歐式空間轉(zhuǎn)換到閔式空間后，單位圓周x2+t2=1變?yōu)閱挝浑p曲線x2-t2=±1，且根據(jù)雙曲正余弦函數(shù)的定義與推導(dǎo)[11]，雙曲線t2-x2=1與勻速直線運動速率u直線的交點(x0,t0)可用極坐標(biāo)表達(dá)為(shφ,chφ)，其中φ為雙曲線t2-x2=1的雙曲角，其大小等于對應(yīng)曲邊三角形面積的2倍[12](如圖3所示).

圖3 雙曲角幾何意義示意圖(φ1等于直線x/y=u1與雙曲線y2-x2=1和y軸構(gòu)成的曲邊三角形面積(虛線陰影部分)的2倍；圖中φ2等于直線x/y=u2與雙曲線y2-x2=1和y軸構(gòu)成的曲邊三角形面積(實線陰影部分)的2倍)

因此，對比圖2(a)和(b)以及雙曲正余弦函數(shù)與正余弦函數(shù)的定義，可在閔式空間的時空坐標(biāo)系下重新定義式(8)

(9)

可得閔式空間中洛倫茲變換下矩陣A為

(10)

該矩陣即為閔式空間中時空坐標(biāo)系下的二維偽旋轉(zhuǎn)變換矩陣[9].時空坐標(biāo)系t-x在該矩陣的變換下有如下特點：

1) 在該矩陣作用下，坐標(biāo)軸t與x分別向直線x/t=1以相同的角度θ內(nèi)旋靠攏(從數(shù)學(xué)關(guān)系上看也可以外旋分離).其中內(nèi)旋角度θ大小恰好等于旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)軸t′與x′與單位雙曲線x2-t2=±1交點對應(yīng)的雙曲角φ的大小.因此，時空坐標(biāo)系t-x在洛倫茲變換矩陣A的作用下，也可以看成坐標(biāo)軸t與x在第一象限內(nèi)沿雙曲線x2-t2=±1進(jìn)行內(nèi)旋(如圖4所示)；

圖4 偽旋轉(zhuǎn)變換下時空坐標(biāo)系變換示意圖

2) 從式(9)可知，坐標(biāo)軸t與x內(nèi)旋角度θ的大小與慣性系S’相對于慣性系S做勻速運動的速度大小u相關(guān)，u越大內(nèi)旋角度θ越大.并且由于已假設(shè)光速c=1，根據(jù)光速為極限速度可知u/c的取值范圍應(yīng)在0～1之間；

3) 偽旋轉(zhuǎn)變換與旋轉(zhuǎn)變換均為等長度旋轉(zhuǎn)，不同點在于，旋轉(zhuǎn)變換是沿著圓周進(jìn)行等長旋轉(zhuǎn)，而偽旋轉(zhuǎn)變換是沿著雙曲線進(jìn)行等長旋轉(zhuǎn).并且理論上經(jīng)偽旋轉(zhuǎn)變換后的時空坐標(biāo)軸t′與x′會與任意一對以x/t=±1為漸近線的雙曲線x2-t2=±k2(k為任意常數(shù))相交.這些雙曲線是閔式空間中到原點等距點的集合，類似于歐式空間中的圓(該特點的意義將在下一節(jié)體現(xiàn)).

因此，在解析了洛倫茲變換下時空坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換特征后，下面就可以從幾何層面進(jìn)一步理解洛倫茲變換下時空變換的特點.

2.2 幾何理解洛倫茲變換下時間變換規(guī)律

圖5 洛倫茲變換下時間變換規(guī)律幾何示意圖

2.3 幾何理解洛倫茲變換下空間變換規(guī)律

圖6 洛倫茲變換下空間變換規(guī)律幾何示意圖

在圖6中，由前述特點3可知：該雙曲線與x′軸必然存在交點，且該交點恰為A′(x1′,0,0,0).并且從圖6中可知：在S′系中，直尺長度x1′的幾何長度在t′-x′坐標(biāo)系下為|O′A′|，其經(jīng)偽旋轉(zhuǎn)變換在t-x坐標(biāo)系下的等幾何長度應(yīng)為|OB|，在S系中，直尺長度x1的幾何長度為|OA|，|OB|<|OA|.因此在S系中看，直尺的長度縮短.同理當(dāng)u越大，偽旋轉(zhuǎn)變換的角度θ越大，|OB|與|OA|之間的幾何長度差異也會越大：|OB|<<|OA|，尺度縮短程度越大.

2.4 幾何理解洛倫茲變換中的光速不變性

在洛倫茲變換中，光速不變性作為基本假設(shè)之一，具有十分重要的意義.2.1節(jié)中也是在假設(shè)光速c=1的前提下，才能進(jìn)一步分析得到洛倫茲變換的時空幾何變換規(guī)律(若假設(shè)光速為其他常量：c=k0，也可以得出相應(yīng)結(jié)論，只不過由于系數(shù)k0的引入，坐標(biāo)變換將不再是等長變換，相對比較復(fù)雜).

已知雙曲線x2-t2=±1在第一三象限內(nèi)的漸進(jìn)線為x/t=1.根據(jù)假設(shè)條件，光速c=1，因此該漸近線可視為x/t=c，即光速線(如圖7所示).根據(jù)偽旋轉(zhuǎn)變換特點1可知：t-x時空坐標(biāo)系在洛倫茲變換下，將沿著雙曲線x2-t2=±1進(jìn)行等長旋轉(zhuǎn)變換為t′-x′系，不論旋轉(zhuǎn)角度θ大小，光速線始終為坐標(biāo)軸t′與x′的角平分線，從幾何層面上體現(xiàn)出了光速c在不同慣性系S′下的恒定性.

圖7 洛倫茲變換中的光速不變性幾何示意圖

3 總結(jié)

綜上所述，本文基于時空圖的旋轉(zhuǎn)變換，從幾何層面對洛倫茲變換中包含的時空變換關(guān)系進(jìn)行分析：洛倫茲變換在幾何上等價于從歐式空間到閔式空間中的二維偽旋轉(zhuǎn)變換.通過幾何圖像分析，學(xué)生能夠更加直觀理解洛倫茲變換中隱含的“鐘慢尺縮”時空變換特點以及光速不變性基本假設(shè).“鐘慢尺縮”是狹義相對論時空觀的本質(zhì)概括，理解了“鐘慢尺縮”，對學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)狹義相對論相關(guān)內(nèi)容具有十分重要的意義.