謝如恒,丁 洋,楊 毅

(中國電子科技集團第二十八研究所,江蘇 南京 210001)

近年來,隨著全球軍事強國導(dǎo)彈防御系統(tǒng)的日趨成熟,戰(zhàn)略核力量面臨的巨大挑戰(zhàn)就是大氣層外中段防御系統(tǒng),為有效躲避敵方反導(dǎo)防御系統(tǒng)中外大氣層殺傷攔截器(Exoatmospheric Kill Vehicle,EKV)的攔截[1-3],彈道導(dǎo)彈中段機動變軌技術(shù)已成為重點研究方向。

美國國家導(dǎo)彈防御系統(tǒng)的核心技術(shù)主要體現(xiàn)在外大氣層殺傷攔截器(EKV)上。外大氣層殺傷攔截器是一種小型、非核、自尋的、靠直接碰撞殺傷的攔截器,它還裝有紅外導(dǎo)引頭、變軌推進系統(tǒng)以及數(shù)據(jù)處理制導(dǎo)系統(tǒng)[4-6]。美國多年來通過攔截試驗對EKV進行了多次改進和完善,2020年在太平洋發(fā)射的攔截器成功攔截洲際彈道導(dǎo)彈,使其具備實戰(zhàn)應(yīng)用的能力,因此研究分析外大氣層殺傷攔截器的作戰(zhàn)特點和突防措施,具有一定的現(xiàn)實意義。

目前的彈道導(dǎo)彈中段突防措施,主要分為以下兩個方面。

第一種是程序式機動突防[7-8],所謂機動突防,就是事先設(shè)定好彈道導(dǎo)彈的機動程序,即不管敵方是否攔截,如何攔截,彈道導(dǎo)彈都會在發(fā)射后的固定時間,進行固定的機動,以此來降低攔截器對彈道導(dǎo)彈軌跡的預(yù)測精度,提高彈道導(dǎo)彈的突防成功率。

第二種是自主機動突防[9-13],突防彈道導(dǎo)彈在探測到攔截器時,通過獲取攔截器的飛行參數(shù),由彈載計算模塊實時計算突防機動指令進行突防機動[13-17]。這種機動突防方式具有主動智能化的特點,能夠針對不同的攔截方式給出最優(yōu)的突防策略,大大提高突防的成功率。但是由于整個突防過程時間短,對彈道導(dǎo)彈探測模塊、計算模塊以及發(fā)動機要求較高,所以具備自主機動突防能力的彈道導(dǎo)彈非常少。

本文基于最優(yōu)控制和彈道導(dǎo)彈與攔截器在俯仰平面的對抗模型,構(gòu)建了一種新的機動突防策略,并用Matlab仿真驗證了機動突防策略的正確性。

1 俯仰平面對抗模型建立

本文構(gòu)建彈道導(dǎo)彈和攔截器在俯仰平面的攻防對抗模型,如圖1所示。

圖1 俯仰平面攻防對抗示意圖

圖1中,aE表示攔截器機動加速度,垂直于速度方向,左側(cè)為正,右側(cè)為負(fù);θE表示攔截器的彈道傾角,以x軸正方向起始,逆時針為正,順時針為負(fù);σE表示攔截器的前置角,彈體x軸與彈目視線之間的夾角,向左為正,向右為負(fù);VE表示攔截器的飛行速度;gE表示攔截器的重力加速度;aM表示彈道導(dǎo)彈的機動加速度,垂直于速度方向,右側(cè)為正,左側(cè)為負(fù);θM表示彈道導(dǎo)彈的彈道傾角,以x軸負(fù)方向起始,順時針為正,逆時針為負(fù);σM表示彈道導(dǎo)彈的前置角,彈體x軸與彈目視線之間的夾角,向右為正,向左為負(fù);VM表示彈道導(dǎo)彈的飛行速度,gM表示彈道導(dǎo)彈的重力加速度;r表示攔截器與彈道導(dǎo)彈的距離;μT表示攔截器相對于彈道導(dǎo)彈的彈目視線高低角,以x軸正方向起始,逆時針為正,順時針為負(fù)。

攔截器動力學(xué)方程建立如下:

(1)

彈道導(dǎo)彈的動力學(xué)方程如下:

(2)

攔截器與彈道導(dǎo)彈相對距離r和接近速度VXD計算如下:

(3)

VXD=VEcosσE+VMcosσM

(4)

攻防對抗的時間tf采用下式進行估計計算:

(5)

式中,r0表示攻防對抗初始時刻的相對距離,VXD0表示攻防對抗初始時刻的接近速度。

剩余飛行時間計算如下:

tgo=tf-t

(6)

攔截器和彈道導(dǎo)彈的前置角、彈道傾角和彈目視線角的關(guān)系如下:

(7)

彈目視線高低角計算如下:

(8)

2 模型的求解

定義航向誤差τ如下:

(9)

令

則式(9)變?yōu)?/p>

τ=VMsinσM-VEsinσE=VE(sinζ-sinσE)

(10)

航向誤差τ表示垂直于彈目視線方向上雙方的速度之差;τtgo表示在沒有控制輸入情況下,垂直彈目視線方向上的瞬時脫靶量。

彈目視線角速度可表示如下:

(11)

對τ求導(dǎo)數(shù)可以得到:

(12)

(13)

式(13)中的aM和aE分別表示彈道導(dǎo)彈和攔截器的機動加速度。由于

μT=θE-σE=σM-θM

(14)

(15)

則

(16)

選取系統(tǒng)的性能指標(biāo)為

J=|τ|

(17)

彈道導(dǎo)彈采取策略使得J盡可能大以便成功突防,而動能攔截器則相反,采取策略使得J盡可能小以便成功攔截彈道導(dǎo)彈。

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

其中,aEmax表示動能攔截器的最大指令加速度;aMmax表示彈道導(dǎo)彈的最大指令加速度。

可令

(24)

(25)

(26)

(27)

結(jié)合式(12)、(24)、(25),假設(shè)動能攔截器和彈道導(dǎo)彈的機動加速度分別為零,可得

aE=aM=0

(28)

所以

(29)

對上式進一步化簡可得

(30)

將上述微分方程對時間t進行積分可得

τ=-C1eln(tf-t)

(31)

式中,C1為常數(shù),且C1不為零;從上式可以看出τ的符號取決于C1,且C1為常數(shù),所以

sgn(τ(tf))=sgn(τ(t))

(32)

因此式(26)和(27)變?yōu)?

(33)

(34)

從上式中可以看出,最終彈道導(dǎo)彈和攔截器的攻防對抗結(jié)果只和各自的機動能力和探測范圍有關(guān),機動能力表示導(dǎo)彈的最大機動加速度和機動時長,探測范圍則決定了導(dǎo)彈的機動時機。

3 仿真分析

3.1 彈道導(dǎo)彈不機動

首先在彈道導(dǎo)彈不進行機動的情況下進行突防仿真驗證,因為攔截器的攔截速度很大,在機動加速度限制在4g時,無法使飛行彈道快速改變,所以必然要求具有一定的前置角才能成功攔截彈道導(dǎo)彈。表1給出了攻防對抗最終脫靶量和攔截器初始前置角的關(guān)系。

從表1和圖2中的仿真結(jié)果可以看出,彈道導(dǎo)彈在無機動情況下的突防效果與攔截器攻防對抗初始時刻的初始前置角有很大關(guān)系。只有當(dāng)攔截器攻防對抗初始時刻的初始前置角在一定的范圍之內(nèi)時才可成功攔截彈道導(dǎo)彈;當(dāng)攔截器的初始前置角滿足3°≤ψM0≤13°情況下才可成功攔截彈道導(dǎo)彈,稱該前置角范圍為攔截器的最佳攔截窗口。

表1 攔截器初始前置角對突防效果影響關(guān)系表

圖2 攔截器初始前置角對突防效果影響關(guān)系圖

3.2 彈道導(dǎo)彈機動

本節(jié)在彈道導(dǎo)彈機動的情況下,仿真分析彈道導(dǎo)彈在不同機動加速度、不同機動時機以及不同機動時長情況下的最終脫靶量,分析彈道導(dǎo)彈在何種情況下能夠成功突防。設(shè)置攔截器的初始前置角為8°,彈道導(dǎo)彈最大機動加速度分別為2g、3g、4g,最大機動時長7.25 s,最遠(yuǎn)探測距離100 km,不同情況下的突防效果結(jié)果如圖3和表2所示。

表2 彈道導(dǎo)彈最大機動加速度為2g下突防結(jié)果

圖3 彈道導(dǎo)彈最大機動加速度為2g情況下突防結(jié)果

由仿真結(jié)果可知,在彈道導(dǎo)彈機動加速度為2g的情況下,彈道導(dǎo)彈至少需要機動6.25 s,機動時機彈目距離在50 km左右才可以成功突防,而且此時的脫靶量還不到20 m,其余情況均被攔截器成功攔截。

相比于最大機動加速度為2g的突防結(jié)果,最大加速度為3g的突防成功率大大提升,最短機動3.25 s便可以成功突防,此時機動時刻彈目距離為30 km。由表3可知，最大機動加速度的提升能夠有效提高彈道導(dǎo)彈的突防成功率。

表3 彈道導(dǎo)彈加速度為3g情況下突防結(jié)果

從表4中可以看出在彈道導(dǎo)彈最大機動加速度為4g情況下最少只需機動2.25 s左右即可成功突防,此時機動時刻彈目距離在20 km左右。在機動時長固定時,機動時機選擇很重要,過早和過晚均會被攔截器攔截,過早機動,由于機動時長一定,使得攔截器有足夠的時間進行機動攔截;過晚機動,彈道導(dǎo)彈來不及改變飛行狀態(tài)而被成功攔截。定義機動時長一定情況下,能夠成功規(guī)避攔截器攔截的機動時刻彈目距離為最佳逃逸窗口。從圖5中可以看出,在機動時長一定的情況下,最佳逃逸窗口中存在峰值,并定義該峰值為最佳逃逸時機,從圖中可以看出，最佳逃逸時機隨著機動時長增加向右偏移,即機動時長越長,機動時機就越早。

表4 彈道導(dǎo)彈加速度為4g情況下突防結(jié)果

圖5 彈道導(dǎo)彈加速度為4g情況下突防結(jié)果

4 結(jié)束語

本文構(gòu)建了彈道導(dǎo)彈和攔截器在俯仰平面的攻防對抗,并以航向誤差τ作為攻防對抗雙方性能指標(biāo)。攔截器欲使航向誤差最小以成功攔截彈道導(dǎo)彈;而彈道導(dǎo)彈欲使航向誤差最大以躲避攔截器的攔截。基于此對上述攻防對抗模型進行求解,獲取雙方在二維平面內(nèi)的最優(yōu)機動策略。并在Matlab仿真環(huán)境下仿真分析了攔截器初始前置角、彈道導(dǎo)彈機動能力、可機動時間和機動時機對突防效果的影響,結(jié)合仿真分析總結(jié)如下結(jié)論。

圖4 彈道導(dǎo)彈加速度為3g情況下突防結(jié)果

1)攔截器對彈道導(dǎo)彈的攔截存在最佳攔截窗口,只有攔截器初始前置角位于最佳攔截窗口內(nèi)才能成功攔截彈道導(dǎo)彈。

2)彈道導(dǎo)彈在機動時長和機動加速度一定時突防存在最佳逃逸窗口和最佳逃逸時機,在最佳逃逸窗口中突防成功率較大,機動時長越長,最佳逃逸時機越早。

3)彈道導(dǎo)彈的機動能力越強,越有利于成功規(guī)避攔截器的攔截。

4)在彈道導(dǎo)彈機動能力和機動時長一定時，并非越早機動越好,也非越晚機動越好,選擇合適的機動時機仍有可能成功規(guī)避攔截器的攔截。越早機動,機動時長一定,攔截器有足夠的時間進行機動攔截;越晚機動,由于速度太大無法迅速改變飛行軌跡而被攔截成功。

5)基于本文設(shè)計的突防機動策略,彈道導(dǎo)彈在某些情況下只需機動2.25 s便可成功突破攔截器的攔截,為突防后的彈道回歸預(yù)留了足夠的時間。

上述仿真結(jié)果驗證了本文機動突防策略的正確性和可行性,為發(fā)展彈道導(dǎo)彈中段自主機動突防提供理論參考。