張申華，楊延西，秦嶠孟

（1. 西安理工大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，陜西 西安 710048；2. 安康學(xué)院 電子與信息工程學(xué)院，陜西 安康 725000；3. 陜西省復(fù)雜系統(tǒng)控制與智能信息處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710048）

1 引 言

由于具有非接觸、高精度和快速的優(yōu)點(diǎn)，基于正弦光柵條紋投影的相位輪廓術(shù)目前被廣泛研究。正弦光柵被數(shù)字光處理(Digital Light Procession, DLP)投影儀投影至被測(cè)物體的輪廓上，經(jīng)物體外形調(diào)制后發(fā)生形變，并被工業(yè)相機(jī)采集[1-8]。計(jì)算出捕獲條紋的相位，借助標(biāo)定出的參數(shù)，最終可以計(jì)算出物體的三維外形輪廓尺寸。然而在測(cè)量過(guò)程中，受到環(huán)境及工業(yè)相機(jī)自身的影響，采集到的光柵圖像存在噪聲。噪聲的存在降低了圖像的質(zhì)量，影響后續(xù)相位的高精度提取，并最終導(dǎo)致三維測(cè)量準(zhǔn)確度降低。因此，有必要對(duì)噪聲進(jìn)行處理。在實(shí)際應(yīng)用中，由于采集到的光柵圖像噪聲未知，從而給噪聲處理帶來(lái)了困難。

雖然在數(shù)字圖像處理領(lǐng)域很多研究人員對(duì)去噪問(wèn)題進(jìn)行了大量研究[5-7]，對(duì)于條紋圖像噪聲的處理，主要采用中值濾波的方法[8]和偏微分方程(Partial Differential Equation, PDE)方法[9-11]。中值濾波方法實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，但是對(duì)噪聲的抑制效果有限。基于偏微分方程的濾波方法是利用偏微分方程進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算，逐個(gè)像素修改灰度值，以達(dá)到濾除噪聲的目的。為了濾除噪聲，Wang提出了一種方向性的相干增強(qiáng)擴(kuò)散濾波方法[9]，該方法沿條紋水平方向及垂直方向?yàn)V波。文獻(xiàn)[10]提出了一種基于二階偏微分方程模型的方向性濾波方法，根據(jù)電子散斑干涉條紋的方向?yàn)V波。Zhou對(duì)文獻(xiàn)[10]中的模型進(jìn)行了改進(jìn)，提出了一種自適應(yīng)的方向性偏微分方程模型[11]?？偟膩?lái)說(shuō)，基于PDE擴(kuò)散的濾波方法存在以下不足：（1）該類方法基于擴(kuò)散的思想，逐點(diǎn)處理每個(gè)像素點(diǎn)，而相位輪廓術(shù)一般需要處理多幀光柵圖像，噪聲處理過(guò)程耗時(shí)；（2）數(shù)值計(jì)算中的迭代次數(shù)、時(shí)間步長(zhǎng)等參數(shù)通常需要反復(fù)實(shí)驗(yàn)才能確定。

基于噪聲水平估計(jì)的方法，是盲噪聲處理的重要研究方向[12-18]。該方法一般利用高斯分布模型對(duì)未知噪聲進(jìn)行建模，并獲取噪聲的方差值。Donoho利用離散小波變換對(duì)信號(hào)進(jìn)行三層分解，并取對(duì)角線系數(shù)的中值作為噪聲方差的估計(jì)值[12]?；谥鞒煞址治?Principal Component Analysis,PCA)的方法[13-14]利用單幅圖像生成樣本塊庫(kù)，并通過(guò)樣本塊庫(kù)估算出噪聲方差。這種方法在高光譜圖像去噪[15]、視頻噪聲估計(jì)[16]、中子圖像去噪[17]及特征提取[19]等方面得到了應(yīng)用。但是基于PCA的方法估計(jì)出來(lái)的噪聲水平常常偏低[20]，導(dǎo)致利用估計(jì)值進(jìn)行去噪的效果不夠理想。

在現(xiàn)有的研究中，對(duì)于圖像中的未知噪聲，一般是進(jìn)行高斯建模[20-22]，基于此，本文借鑒現(xiàn)有文獻(xiàn)的處理方法，對(duì)光柵圖像中的噪聲進(jìn)行高斯建模，并引入PCA方法對(duì)噪聲水平進(jìn)行估計(jì)，并依據(jù)估計(jì)結(jié)果完成噪聲處理。首先，針對(duì)PCA估計(jì)出的方差水平偏低的問(wèn)題，利用殘差模型，提出一種真值圖像和噪聲圖像分離方法，從含噪光柵圖像中分離出噪聲圖像，然后對(duì)噪聲圖像進(jìn)行PCA估計(jì)。其次，提出了一種基于相圖的噪聲濾除方法。該方法利用估計(jì)出的噪聲方差值，在展開(kāi)的相位圖上進(jìn)行高斯濾波，避免了對(duì)多幀光柵條紋分別進(jìn)行濾波處理，降低了處理的數(shù)據(jù)量，提高了噪聲處理的時(shí)效性。

2 基于PCA的噪聲估計(jì)方法

在光柵投影測(cè)量系統(tǒng)中，DLP投影儀投影到被測(cè)物體上的光柵條紋被工業(yè)相機(jī)采集，用符號(hào)f表示。根據(jù)殘差模型，f中包含噪聲n和未被污染真值條紋圖像r，用公式表示為

式（1）中的噪聲n為 均值為零、方差為的高斯白噪聲。。根據(jù)Liu的分析[14]，在某一向量U的方向上有

為了濾除條紋中的噪聲，需要首先估算出

其中Cf表示f的協(xié)方差矩陣，Cr表示r的協(xié)方差矩陣，λmin表示求取協(xié)方差矩陣的最小特征值。

在式（2）中，對(duì)于細(xì)節(jié)信息不豐富的圖像，在信息冗余特性的假設(shè)下，r的數(shù)據(jù)主要分布在有限主成分分量上。在此前提下，

由此，可以估算出噪聲的方差值

研究組成員利用PCA方法對(duì)仿真光柵條紋進(jìn)行了噪聲方差估計(jì)，結(jié)果如圖1所示。由圖1(b)中的比值曲線可以看出，PCA方法估計(jì)出的方差普遍偏小(圖1中 σ表示噪聲方差的真值，表示估計(jì)值)。

圖1 PCA方法對(duì)仿真噪聲的估計(jì)Fig. 1 The estimation of simulation noise by PCA method

若選擇數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣大小為9×9，其各主成分占比如圖2所示，由圖中占比可以看出，后7個(gè)主成分占比小且極為接近，若僅選擇占比最小的主成分對(duì)應(yīng)的特征值作為噪聲方差，實(shí)際上人為降低了噪聲的成分，這是PCA方法估計(jì)結(jié)果偏小的原因。

圖2 主成分分量占比Fig. 2 Proportion of principal component

3 基于殘差模型的噪聲估計(jì)

針對(duì)PCA估計(jì)方法的不足，本文對(duì)噪聲估計(jì)方法進(jìn)行改進(jìn)。對(duì)式(1)中的f進(jìn)行特征值分解，可以得到

式中，U表示特征值矩陣 Λ對(duì)應(yīng)的特征向量。符號(hào)T表示轉(zhuǎn)置操作。Λ為對(duì)角矩陣，表示為

其中 λ1,···,λM表示特征值且以降序排列，其大小代表了各主成分的能量貢獻(xiàn)度，M表示f的秩。

令各主成分的能量貢獻(xiàn)率表示為

若令前P項(xiàng)特征值（P＜M）對(duì)應(yīng)的向量為RP,則真值光柵圖像可表示為

根據(jù)式（1），噪聲圖像可以用殘差模型表示為

根據(jù)文獻(xiàn)[12]的證明，n的協(xié)方差矩陣最大特征值收斂于，也就是最終的噪聲方差估計(jì)公式為：

為了實(shí)現(xiàn)式（9）中真值光柵圖像與噪聲圖像的分離，需要合理確定P值。假設(shè)工業(yè)相機(jī)的信噪比為ddB，也就是信號(hào)的功率Wo與噪聲功率Wn的比例關(guān)系為

根據(jù)式(11)所表示的比例關(guān)系，且所有主成分的能量貢獻(xiàn)值為，又知真值圖像的能量貢獻(xiàn)與噪聲圖像的能量貢獻(xiàn)比值與Wo/Wn相等。由此，噪聲部分的能量貢獻(xiàn)值可以表示為

若某一成分的特征值λi滿足

則可以將該主成分分量劃歸到真實(shí)光柵圖像r，否則，該主成分分量劃歸到噪聲圖像n。

根據(jù)式（13）將滿足條件的最大i值，設(shè)定為P值，即可實(shí)現(xiàn)式（9）中噪聲圖像與真值圖像的分離。

4 基于相位圖的高斯去噪

為了降低數(shù)據(jù)處理量，減少處理時(shí)間，本文提出了基于相位圖的高斯去噪方法。在相移法測(cè)量中，通常需要投影和采集多幅光柵圖像。以4步相移法為例，投影的4幅光柵條紋為

其中A表示平均分量，B表示調(diào)制度，?表示相位。

若工業(yè)相機(jī)采集到多幀光柵圖像后，再對(duì)每一幅圖像進(jìn)行去噪，無(wú)疑會(huì)大大增加要處理的數(shù)據(jù)量和時(shí)間。為此，本文將光柵圖像上的噪聲處理轉(zhuǎn)換到相圖上進(jìn)行。投影的光柵條紋的光柵頻率分別為

本文采用三頻外差法[23]展開(kāi)包裹相位，需要， 其包裹相位分別用 ψ1,ψ2,ψ3表示。通常，取s=64， 首先由ψ1和 ψ2做外差，得到頻率為的 包裹相位 ψ12，再由 ψ2和 ψ3做外差，得到頻率為的包裹相位 ψ23，然后由 ψ12和 ψ23做外差，得到頻率為1的相位ψ123，最后，利用式(15)和式(16)，通過(guò)中間展開(kāi)相位 φ■s+1即 可得到ψ1的最終展開(kāi)相位?。

在式(15)和式(16)中，相位ψ1,ψ12,ψ123取值在(?π,π)之 間，而和 ?的取值范圍一般遠(yuǎn)大于該取值，因此，可以對(duì)式(15)和式(16)做如下近似：

在僅考慮零均值的高斯噪聲影響下，時(shí)域上光柵條紋的噪聲方差 σn和 展開(kāi)相位圖 ?的方差σ1及 相移步長(zhǎng)N、調(diào)制度B之間關(guān)系為[24]

根據(jù)方差的性質(zhì)，依據(jù)式(17)和式(18)所表示的比例關(guān)系，相位和 ψ123的方差分別為

5 實(shí)驗(yàn)測(cè)試

圖3為本文搭建的光柵投影測(cè)量平臺(tái)結(jié)構(gòu)圖，其主要由投影儀、工業(yè)相機(jī)及便攜式計(jì)算機(jī)組成，主要參數(shù)如表1所示。實(shí)驗(yàn)首先投影12幀

正弦光柵條紋圖像，并由同步信號(hào)觸發(fā)控制工業(yè)相機(jī)完成光柵圖像的采集。利用采集的光柵條紋圖像，對(duì)本文所提方法和對(duì)比方法進(jìn)行了測(cè)試。

圖3 測(cè)量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig. 3 Framework of measuring system

表1 儀器設(shè)備型號(hào)和參數(shù)Tab. 1 The instrument types and parameters

在測(cè)量平臺(tái)上采集到的12幀光柵圖像中選取一幀，如圖4（彩圖見(jiàn)期刊電子版）所示。利用本文提出的方法和對(duì)比方法進(jìn)行噪聲方差估計(jì)后，分別進(jìn)行噪聲處理。各種對(duì)比方法的噪聲估計(jì)值如表2所示。

圖4 采集的光柵圖像Fig. 4 Captured grating image

表2 各種方法的噪聲方差估計(jì)值Tab. 2 The estimated noise variances of different methods

為了驗(yàn)證本文方法的估計(jì)效果，利用表2的估計(jì)值對(duì)圖4的光柵圖像進(jìn)行噪聲濾除，效果如圖5（彩圖見(jiàn)期刊電子版）所示。對(duì)12幀光柵圖像采用文獻(xiàn)[10]的方法分別進(jìn)行方向性PDE濾波后，提取出的相位圖如圖5（a）所示。實(shí)驗(yàn)中時(shí)間步長(zhǎng)設(shè)置為 ?t=0.1s， 迭代次數(shù)N=75（實(shí)驗(yàn)參數(shù)非最優(yōu)設(shè)置）。對(duì)光柵圖像采用中值濾波后，利用相移法得到的相位圖如圖5(b)所示，實(shí)驗(yàn)中濾波模板大小設(shè)置為3×3。首先采用文獻(xiàn)[12]提出的方法估計(jì)出噪聲方差，然后，利用估計(jì)值對(duì)光柵圖像進(jìn)行高斯濾波處理，處理后的相位圖如圖5(c)所示，實(shí)驗(yàn)中先采用db2小波對(duì)光柵圖像進(jìn)行三層分解，然后求取第三層分量的對(duì)角系數(shù)，計(jì)算出其中間值與0.674 5的比值，最后將計(jì)算出的比值作為噪聲方差的估計(jì)值。采用文獻(xiàn)[13]中提出的PCA方法對(duì)單幀光柵圖像估計(jì)出噪聲方差后，再利用估計(jì)值對(duì)采集到的每幀光柵圖像進(jìn)行高斯濾波，結(jié)果如圖5(d)所示。利用本文方法先估計(jì)出單張條紋圖像的方差值，再進(jìn)行相圖濾波后提取的相位結(jié)果如圖5(e)所示。圖5(f)是投影相移步長(zhǎng)為20的正弦條紋，然后利用相移法和三頻外差法獲得的相位圖。

對(duì)于圖4中紅色虛線標(biāo)定的一行區(qū)域，以二十步相移法獲取的相位為基準(zhǔn)，采用其他方法計(jì)算出的相位與基準(zhǔn)相位取差值，相位差值曲線如圖6（彩圖見(jiàn)期刊電子版）所示。由相位差曲線可知，和其他對(duì)比方法相比，本文方法處理后的相位更加逼近真實(shí)相位。本文將二十步相移法獲取的相位作為測(cè)量體的真值相位并將其作為基準(zhǔn)相位。這樣設(shè)置的依據(jù)如下：根據(jù)式(19)，增大相移步數(shù)N能夠有效降低相位差的方差值，并且在現(xiàn)有的文獻(xiàn)研究中，一般采用二十步相移法[25-26]或四十八步相移法[27]作為測(cè)量體的真值，因此，本文采用同樣的處理方法獲取測(cè)量真值。

為了定量評(píng)估本文所提方法的性能，定義最大相位誤差(Maximum Phase Error, MPE)和均方根誤差(Root Mean Square Error, RMSE)作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，其中 MPE表征相位值偏離真值的最大幅度， RMSE表示相位和真值相位的逼近程度，定義分別為：

式中 ?′表示采用各種方法處理后的相位，表示被測(cè)體的真值相位，L表示相位點(diǎn)個(gè)數(shù)。

圖5 幾種不同方法的濾波效果Fig. 5 Filtering effect obtained by different methods

圖6 各種方法的相位差Fig. 6 Phase errors obtained by different methods

任意選取測(cè)量體的第150行相位，計(jì)算出各種方法的M PE、R MSE及執(zhí)行時(shí)間，結(jié)果如表3和表4所示。由表3和表4的數(shù)據(jù)可以看出，在最短的運(yùn)行時(shí)間內(nèi)，本文方法的 RMSE值較中值濾波、PDE、小波和傳統(tǒng)PCA相比，分別下降了38.6%、88.5%、42.6%和43.1%。表明本文方法的相位更加接近測(cè)量體的真值相位，對(duì)噪聲抑制效果最好。需要說(shuō)明的是，受采集角度和光源等因素影響，光柵圖像存在陰影區(qū)域，導(dǎo)致區(qū)域內(nèi)的相位信息丟失。對(duì)陰影區(qū)域采用PDE擴(kuò)散濾波后，錯(cuò)誤的像素信息會(huì)經(jīng)過(guò)擴(kuò)散傳導(dǎo)至正常的光柵區(qū)域，導(dǎo)致測(cè)量結(jié)果發(fā)生錯(cuò)誤。如表3所示，PDE方法的相位最大偏離幅度達(dá)9.234 3 rad，因此，當(dāng)測(cè)量體輪廓不連續(xù)時(shí)，PDE方法噪聲處理效果不好，同時(shí)，耗時(shí)也最久。對(duì)于最大相位誤差值，中值濾波方法的 MPE 值為0.385 6 rad，小于本文方法的0.700 3 rad。這是由于測(cè)量過(guò)程中光柵圖像存在孤立噪聲點(diǎn)，而中值濾波在處理這類噪聲時(shí)的性能要優(yōu)于本文方法，但是中值濾波的相位平均運(yùn)算會(huì)導(dǎo)致在物體輪廓不連續(xù)區(qū)域產(chǎn)生明顯的錯(cuò)誤相位（如圖5(b)中面具左眼區(qū)域）。

表3 幾種算法的量化指標(biāo)對(duì)比Tab. 3 Comparison of quantitative indicators for different methods

表4 幾種算法的執(zhí)行時(shí)間對(duì)比Tab. 4 Comparison of computing time for different methods (s)

由相移法提取相位，一般通過(guò)求反正切函數(shù)計(jì)算出包裹相位，且至少需要3幀光柵圖像才能計(jì)算出包裹相位。本文方法在估計(jì)噪聲方差時(shí)，為了提高時(shí)效性，任意選取其中的一幀光柵圖像估計(jì)方差值。這是由于在測(cè)量平臺(tái)上，光柵圖像在數(shù)秒內(nèi)甚至更短的時(shí)間內(nèi)完成投影和采集，噪聲方差這一統(tǒng)計(jì)值在較短的時(shí)間內(nèi)能夠維持穩(wěn)定。

6 結(jié) 論

光柵條紋投影測(cè)量過(guò)程中，由于采集到的光柵條紋圖像存在噪聲，且噪聲未知，從而導(dǎo)致提取的相位精度降低，甚至出現(xiàn)錯(cuò)誤。針對(duì)這一情況，本文提出了一種快速盲去噪方法。首先，利用殘差模型和相機(jī)參數(shù)，提出了一種光柵圖像的噪聲和真值圖像分離方法，并引入PCA對(duì)噪聲圖像進(jìn)行噪聲水平估計(jì)，克服了傳統(tǒng)PCA方法估計(jì)結(jié)果偏低的問(wèn)題。為了減少噪聲處理的數(shù)據(jù)量，提出了基于相位圖的高斯去噪方法，利用式(19)～式(21)所描述的時(shí)域噪聲方差與相位圖方差間的關(guān)系，將在時(shí)域上的光柵圖像去噪轉(zhuǎn)換至在相位圖上進(jìn)行。轉(zhuǎn)換后，需要處理的光柵圖像幀數(shù)減少到3幀，處理數(shù)據(jù)量大為減少，處理時(shí)間變短。測(cè)試實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，和對(duì)比方法相比，本文方法可在最短的執(zhí)行時(shí)間內(nèi)，使光柵圖像相位的RMSE值最高下降88.5%，所提方法對(duì)噪聲的抑制最為明顯，處理后的相位圖更加接近真值相位。

需要指出的是，本文方法將隨機(jī)選取的一幀光柵條紋圖像的噪聲方差估計(jì)值作為所有采集圖片的噪聲方差值。這樣處理的前提條件是：在光柵條紋圖像投影測(cè)量過(guò)程中，采集到的每幀光柵圖像的噪聲方差值應(yīng)基本保持穩(wěn)定，這也是本文方法有效的條件。