劉永坤，丁紅昌 ，向 陽 ，呂思航

（1. 長春理工大學(xué) 光電工程學(xué)院，吉林 長春 130022；2. 長春理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，吉林 長春 130022）

1 引 言

在機(jī)械制造、儀器儀表以及各類電子產(chǎn)品制造中，角度測量精度一直是重要的指標(biāo)之一，其精度的高低直接影響著產(chǎn)品質(zhì)量的好壞。為了提高測量精度，各類測角技術(shù)層出不窮，據(jù)不完全統(tǒng)計，角度測量方法按測量原理大致可以分為16類[1-3]。在這些測角方法中，光學(xué)測角法越來越受到關(guān)注，而相較于電感、電容微位移測量、激光位移測量等系統(tǒng)，基于光柵的測量系統(tǒng)具有精度高、分辨力高、體積小、抗干擾性強(qiáng)、成本低、工作環(huán)境要求低、使用方便等優(yōu)點，具有巨大的應(yīng)用潛力，得到了廣泛應(yīng)用[4-10]。

隨著光學(xué)測角技術(shù)的不斷發(fā)展，針對掃描振鏡的角度測量設(shè)備也在更新?lián)Q代，為了得到響應(yīng)快、精度高、誤差小、結(jié)構(gòu)小巧的角度檢測器，國內(nèi)外開展了許多研究。目前國外研究較好的公司也是生產(chǎn)高質(zhì)量掃描振鏡的公司，主要有SCANLAB公司、GSI公司、CTI公司、RAYLASE公司等，他們利用高精度電位器、角度編碼器等作為掃描振鏡的角度位置閉環(huán)，以此實現(xiàn)整個閉環(huán)系統(tǒng)的設(shè)計，其產(chǎn)品精度一般在2 μrad以內(nèi)。同時，國外許多學(xué)者在此方面也做了大量研究，如宮島廣史將集成傳感線圈構(gòu)成的掃描控制器作為角度控制閉環(huán)，研制了一種電磁光學(xué)掃描儀，其穩(wěn)定性誤差小于0.1%。相比于國外，國內(nèi)廠商起步晚，技術(shù)也不如國外成熟[11-14]。為促進(jìn)我國在這方面的研究，國內(nèi)相關(guān)學(xué)者圍繞振鏡控制系統(tǒng)相繼開展了許多研究，如華中科技大學(xué)的葉喬設(shè)計了掃描振鏡中電機(jī)控制系統(tǒng)的位置反饋環(huán)節(jié)與電流反饋環(huán)節(jié)，根據(jù)系統(tǒng)整體設(shè)計了PID控制校正裝置[15]；中國科學(xué)院西安光學(xué)精密機(jī)械研究所井峰采用以PSD為主控制器的數(shù)字式控制系統(tǒng)，以位置－電流－速度三閉環(huán)控制為基礎(chǔ)，以算法為控制策略，實現(xiàn)了振鏡的高速與高精度控制，同時也提出了改進(jìn)算法[16]。

為了使掃描振鏡有更好的角度閉環(huán)，優(yōu)化掃描振鏡的閉環(huán)電路，提高振鏡轉(zhuǎn)角測量精度。本文基于衍射與干涉理論，推導(dǎo)了振鏡轉(zhuǎn)角與干涉條紋強(qiáng)度變化的關(guān)系，在Matlab中進(jìn)行了仿真，給出了整個系統(tǒng)的最優(yōu)解，并通過具體實驗進(jìn)行了實際驗證。

2 測量原理

設(shè)計的振鏡轉(zhuǎn)角測量裝置光路如圖1所示，其主要可以分為5部分：光源準(zhǔn)直部分、反射鏡部分、衍射部分、干涉部分、信號處理部分，其各部分的組成主要包括激光光源、準(zhǔn)直透鏡、反射鏡、干涉透鏡、狹縫、折轉(zhuǎn)棱鏡、光電轉(zhuǎn)換器、信號處理電路、上位機(jī)。

圖 1 振鏡轉(zhuǎn)角測量光路Fig. 1 Optical path of galvanometer’s rotational angle measurement

從激光光源發(fā)出的光，先經(jīng)過準(zhǔn)直光路進(jìn)行準(zhǔn)直，隨后經(jīng)過與振鏡同軸設(shè)計的反射鏡反射進(jìn)入反射式圓光柵，此反射式圓光柵的圓心位于反射鏡的中心軸線上，在反射式圓光柵上產(chǎn)生的±1級衍射光，再次經(jīng)過反射鏡反射后，進(jìn)入?yún)R聚透鏡，之后通過狹縫進(jìn)行干涉，利用能量較大的±1級衍射光進(jìn)行干涉。為了避免結(jié)構(gòu)過長，利用折轉(zhuǎn)棱鏡折轉(zhuǎn)±1級衍射光，以使結(jié)構(gòu)緊湊并把干涉條紋呈于光電轉(zhuǎn)換器上。振鏡轉(zhuǎn)動時，帶動反射鏡轉(zhuǎn)動，使得入射到反射式圓光柵的入射角改變，相應(yīng)產(chǎn)生的±1級衍射光也發(fā)生轉(zhuǎn)動，使得干涉部分的兩束光線的相位差發(fā)生改變，從而引起干涉條紋光強(qiáng)的改變，進(jìn)而把角度轉(zhuǎn)動量轉(zhuǎn)化為干涉條紋光強(qiáng)的變化。通過光電轉(zhuǎn)換器把干涉條紋光強(qiáng)的變化轉(zhuǎn)化為電信號，通過后續(xù)的信號處理電路以及上位機(jī)，直接計算得出角度量。

3 模型建立

光源發(fā)出的光線經(jīng)過準(zhǔn)直透鏡后，以一定入射角入射到反射鏡上，其反射角與入射角相等，遵循光的反射定律。當(dāng)振鏡工作時，與振鏡同軸設(shè)計的反射鏡同步轉(zhuǎn)動，反射鏡轉(zhuǎn)角即振鏡轉(zhuǎn)角，其法線也在不斷轉(zhuǎn)動，使得入射角不斷改變，而此時的反射光線也隨之不斷改變[17]。反射角的改變直接影響著后續(xù)進(jìn)入反射圓光柵的夾角。為了得到反射鏡轉(zhuǎn)角與反射光線改變角φ的關(guān)系，設(shè)置初始入射光線與反射鏡轉(zhuǎn)軸共面，如圖2（彩圖見期刊電子版）所示。

圖 2 初始入射光路示意圖Fig. 2 Schematic diagram of the initial incident light path

平面A為反射鏡平面，繞著中心軸旋轉(zhuǎn)，平面B為反射鏡法線所在平面，EO為經(jīng)準(zhǔn)直光路準(zhǔn)直后到達(dá)反射鏡的入射光線，初始入射角為γ，OM、ON分別為反射鏡擺動至最大角度時所對應(yīng)的出射光線，OC、OD分別為相應(yīng)的反射鏡法線，則∠COT=∠DOT=α，α為反射鏡向兩側(cè)的轉(zhuǎn)動角度，∠EOC和∠EOD分別為反射鏡擺動至最大角度時的入射角，即β1和β2，且β1=β2=β。

圖3是把圖2中三棱錐放大旋轉(zhuǎn)，圖中陰影面CODT為法線所在平面，由反射鏡轉(zhuǎn)動知∠COT=∠DOT=α，∠EOT為初始入射角γ，做垂線ET⊥OT，平面MOE和EON是入射角分別為β1和β2時的入射平面，OC和OD為兩入射面的法線。由幾何關(guān)系知OC⊥ME，OD⊥EN，由ET垂直平面CODT，知ET⊥OC。由OC⊥ME，OC⊥ET，ME∩ET=E，則OC垂直平面CET，進(jìn)而有OC⊥CT，所以O(shè)C=OT·cosα。

圖 3 改進(jìn)的初始入射光路圖Fig. 3 Diagram of improved initial incident light path

由幾何對稱關(guān)系可知：OM=OE=ON=b，β1=β2=β，MC=CE=ED=DN=bsinβ，∠EOT=∠DOT=α，∠MON=φ。在ΔOTE中，ET⊥OT，則有OT=OEcosγ，即OT=bcosγ；在ΔOCE中，OC⊥ME，則 有OC=OEcosβ1，即OC=bcosβ。由 以 上可知：

式(1)即為反射鏡入射角與初始入射角和反射鏡轉(zhuǎn)角的關(guān)系，即在反射鏡初始入射角確定時，反射鏡入射角隨反射鏡轉(zhuǎn)角變化而改變。

在ΔOCD中，由余弦定理知：CD2=OC2+OD2?2OC·ODcos ∠COD，又由OC=OD=OEcosβ，∠COD=2α得：

在ΔMEN中，由于MC=CE=ED=DN，則C、D分別為ME、NE的中點，所以有2CD=MN，進(jìn)而有MN2=4CD2。

在ΔMON中，由MN2=4CD2，由余弦定理可得：

將式(1)代入上式有：

由式(2)可知反射鏡轉(zhuǎn)動角度α與出射光線角度變化量之間的關(guān)系。

如圖4所示，光線從反射鏡反射進(jìn)入反射式圓光柵產(chǎn)生衍射，產(chǎn)生的衍射光再經(jīng)反射鏡反射進(jìn)入干涉部分。

圖 4 反射式圓光柵光路圖Fig. 4 Optical path diagram of reflective circular grating

反射式圓光柵成周期性變化，并且每個柵面到圓心的距離都相等，其在不同柵面同一相對位置時產(chǎn)生的衍射效果也都相同，因此只需分析其在一個柵面上的衍射效果即可。圖5為圖4中虛線部分放大的單個柵距上的光路圖。

圖 5 單個柵面上的光路圖Fig. 5 Optical path diagram on a single grating surface

如圖5所示，經(jīng)反射鏡反射的光進(jìn)入反射式圓光柵，入射光線和衍射光線均在光柵主截面內(nèi)。設(shè)入射波長為λ，入射角和衍射角分別為i1和θ1，光柵常數(shù)為d，衍射級次為m，當(dāng)入射光線改變Δφ時，人射角和衍射角變?yōu)閕2和θ2，入射光線改變前后，入射角與衍射角的改變量分別為Δi和Δθ。根據(jù)文獻(xiàn)[18]知光柵方程d(sini±sinθ)=mλ，由于入射光線與衍射光線不同側(cè)，則光柵方程為d(sini?sinθ)=mλ。由此知：

由于入射角i1與 衍射角 θ1的改變量分別為Δi和Δθ，入射角和衍射角變?yōu)閕2和θ2，則有

將式(4)代入式(3)，由于Δi和Δθ為小角度量，滿足小角度近似條件，整理可得：

進(jìn)入反射式圓光柵的入射角改變量即為從反射鏡出射光線角度的改變量φ。由式(5)可知，當(dāng)初始入射角與初始衍射角確定以后，衍射角改變量與進(jìn)入反射式圓光柵的入射角改變量成線性關(guān)系。

從反射式圓光柵產(chǎn)生的能量相對較大的±1級衍射光，再次經(jīng)過反射鏡反射進(jìn)入?yún)R聚透鏡，經(jīng)過狹縫進(jìn)行干涉。該裝置用于振鏡轉(zhuǎn)角測量，本文利用折轉(zhuǎn)棱鏡進(jìn)行光路轉(zhuǎn)折以使該裝置小巧、緊湊。同時，為了避免零級衍射光的干擾，狹縫間距按一定距離進(jìn)行設(shè)計。具體光路如圖6所示。

圖 6 干涉光路圖Fig. 6 Interference optical path diagram

已知相鄰零值之間的角間距為[19]：

式中Δω為主極大的半角寬度，N為刻槽數(shù)，λ為入射波長，d為光柵常數(shù)，θ為衍射角度。而又由于sinθ=0對應(yīng)零級衍射，此時cosθ=1，故零級衍射角寬度可由幾何關(guān)系獲得：

分析單個槽面的零級衍射時N=1，代入式(7)可求得狹縫間距D，該間距下可攔截零級衍射光，避免零級衍射光干擾，提高測量的準(zhǔn)確性。

設(shè)±1級衍射光兩相干平面波的振動U1(x,y)和U?1(x,y)分別為：

式中A1和A?1分別為±1級衍射光的振幅；ω1和ω?1分別為±1級衍射光的角頻率，φ1和φ?1分別為其初始相位。

利用反射式圓光柵產(chǎn)生±1級衍射光，經(jīng)過反射鏡匯聚后進(jìn)行干涉。設(shè)±1級衍射光疊加時所產(chǎn)生的干涉條紋光強(qiáng)分布I(x,y)為：

由此可得：

由式(11)可知，干涉條紋強(qiáng)度不隨時間變化，只呈穩(wěn)定的空間分布。隨著±1級衍射光初始相位差的改變，干涉條紋的強(qiáng)度分布表現(xiàn)為有偏置的正弦分布。

由式(2)知，當(dāng)給定入射角γ時，反射鏡轉(zhuǎn)動角度α與出射光線角度變化量之間滿足以下關(guān)系：

由于從反射鏡反射的出射光線即為反射圓光柵的入射光線，故Δi=φ。由式(5)所表示的衍射角改變量與進(jìn)入反射式圓光柵的入射角改變量間的關(guān)系可知，當(dāng)初始入射角確定為零時，±1級初始衍射角分別為：

由于±1級衍射光的初始角度相反，故當(dāng)反射鏡轉(zhuǎn)動時，±1級衍射光的初始相位分別為：

而θ1=?θ?1， 即? θ1=?θ?1，進(jìn)而有：

將式(5)、式(12)與式(15)代入式(11)可得反射鏡轉(zhuǎn)角α與干涉光強(qiáng)的關(guān)系式：

式中A、θ1、θ?1以及γ均為定值，故可得出光強(qiáng)隨反射鏡轉(zhuǎn)角α的關(guān)系。

4 模型仿真

為了進(jìn)一步確定反射鏡轉(zhuǎn)動角度與干涉光強(qiáng)的關(guān)系，結(jié)合實例對上述公式做進(jìn)一步分析。首先是光源的確定，相比于其他光源，激光的亮度比較高，在時間和空間上光能比較集中，具有較好的相干性[20]；同時激光的單色性與方向性也比較好。實驗仿真選用650 nm的激光作為檢測光源。當(dāng)反射式圓光柵柵距確定時，入射到反射圓光柵的初始角度θ1與θ?1就隨之確定了。實驗仿真選用光柵常數(shù)為18 μm的反射式圓光柵，刻線為1024條，則θ1與θ?1分別為2.0695°與?2.0695°。A為條紋光強(qiáng)的直流分量，當(dāng)光源確定時，A就隨之確定且為一常量，這里為方便計算可取A=1。此時，式(16)可轉(zhuǎn)化為：

由式(17)可看出，干涉光強(qiáng)的變化與光源的初始入射角γ以及反射鏡轉(zhuǎn)動角α有關(guān)。

由于反射式圓光柵柵距呈周期性排列，故只需分析光線在單個柵面上移動時的干涉光強(qiáng)的變化即可。利用Matlab軟件對式(17)進(jìn)行計算，可以得到圖7所示關(guān)系曲線，由此可知當(dāng)反射鏡轉(zhuǎn)動時，干涉條紋強(qiáng)度也呈周期性變化[21]，通過后續(xù)的信號處理電路以及上位機(jī)進(jìn)行計數(shù)處理，得出所測的角度量。

圖 7 干涉條紋光強(qiáng)圖Fig. 7 Light intensity diagram of interference fringes

為了進(jìn)一步尋找最佳初始光線入射角，即激光器的初始入射角，通過分析一個周期內(nèi)不同初始入射角γ下的干涉條紋光強(qiáng)，利用Matlab軟件得出不同入射角下的干涉條紋光強(qiáng)圖，如圖8所示。

圖 8 初始入射角γ分別為（a）10°、（b）30°、（c）45°時的干涉條紋光強(qiáng)圖Fig. 8 Interference fringe intensity diagrams at initial incident angles of (a) γ=10°, (b) γ=30°, (c) γ=45°.

從圖8可以看出，入射角越小時，其干涉條紋光強(qiáng)越強(qiáng)，為了使結(jié)構(gòu)緊湊，可使光源與匯聚透鏡呈上下分布。但光源入射角不可能為零，光源大小、反射式圓光柵的參數(shù)要求，以及其結(jié)構(gòu)限制使得光源入射角最小為10°，故為了得到最好的干涉光強(qiáng)，取光源入射角γ=10°。

5 驗證實驗

實驗所用裝置如圖9所示。其中，圓弧型反射式光柵的光柵尺寸半徑為15 mm，圓弧角度為70°且圓心處于反射鏡轉(zhuǎn)動中心的軸線上，光柵常數(shù)為18 μm，刻線密度為55 line/mm，總刻線數(shù)為1024條。激光光源波長λ為650 nm。準(zhǔn)直透鏡口徑為3 mm。匯聚透鏡口徑為4 mm。狹縫間距為0.5 mm，兩縫間距為0.542 mm。反射鏡尺寸為6 mm×6 mm，與振鏡同軸設(shè)計。折轉(zhuǎn)棱鏡為等腰梯形。

圖 9 實驗裝置圖Fig. 9 Experimental setup

本次實驗電路為常規(guī)的信號處理電路，對反射式圓光柵單個周期所對應(yīng)的轉(zhuǎn)角0.0012 rad進(jìn)行8位細(xì)分，使其分辨率達(dá)到1″，之后對測量角度進(jìn)行驗證。選用美國的Aerotech一維轉(zhuǎn)臺的測量結(jié)果作為實際轉(zhuǎn)動角，而該裝置測量的反射鏡轉(zhuǎn)動角作為測量角。對不同反射鏡角度進(jìn)行20次測量，結(jié)果見表1。

表1 角度測量結(jié)果Tab. 1 Angle measurement results (°)

20次實驗測量擬合出測量角和實際轉(zhuǎn)動角的曲線關(guān)系：

式中y為測量角度，x為實際轉(zhuǎn)動角度。由圖10可知測量角和實際轉(zhuǎn)動角擬合結(jié)果呈線性關(guān)系。受儀器誤差、環(huán)境因素、操作等[22]的影響，該檢測設(shè)備的線性度只能無限接近1，相對測量誤差為0.044%，測量精度為0.00269°，即10″以內(nèi)。

對20次實際測量的誤差值進(jìn)行散點分布，如圖11所示。可見，除個別跳躍點以外，測量誤差成規(guī)律性分布。同時可以看出，振鏡轉(zhuǎn)角越大時，相應(yīng)的誤差值也越大。誤差較大的原因總體可分為兩點：一是設(shè)備本身加工裝調(diào)以及其所處的外界環(huán)境溫度、設(shè)備振動等帶來的誤差；另一點是振鏡轉(zhuǎn)角與反射鏡出射光線的非線性關(guān)系引起的誤差。通過上述實驗可知，在振鏡轉(zhuǎn)角±10°時，線性度達(dá)到99.956%，無限接近于1。

圖 10 振鏡轉(zhuǎn)角測量結(jié)果Fig. 10 Measurement results of galvanometer’s rotational angle

圖 11 誤差散點圖Fig. 11 Error scatter plot

6 結(jié) 論

根據(jù)現(xiàn)代化振鏡轉(zhuǎn)角測量系統(tǒng)的小巧化、高精度的要求，提出了利用反射式圓光柵測量振鏡轉(zhuǎn)角的方法，并介紹了反射式圓光柵振鏡轉(zhuǎn)角測量系統(tǒng)的組成與測量原理，搭建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，給出了仿真結(jié)果，并通過具體實驗進(jìn)行驗證，最后給出了測量振鏡的角度范圍以及測量精度。實驗結(jié)果證明：利用反射式圓光柵產(chǎn)生的±1級衍射光干涉方法，實現(xiàn)了振鏡±10°轉(zhuǎn)角的高精度測量；測量精度為10″?；緷M足振鏡角度測量的高精度、小巧化的要求。