許敬暉,喬百杰,*,滕光蓉,楊志勃,陳雪峰

1.西安交通大學 機械工程學院,西安 710049

2.西安交通大學 機械制造系統工程國家重點實驗室,西安 710049

3.中國航空發(fā)動機有限公司 四川燃氣渦輪研究院,成都 610500

轉子葉片是航空發(fā)動機的重要零部件。航空發(fā)動機工作時高溫、高壓、高轉速的惡劣環(huán)境極易引起葉片振動,進而導致葉片產生高周疲勞裂紋,危害飛機的運行安全[1-2]。對葉片的振動狀態(tài)進行監(jiān)測,實時測量葉片危險位置的應力狀態(tài)是保障航空發(fā)動機運行安全的有效手段。傳統的葉片狀態(tài)監(jiān)測手段主要通過在葉片表面粘貼應變片,將應變片信號通過滑環(huán)引電器引出再進行采集[3]。然而,由于滑環(huán)引電器的結構限制,若長時間測量處于高速旋轉狀態(tài)下的航空發(fā)動機葉片,滑環(huán)引電器必然會因摩擦而損壞,難以做到葉片的長期在線監(jiān)測。目前,葉端定時技術作為一種非接觸式測量手段逐漸受到了學術界和工業(yè)界的重視[4-5]。

葉端定時技術通過測量葉片到達葉端定時傳感器的時間差來計算葉片的振動位移。共振態(tài)下葉片振動幅值與應變之間具有確定的比值關系[6],因此葉片振動幅值的準確辨識是葉端定時技術取代應變片,實現葉片關鍵位置應力非接觸測量的先決條件。由于一個葉片在一圈之內僅經過同一傳感器一次,因此葉端定時信號的采樣頻率與葉片轉速和傳感器數目相關。通常情況下,葉端定時系統采集到的葉片振動位移信號不滿足奈奎斯特采樣定理,為欠采樣信號[7]。為了從葉端定時欠采樣位移信號中辨識出葉片振動頻率、幅值等參數,許多針對葉端定時信號的處理方法應運而生。單參數法針對葉片的同步振動情況,利用一支葉端定時傳感器測量葉片變轉速工況下的振動幅值、共振轉速[8]；在此基礎上,雙參數法增加了一支葉端定時傳感器,可以進一步識別葉片的共振頻率信息[9]；自回歸法則通過引入自回歸方程能對葉片振動的倍頻值進行計算[10-11]。然而上述方法均是對葉片通過共振區(qū)時的信號進行處理,即要求葉片在變轉速的工況下進行測量。若葉片在恒定轉速下運行,則單個葉端定時傳感器測得的葉片同步共振幅值將不會發(fā)生明顯的變化[12]。周向傅里葉擬合算法通過假設葉片振動形式為簡諧振動,求解最小二乘方程對幅值進行計算[13]。但其在對振動方程進行假設的過程中,需要利用坎貝爾圖提供葉片振動的先驗信息,確定葉片在恒定轉速下可能出現的振動模態(tài)和振動階次。

隨著現代信號處理技術的發(fā)展,一些針對欠采樣信號的處理方法被自然而然的應用于葉端定時信號處理領域。Donoho等提出的壓縮感知理論通過構建能夠反映信號特征的字典矩陣使得欠采樣信號的重構成為可能[14]。國防科技大學楊擁民教授團隊提出了一種重構葉片振動頻率的壓縮感知模型[15]。西安交通大學吳淑明等提出了增強稀疏方法,與傳統的稀疏分解方式相比,該方法得到了更為稀疏的解,避免了頻率混疊,并得到了更為清晰的譜圖[16]。然而在求解葉端定時信號的稀疏表示的過程中,由于引入了正則化項,故重構信號幅值精度難以得到保障。在上述文獻中,側重利用壓縮感知實現葉片振動頻率的精確辨識,而未涉及葉片振動幅值高精度重構。而葉片振動幅值參數作為衡量葉片狀態(tài)的重要指標,逐漸開始受到重視[17]。

本文針對壓縮感知重構信號幅值精度較低以及傳統葉端定時算法無法求解恒定轉速下葉片共振幅值,而周向傅里葉擬合方法求解葉片振動幅值需要先驗信息的不足。根據振動方程中需要利用先驗信息構建的設計矩陣的形式,構造壓縮感知求解葉端定時稀疏表示過程中的字典矩陣。通過壓縮感知求解結果中非零元素所在位置,從字典矩陣中提取對應原子組成設計矩陣,實現無先驗信息條件下葉片振動方程的參數辨識。葉端定時仿真和試驗結果表明,該方法能夠有效識別葉片振動的頻率和幅值參數。

1 葉端定時信號處理

1.1 葉端定時測量原理

葉端定時系統以轉軸上的轉速傳感器測得的時間信號為參考基準,通過在機匣上安裝葉端定時傳感器測得每個葉片到達傳感器的時間。利用葉片與轉軸上基準位置之間的夾角以及葉片的轉速,可以計算出理想狀況下,葉片無振動旋轉時到達葉端定時傳感器的理論時間。對比實測的到達傳感器時間,得到的時間差用于計算葉片的振動位移。其原理如圖1所示。葉片振動位移y與時間差Δt之間的關系為

y=2πfω×R×Δt

(1)

式中：fω為葉片旋轉頻率；R為葉片旋轉半徑。

由圖1(b)可知,一個葉片在一圈之內僅經過一個傳感器一次,因此葉端定時系統的采樣頻率可以寫為

圖1 葉端定時原理圖

fbtt=P×fr

(2)

式中：P為機匣周向葉端定時傳感器的安裝數量;fr為在葉片旋轉頻率恒定的條件下,要想增大葉端定時系統的采樣頻率就必須增加傳感器數目。然而受機匣安裝空間限制,安裝的傳感器數目通常無法使得葉端定時系統的采樣頻率滿足奈奎斯特采樣定理,因此葉端定時信號通常為欠采樣信號,而傳感器的非均勻布置以及轉速波動使得所采集的信號為非均勻采樣,非均勻欠采樣的信號使得傳統的信號處理方法難以辨識葉端定時信號中所包含的葉片振動參數。

1.2 葉片振動參數辨識

在單模態(tài)下,可假設葉片發(fā)生簡諧振動[18],葉片的振動方程可以表示為

y=Asin(2πft)+Bcos(2πft)+C

(3)

式中：f為葉片振動的頻率；A、B、C為葉片振動方程的系數。當葉片發(fā)生同步共振,即葉片振動頻率與轉頻成整數倍關系時,恒定轉速下葉端定時傳感器采集到的數據點如圖2所示。同一傳感器在同步振動時測得的葉片振動位移是完全相同的導致信號中包含的信息更加稀少,傳統的信號處理方法難以得到其中隱含的振動信息。但是如果將不同傳感器測得的M個振動位移數據點按照時間的順序排列為一個矢量y=[y1,y2,…,yM]T,振動方程的系數表示為矢量x=[A,B,C]T,則式(3)可寫作矩陣形式：

圖2 同步共振葉端定時采集數據點

y=Hx

(4)

式中：H為設計矩陣,與葉片的振動頻率以及傳感器測得的位移時刻有關,其具體表達式為

(5)

通過求解設計矩陣H的偽逆,即可求得振動方程中的系數

x=H?y

(6)

求得系數矢量x后即可得到葉片振動幅值。該求解過程即為周向傅里葉擬合方法(Circumferential Fourier Fit, CFF)。由于同一傳感器在同步振動時測得的葉片振動位移完全相同,因此采用傳感器的數目應大于等于振動方程中待求系數的數目。由式(3)可知,設計矩陣H中的未知量為葉片振動頻率。通常而言,這一振動頻率由預先繪制的坎貝爾圖確定。若能通過測得的振動位移,直接構造出設計矩陣而不依賴于坎貝爾圖的先驗信息,則能直接完成葉片振動方程的參數辨識,提高幅值辨識效率。

根據式(3)可以推廣得到葉片多模態(tài)下的振動方程為

(7)

式中：Q為模態(tài)數目；fi為各階模態(tài)頻率。設計矩陣H根據計算模態(tài)數目的大小進行列擴展,其列數與計算的模態(tài)數目之間滿足關系P≥2Q+1。

2 葉端定時信號壓縮感知模型

任意信號通常都能被表示為一系列基函數的線性組合。在稀疏框架下,這些基函數的集合稱作字典,每個基函數則被稱為字典中的原子[19]。若在某個字典下,使用很少的原子就能將信號的特征完全表示出來,則稱信號在這個字典下的表示是稀疏的,使用的原子數量越少,則說明字典中原子的結構與信號越為相似。

假設在機匣上布置I個虛擬的葉端定時傳感器,使葉端定時系統的采樣頻率能滿足奈奎斯特采樣定理。用N個點表示I個虛擬傳感器在一段時間內測得的葉片振動非欠采樣信號YN×1,若在該段時間內葉片轉過了W圈,則N=W·I,若YN×1在某個字典DN×N下的表示稀疏,則葉片振動信號可以表示為

YN×1=DN×N·sN×1

(8)

式中：sN×1為非欠采樣信號YN×1在字典DN×N下的稀疏矢量,其僅有幾個非零元素。實際葉端定時系統的傳感器安裝位置可以視作是從I個虛擬傳感器中選取的J個位置,且J?I。因此,實際葉端定時系統測量結果可以看作是從理想的非欠采樣信號YN×1中抽取M個數據點組成的YM×1,其中M?N,且若在該段時間內葉片轉過了W圈,則M=W·J。這一抽取過程可以轉化為矩陣乘積的形式：

YM×1=ΦM×N·YN×1

(9)

式中：ΦM×N為觀測矩陣,由N×N大小的單位矩陣通過抽取特定的行元素組成。抽取的行元素位置是通過實際安裝葉端定時傳感器的位置在虛擬葉端定時傳感器中的位置決定。

若能通過葉端定時系統測得的欠采樣信號YM×1得到葉片振動信號在某個字典下的稀疏表示,則就能重構葉片振動的非欠采樣信號。根據式(8)與式(9),求解葉端定時信號在某個字典下的稀疏表示的方程為

(10)

式(10)的求解屬于NP難題,無法在可接受的時間內求得全局最優(yōu)解。故通常情況下,需要將其轉化為凸優(yōu)化問題進行求解[20]。則式(10)可重新寫作：

(11)

式中：二范數代表的是數據保真項,其占比越大求解結果的幅值精度越高,一范數代表的正則化項,其占比越大求解結果越稀疏但幅值精度會下降。λ為正則化參數,主要用于平衡保真項和正則項所占比重從而影響求解結果的稀疏程度與幅值精度。線性規(guī)劃LP算法[21]、內點法[22]等均可求得凸優(yōu)化問題的全局最優(yōu)解。

求得葉端定時欠采樣信號的稀疏表示sN×1后,將其代入式(8)即可實現葉片振動非欠采樣信號的重構。而式(11)中正則化參數λ的使用,強化了求解過程中信號的稀疏性條件,其重構信號往往難以保證幅值精度。由式(3)可知,若能求得葉片振動方程中的系數并確定設計矩陣中的頻率分量,即可不直接重構葉片振動信號,而是通過計算葉片的振動方程來得到更準確的葉片振動幅值。

為了不依賴坎貝爾圖等先驗信息,直接構造葉片振動方程的設計矩陣,將設計矩陣中的主要元素作為葉端定時壓縮感知模型中字典的原子。根據式(5),構造壓縮感知字典為增廣設計矩陣

(12)

式中：t1,t2,…,tN是由設定的非欠采樣信號的采樣頻率fs確定的時間間隔；f1,f2,…,fN/2是等間隔分布的頻率成分,且其最大頻率分量與設定的理想采樣頻率的一半,即為最大奈奎斯特采樣頻率,fN/2=fs/2。增廣設計矩陣在一定范圍內,列舉了振動方程可能存在的頻率,且由于其元素結構與振動方程相同,故在保證解存在的同時使其盡可能稀疏。通過求解式(11)得到的葉端定時信號的稀疏表示確定其非零元素所在位置,進而在壓縮感知字典中找到對應頻率分量,這一過程的示意圖如圖3所示。由于式(5)與式(12)在矩陣元素的形式上完全相同,故可將字典中對應原子取出,與觀測矩陣ΦM×N相乘后直接代入設計矩陣,進而通過式(6)對葉片振動方程中的系數直接進行計算。

圖3 壓縮感知字典原子選取

3 葉端定時模擬仿真分析

為了驗證提出的壓縮感知方法葉端定時欠采樣信號的頻率和幅值重構精度,構造葉片振動的單模態(tài)及多模態(tài)仿真信號。根據設定轉速與傳感器安裝角度搭建葉端定時仿真模擬器,得到仿真欠采樣葉端定時信號。通過比較仿真信號與重構信號的時域及頻域結果,驗證所提方法的有效性。

3.1 葉片單模態(tài)振動仿真驗證

對葉片恒定轉速下的同步振動信號進行仿真分析。設定葉片的旋轉頻率fω=216.7 Hz,葉片為簡諧振動,葉片的振動頻率f=650 Hz,葉片振動的常偏量為1,構造葉片的振動仿真信號為

y=5sin(2π×650×t)+1cos(2π×650×t)+1

(13)

為了驗證方法的魯棒性,再對仿真信號添加高斯白噪聲,使得含噪信號的信噪比為5 dB,其中信噪比的定義為

(14)

式中:Psignal和Pnoise為信號和噪聲的有效能量大小。對于如式(13)所示含有3個系數的單模態(tài)振動方程而言,理論上采用3支葉端定時傳感器即可實現信號重構,但為了增強算法的魯棒性,可采用更多的葉端定時傳感器進行測量,使式(5)中的矩陣為超定矩陣,減小測量噪聲等干擾因素使計算結果產生的偏差。在仿真案例中,采用了5支葉端定時傳感器進行測量,其安裝角度分別為0°,36.7°,84.3°,292°,326°。生成的仿真振動信號以及各傳感器測得的葉片振動幅值如圖4所示。其中橫線代表的是各傳感器測得的平均值大小。對比圖2可以看出,受到噪聲干擾后,各傳感器在同步振動時測得的葉片振動位移并不完全相同。

圖4 葉片振動仿真信號及采樣結果

由于葉片的轉頻fω=216.7 Hz,且僅使用了五支葉端定時傳感器進行數據采集,由式(2)可知,此時葉端定時系統的采樣頻率fbtt=1 083.5 Hz。根據奈奎斯特采樣定理,其最高可識別的振動頻率為541.8 Hz。然而仿真葉片振動頻率為650 Hz,若直接對葉端定時信號進行傅里葉變換,其結果如圖5所示,可以看出葉端定時信號僅能測得葉片的旋轉頻率及其倍頻信號,無法得到葉片實際的振動頻率。

圖5 葉端定時信號頻譜圖

將各葉端定時傳感器測得的數據點按照時間順序排列為一個數據矢量YM×1。此處選取時長為0.5 s的數據點,由于葉端定時系統的采樣頻率fbtt=1 083.5 Hz,因此采集到的數據點數M=540。設定利用壓縮感知方法重構信號的采樣頻率fres=2 000 Hz,即在0.5 s的時間段內,利用540個數據點重構1 000個數據點。利用壓縮感知方法直接對葉端定時信號進行重構得到的時域和頻率如圖6所示。

由圖6(a)可知,葉端定時壓縮感知重構信號無法準確重構信號幅值。其主要原因是為了使得求解式得到的結果更為稀疏,正則化參數的選取要盡可能的大,因此在消除一些不相關頻率分量的同時也使其主要頻率分量的幅值發(fā)生相應的衰減,相較于振動幅值而言所占比例更小的振動方程中的常偏量也無法在重構信號中得到體現。然而對重構信號進行傅里葉變換得到其頻譜如圖6(b)所示,重構信號的頻率與式(13)中設定的仿真頻率相同。

求解式(11)得到的葉端定時信號稀疏表示在sN×1中,非零元素的位置在第649行。根據圖3所示方法,從壓縮感知字典DN×N中選取對應的兩列原子dN×2,與觀測矩陣ΦM×N相乘后直接構造振動方程的設計矩陣,將其代入式(6)求得的葉片振動方程系數x=[4.96, 0.85,1.04]T。由此得到葉片振動方程為

(15)

將式(15)與仿真的葉片振動方程式(13)進行比較,其結果如圖7所示。對比式(13)的設定參數與式(15)的求解結果,二者的幅值相對誤差為1.14%。

圖7 單模態(tài)振動參數辨識結果

3.2 葉片多模態(tài)振動仿真驗證

實際葉片作為一個連續(xù)實體理論上存在無窮多自由度,因此當其工作環(huán)境復雜,存在多源激勵的條件下,有可能出現葉片的多模態(tài)振動,即葉片的不同階固有頻率在某個轉速下被同時激發(fā)出來。設定葉片的旋轉頻率fω=216.7 Hz,葉片同時產生3個模態(tài)的振動,其振動頻率為650 Hz、1 100 Hz、1 320 Hz,葉片的振動方程為

y=5sin(2π×650×t)+1cos(2π×650×t)+

2sin(2π×1 100×t)+5cos(2π×

1 100×t)+3sin(2π×1 320×t)+

4cos(2π×1 320×t)+1

(16)

對多模態(tài)仿真信號同樣添加大小為5 dB的高斯白噪聲。式(16)中含有7個系數,最少需要使用7支葉端定時傳感器進行數據采樣。同樣為了保證求解結果的魯棒性,多采用兩支傳感器進行測量,即總共設計9個仿真葉端定時傳感器。采用隨機生成傳感器布局的方式,生成9支傳感器的安裝角度為

θ=[4.6° 35.3° 64.9° 151.3° 166.8°

174.8° 241.4° 260.9° 339.1°]

(17)

同樣選取時長為0.5 s的數據點,利用壓縮感知方法重構信號的采樣頻率設定為fres=4 000 Hz,采用的字典與單模態(tài)仿真相同。將葉端定時仿真采樣的數據點與字典代入式(11)中進行求解,得到的葉端定時信號的稀疏表示系數如圖8所示。據此可以得到稀疏表示系數中3個非零分量所在位置,從而在字典中找到組成設計矩陣所對應的原子所在位置。

圖8 多模態(tài)信號稀疏表示

若直接通過式(8),即利用壓縮感知方法對振動信號進行重構,得到的重構信號如圖9所示?？梢钥闯鲋貥嫸嗄B(tài)信號的時域幅值與未加噪聲的原始信號之間有較大差距,但其頻譜圖較好的重構出了葉片不同模態(tài)的振動頻率,說明采用壓縮感知方法對振動信號進行重構具有較好的魯棒性,并未因為噪聲而影響重構信號的頻譜結構。

圖9 壓縮感知重構多模態(tài)振動信號

通過圖8所示的稀疏表示非零元素所在位置,從字典中提取對應原子構造設計矩陣,再對振動方程中的系數進行求解,得到葉片的振動方程如圖10所示。

對比圖6和圖7以及圖9和圖10可以看出,相較于使用壓縮感知方法直接重構葉片振動信號而言,通過融合葉片振動方程的設計矩陣以及壓縮感知字典,進而得到振動方程系數的方法能夠實現葉片振動幅值的高精度辨識。對比圖10中重構信號與原始信號,所述方法的幅值相對誤差為5.76%。

圖10 多模態(tài)振動參數辨識結果

4 旋轉葉片試驗驗證

4.1 試驗臺介紹

為了進一步驗證所提方法在恒定轉速下的葉片振動參數辨識效果,搭建如圖11(a)所示的模擬轉子葉片試驗臺。通過葉端定時和應變片兩種測試系統進行測量,以應變片測量結果為基準,對葉端定時參數識別結果進行驗證。

由于在試驗臺環(huán)境下很難模擬出發(fā)動機實際運行時的多源激勵環(huán)境,因此大多數情況下僅能激發(fā)出葉片的一階固有頻率。葉端定時傳感器的安裝角度與安裝數量選用與3.1節(jié)中單模態(tài)仿真相同的傳感器布置方案。采用美國HOOD公司的硬件系統對信號進行采集。應變片的安裝位置如圖11(b)所示。每個葉片均安裝2個應變片,其中A點的應變片在5個葉片上均有安裝,B點和C點的應變片為交替安裝。應變片系統的采樣頻率fstrain=12 800 Hz,應變片測量信號通過滑環(huán)引電器引出,使用法國的OROS動態(tài)測試系統對應變片信號進行采集。

圖11 葉端定時試驗臺

4.2 結果分析與討論

在轉軸上安裝轉速傳感器,測得葉片的轉速如圖12所示。在0.5 s內葉片轉速均值為13 053.2 RPM(1 RPM=1 r/min),偏離均值最大值為15.5 RPM,葉片轉速波動為15.5/13 053.2=0.12%,故可認為葉片處于恒定轉速狀態(tài)。五支葉端定時傳感器測得的葉片振動位移經過消噪預處理后如圖13所示。試驗測量過程中存在噪聲使得各傳感器測得的位移值會產生相應的波動,并不是一個恒定值。

圖12 葉片轉速信號

圖13 葉端定時試驗測量數據

利用試驗測得時長為0.5 s的葉端定時信號進行葉片振動方程的參數辨識,采用如式(12)所示的壓縮感知字典,設定重構頻率fres=2 000 Hz,將各變量代入式(11),求解得到葉端定時信號的稀疏表示系數如圖14所示。

圖14 試驗葉端定時信號稀疏表示

由圖14可知,試驗葉端定時信號的稀疏表示僅存在一個非零元素,說明試驗中葉片產生的是單模態(tài)振動,這與試驗過程中激勵源單一,難以激發(fā)葉片多模態(tài)振動的實際情況相符合。根據信號稀疏表示中非零元素所在位置,從字典中取出對應原子構造葉片振動方程的設計矩陣。為了驗證設計矩陣元素中頻率參數的正確性,繪制重構葉片振動信號的頻譜如圖15所示。

圖15 試驗壓縮感知重構信號頻譜

將設計矩陣代入式(6)中對振動方程系數進行求解,最終得到葉片振動方程為

y=0.333sin(2π×649×t)

-0.010cos(2π×649×t)-0.025 mm

(18)

為了驗證式(18)的正確性,采用相同轉速下的A點應變片測量數據對葉片振動頻率進行驗證,應變片系統的采樣頻率fstrain=12 800 Hz滿足奈奎斯特采樣定理,能保證計算得到的葉片振動頻率不產生混疊。應變片測得相同轉速下的葉片振動信號長度為6 400,其頻譜如圖16所示。

圖16 應變片信號頻譜圖

應變片測得的葉片振動頻率為649.9 Hz,與利用534個點重構得到的葉片振動方程相比,其頻率與應變片測量結果的相對誤差為0.14%,說明了采用壓縮感知方法求解葉片振動的稀疏表示結果是準確的。由式(18)的葉片振動方程可知,其振動幅值為333.3 μm。

然而應變片測得的幅值為應變單位,無法直接反應葉尖振動幅值的大小。然而共振轉速下葉片振幅與葉根動應變之間存在有確定的傳遞比關系[23]。因此可以通過計算5個葉片的應變位移傳遞比來對葉片振動幅值準確度進行驗證。然而由于1號葉片的應變片在測試過程中損壞,因此剩余4個葉片的傳遞比如表1所示。

由表1可以看出,2號與3號葉片的振動幅值較為接近,4號葉片的振動幅值較大,而5號葉片的振動幅值很小。導致葉片振動幅值差異的可能原因是試驗件加工過程中存在的不確定性如加工尺寸誤差,加工的殘余應力等導致葉片間存在個體差異。但4個葉片的傳遞比的均值為1.631,其中偏離均值的最大百分比為2.15%,因此可以認為葉端定時信號的幅值辨識精度較高。

表1 葉片幅值與應變

5 結 論

1)利用噪聲水平為5 dB的葉片單模態(tài)和多模態(tài)振動信號進行仿真分析,與直接利用壓縮感知方法重構信號相比,本文所提方法能在保持頻率辨識精度的前提下,提高重構信號的幅值精度。

2)通過搭建安裝有葉端定時與應變片兩套測量系統的試驗臺,以應變片測得信號為基準,驗證了所得葉片振動方程的頻率相對誤差為0.14%,利用葉片應變幅值傳遞比恒定的特性,對比了4個葉片的傳遞比,其中偏離均值的最大百分比為2.15%。

3)與傳統頻譜分析相比,壓縮感知能夠突破奈奎斯特采樣定理的限制,識別欠采樣信號頻率,通過引入增廣設計矩陣作為壓縮感知字典,相較于傳統的離散余弦字典而言,可提高幅值辨識精度。