毛亞玲

圍繞平行四邊形知識(shí)點(diǎn)的考查，同學(xué)們?cè)诖痤}時(shí)時(shí)常會(huì)出現(xiàn)“會(huì)而不對(duì)”“對(duì)而不全”的現(xiàn)象。如何做到規(guī)范解答？跳步、漏步的原因是什么？怎樣才能做到步步得分呢？下面我們結(jié)合具體題目，嘗試用“踩點(diǎn)得分”的方式去分析問題、解決問題。

例 （本題滿分8分）已知：如圖，在?ABCD中，G、H分別是AD、BC的中點(diǎn)，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E、F。

（本小題5分）（1）求證：四邊形GEHF是平行四邊形;

（本小題3分）（2）已知AB=5，AD=8。當(dāng)四邊形GEHF是矩形時(shí)，求BD的長(zhǎng)。

【分析】條件有3個(gè)：?ABCD;G、H分別是AD、BC的中點(diǎn);AE⊥BD，CF⊥BD。從第（1）問為5分來看，平行四邊形的判定需兩個(gè)條件，各2分，結(jié)論1分。從此入手，3個(gè)條件如何組合，可以得出平行四邊形判定的兩個(gè)條件呢？按照分類來看有三種可能，第一種和第二種我們可以用下面的框圖來表示。

第一種：

第二種：

那么第三種情況：?ABCD與G、H分別是AD、BC的中點(diǎn)這兩個(gè)條件的組合可以嘗試嗎？選擇連接GH，設(shè)GH與BD相交于點(diǎn)O，這里容易產(chǎn)生的邏輯漏洞是直接得到點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)，這也就是缺步驟、跳步驟的源頭。正確的做法應(yīng)該是繼續(xù)連接BG、DH，去證明四邊形BGDH是平行四邊形，從而得到O是BD、GH的中點(diǎn)。進(jìn)一步的證明可得到OE=OF，進(jìn)而證得四邊形GEHF是平行四邊形。下面我們選取第二種組合來分析如何做到踩點(diǎn)得分，其他兩種大家可以自主嘗試。

（1）證明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴∠AED=∠CFB=90°。（1分）

∵G、H分別是AD、BC的中點(diǎn)，

∴EG=DG=[12]AD，F(xiàn)H=BH=[12]BC，

∴∠GED=∠GDE，∠HBF=∠HFB。（3分）

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD=BC，AD∥BC，

∴EG=FH，∠GDE=∠HBF，

∴∠GED=∠HFB，

∴EG∥FH，（4分）

∴四邊形GEHF是平行四邊形。（5分）

【點(diǎn)評(píng)】第（1）問的證明分為四個(gè)邏輯塊，也就是四句。第一句由垂直得直角，基于直角三角形的前提不能省;第二句里面有兩個(gè)得分點(diǎn)，一個(gè)是線段相等，還有一個(gè)是角相等;第三句得對(duì)應(yīng)邊相等且平行;最后一句下結(jié)論得證。我們可以用同樣的方法來解決第（2）問。

【分析】第（2）問強(qiáng)化了條件，四邊形GEHF是矩形。我們先弄清BD的構(gòu)成，BD=BE+EF+FD，發(fā)現(xiàn)BE和FD可以用全等三角形證明相等，而EF=GH，并且可以通過證明四邊形ABHG是平行四邊形得到EF=GH=AB=5。因此，問題的關(guān)鍵轉(zhuǎn)化為求BE的長(zhǎng)。

（2）解：連接GH，∴當(dāng)?GEHF是矩形時(shí)，EF=GH。

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD=BC，AD∥BC。

∵G、H分別是AD、BC的中點(diǎn)，

∴AG=[12]AD，BH=[12]BC，

∴AG=BH，AG∥BH，

∴四邊形ABHG是平行四邊形，

∴EF=GH=AB=5。（1分）

∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴∠AEB=∠CFD=90°。

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=DC，∠ABD=∠CDB，

∴△ABE≌△CDF（AAS），

∴BE=DF。（2分）

設(shè)BE=x，則DF=x，ED=5+x。

∴52-x2=82-（5+x）2，解得x=1.4，

∴BD=7.8。（3分）

【點(diǎn)評(píng)】由矩形想到對(duì)角線相等，這是從線段角度入手來解決第（2）問。將BD分解之后，邏輯塊分成三句：第一句證明GH=AB=5;第二句證明BE=DF;第三句也是最難的，利用兩次勾股定理構(gòu)造方程求解BE。如果由矩形聯(lián)想到的是直角，從角度入手的話，你會(huì)發(fā)現(xiàn)什么？提示一下，可以通過相似三角形來解決第（2）問。

（作者單位：江蘇省南京市金陵中學(xué)仙林分校中學(xué)部）