馬志浩

摘 要：分?jǐn)?shù)的意義是概念教學(xué)中較為抽象的內(nèi)容。傳統(tǒng)教學(xué)模式下，學(xué)生對于分?jǐn)?shù)意義的概念掌握不理想，存在量率不分、概念局限、意識缺失等問題，其根本原因是傳統(tǒng)教學(xué)缺少對分?jǐn)?shù)內(nèi)容的整體架構(gòu)，缺乏整體的教學(xué)觀，從而導(dǎo)致學(xué)生對分?jǐn)?shù)意義的理解不全面、不深入、不透徹。鑒于以上問題，通過查閱資料，比較不同版本教材的教學(xué)方式，理清人教版教材中關(guān)于分?jǐn)?shù)概念的教學(xué)脈絡(luò)，降低學(xué)生起點(diǎn)，優(yōu)化教學(xué)方式，為學(xué)生建構(gòu)立體體驗(yàn)，使學(xué)習(xí)目標(biāo)更貼近學(xué)生、概念建構(gòu)更豐富多元、數(shù)學(xué)模型更深入內(nèi)心，從而讓學(xué)生學(xué)得扎實(shí)、靈活、有效。

關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù);意義;優(yōu)化;概念教學(xué)

一、分?jǐn)?shù)的意義之教學(xué)困惑

（一）現(xiàn)狀描述

傳統(tǒng)的課堂教學(xué)中，“分?jǐn)?shù)的意義”一課教師往往難于在課堂中引導(dǎo)學(xué)生突破難點(diǎn)，深入理解分?jǐn)?shù)的意義;學(xué)生一節(jié)課下來通常感覺枯燥難懂，對于分?jǐn)?shù)意義的理解僅限于表象，無法真正有效掌握其內(nèi)涵;學(xué)生的課后練習(xí)，錯誤多種多樣，需要進(jìn)行反復(fù)練習(xí)。

針對上述問題，筆者進(jìn)行了梳理歸納，發(fā)現(xiàn)對于分?jǐn)?shù)的理解存在以下問題：

1.量率不分

學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)的意義”一課后，經(jīng)常會出現(xiàn)這類題目，甚至到六年級學(xué)生對于這類題目也常?；煜磺?。

2.概念局限

新課結(jié)束后，對于任教的一個班進(jìn)行“分?jǐn)?shù)的意義”概念后測。

3.意識缺失

學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的概念，不僅需要學(xué)生深入理解并掌握其概念，還要靈活運(yùn)用概念對具體情況中的分?jǐn)?shù)做出合理的分析，從而尋求有效的解題策略，顯然這是對學(xué)生更高層次的要求。然而教學(xué)實(shí)踐中，不管是教師還是學(xué)生運(yùn)用分?jǐn)?shù)的意義分析實(shí)際問題的意識都比較欠缺。

（二）歸因分析

學(xué)生在學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)的意義”一課時(shí)存在的問題多種多樣，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)困難的根本原因是什么呢？

1.量率不分→教學(xué)缺乏量率溝通

分?jǐn)?shù)的認(rèn)識分兩個教學(xué)階段：第一階段是分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識（三年級），第二階段是分?jǐn)?shù)的意義（五年級）。

“分?jǐn)?shù)的意義”一課在內(nèi)容編排上，主要引導(dǎo)學(xué)生理解部分與整體、部分與部分之間的關(guān)系，此時(shí)的分?jǐn)?shù)是“率”，并未涉及“量”。有關(guān)分?jǐn)?shù)“量”的內(nèi)容，僅出現(xiàn)于某些習(xí)題或練習(xí)中，并無具體內(nèi)容呈現(xiàn)。

從教學(xué)實(shí)際來看，大多數(shù)一線教師對于涉及分?jǐn)?shù)的知識缺乏系統(tǒng)的梳理，往往會忽視“量”“率”兩者之間的內(nèi)在聯(lián)系。正因?yàn)榻虒W(xué)中缺乏兩者的溝通，從而學(xué)生無法全面理解分?jǐn)?shù)的意義。

2.概念局限→意義理解不深刻

張奠宙教授在“分?jǐn)?shù)的定義”一文中提出了分?jǐn)?shù)的四種含義：份數(shù)定義、商定義、比定義、公理化定義。由于分?jǐn)?shù)有多重意義，因此教學(xué)實(shí)踐中，不同的教學(xué)情境指向不同的意義。盡管人教版教材在分?jǐn)?shù)這一內(nèi)容的編排上采用階段滲透、逐級遞進(jìn)的方式幫助學(xué)生分散學(xué)習(xí)難點(diǎn)，還學(xué)生一個逐步建構(gòu)概念的過程，但也因此割裂了分?jǐn)?shù)多種定義之間的內(nèi)在聯(lián)系，使得分?jǐn)?shù)意義教學(xué)更多的關(guān)注表象，而忽視知識的整理架構(gòu)，導(dǎo)致意義的理解不深刻。

3.意識缺失→知識學(xué)習(xí)單一性

五年級的學(xué)生在理解抽象的分?jǐn)?shù)概念時(shí)還是存在較大的困難。雖然大部分學(xué)生能熟練背誦分?jǐn)?shù)的意義，但這種“流暢性”并不能為后續(xù)學(xué)習(xí)提供較為有利的知識延伸。且在分?jǐn)?shù)意義的教學(xué)中，教師過于重視概念的理解，而忽視概念的應(yīng)用，忽視了分?jǐn)?shù)意義的問題解決，因此導(dǎo)致學(xué)生僅會以分?jǐn)?shù)看分?jǐn)?shù)，而不太具備分析具體問題中分?jǐn)?shù)所表示的意義這一能力。

二、分?jǐn)?shù)的意義之教材解讀

（一）不同版本教材的比較與分析

為了更好地教學(xué)分?jǐn)?shù)的概念，筆者查閱了大量的教材，發(fā)現(xiàn)有很多版本教材的教學(xué)順序都與現(xiàn)行人教版教材較為一致，先由“率”引入教學(xué)，再由“率”過渡到“量”的教學(xué)。臺灣版的教材卻以不同的方式開展“分?jǐn)?shù)的意義”的教學(xué)，它由“量”的意義引入，在分?jǐn)?shù)的大小比較、真假分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系等教學(xué)中，都是基于“量”的意義開展。

基于臺灣版教材的編排，給我們的啟示是分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)也可以是一個由“量”到“率”的過程。筆者認(rèn)為，不管由“率”的教學(xué)引入“量”，還是“量”的教學(xué)引入“率”，都不可忽視分?jǐn)?shù)意義中“量”“率”的聯(lián)系，兩者之間應(yīng)相輔相成、互補(bǔ)內(nèi)化。

（二）教材內(nèi)容編排的比較與分析

人教版教材中，“分?jǐn)?shù)的意義”一課的學(xué)習(xí)并非五年級開始的獨(dú)立內(nèi)容，早于二年級開始的平均分就為分?jǐn)?shù)意義的理解打下基礎(chǔ)，直至六年級“比的教學(xué)”也是以分?jǐn)?shù)意義的理解為支撐點(diǎn)。因此，理清分?jǐn)?shù)知識的脈絡(luò)，了解分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)的序列，讀懂教材的編排才能讓分?jǐn)?shù)意義的理解更深入、更多元。

教材涉及的以上教學(xué)內(nèi)容并非是孤立存在的，教學(xué)中不能僅以內(nèi)容的教學(xué)為立足點(diǎn)，只要學(xué)生能將內(nèi)容知識點(diǎn)理解即可，其他方面無須涉及過多。教材的編排是螺旋上升、不斷促進(jìn)、持續(xù)發(fā)展的過程，盡管每個教學(xué)階段都有各自不同的重點(diǎn)，但這些內(nèi)容之間彼此關(guān)聯(lián)，相互補(bǔ)充，互相滲透，要學(xué)習(xí)好分?jǐn)?shù)的意義，就要對教材有整體把握。

小學(xué)階段分?jǐn)?shù)知識的脈絡(luò)：

三、分?jǐn)?shù)的意義之優(yōu)化教學(xué)策略

基于傳統(tǒng)教學(xué)中遇到的問題及對學(xué)生錯誤原因的分析，筆者查閱資料，比較不同版本教材的教學(xué)方式，理清人教版教材中關(guān)于分?jǐn)?shù)概念的教學(xué)脈絡(luò)，降低學(xué)生起點(diǎn)，優(yōu)化教學(xué)方式，為學(xué)生建構(gòu)立體體驗(yàn)，使學(xué)習(xí)目標(biāo)更貼近學(xué)生、概念建構(gòu)更豐富多元、數(shù)學(xué)模型更深入內(nèi)心，從而讓學(xué)生學(xué)得扎實(shí)、靈活、有效。

（一）降低學(xué)習(xí)起點(diǎn)——讓學(xué)習(xí)目標(biāo)貼近學(xué)生

1.借助情境讓抽象概念具體化

從上述問題可見，學(xué)生對于分?jǐn)?shù)的概念屬性并不清晰。傳統(tǒng)教學(xué)模式下，學(xué)生對于分?jǐn)?shù)這個抽象概念的理解難度較大，且實(shí)際運(yùn)用效果并不理想。

在具體的學(xué)習(xí)情境下，可以將分?jǐn)?shù)中“先分后數(shù)”的概念與歸一問題建立聯(lián)系。首先求出每份量，即對應(yīng)分?jǐn)?shù)中的分?jǐn)?shù)單位;再根據(jù)每份量求出對應(yīng)份數(shù)的具體量，即求出有幾個這樣的分?jǐn)?shù)單位，得到的結(jié)果就是所求的分?jǐn)?shù)。

2.借助模型使數(shù)學(xué)概念多元化

分?jǐn)?shù)意義中的單位“1”既可以表示一個物體，又可以表示多個物體。傳統(tǒng)教學(xué)中，學(xué)生受限于固有思維，僅能將單位“1”想象成一個物體或不超過份數(shù)的多個物體，然而這樣的理解，對于分?jǐn)?shù)概念的掌握顯然是不夠的。因此教學(xué)中，既要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷抽象—具體—抽象的過程，內(nèi)化概念本質(zhì)，拓寬概念屬性，又要在逐步抽象概括中建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。

理解2：對比分析發(fā)現(xiàn)，不論長方形的幾何直觀圖形數(shù)量如何變化，分?jǐn)?shù)的意義只與平均分的分?jǐn)?shù)及表示的分?jǐn)?shù)有關(guān)，與數(shù)量多少無關(guān)。

（二）優(yōu)化教學(xué)方式——讓概念建構(gòu)直觀具體

1.埋下伏筆——指明學(xué)習(xí)方向

本課的引入從學(xué)生的已有知識出發(fā)，回顧目前為止已學(xué)習(xí)的數(shù)，引出整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)三種概念。通過比較三類數(shù)的異同點(diǎn)，指向同樣的數(shù)字，在不同類型的數(shù)中表示的意義不同，整數(shù)用幾個幾表示，小數(shù)用幾個零點(diǎn)幾或零點(diǎn)零幾等表示，那分?jǐn)?shù)可以表示成幾個幾分之一嗎？

這樣教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生感知所有的數(shù)都是由一定的單位組合而成。這無疑給予了分?jǐn)?shù)單位一個新的思考方向，為后續(xù)分?jǐn)?shù)單位的教學(xué)埋下伏筆。

教學(xué)片段：

師：目前為止學(xué)習(xí)過的數(shù)有？

師：他們有什么異同點(diǎn)？

生：都有數(shù)字3，但3表示的意思不一樣。

師：真的有3個嗎？

2.具體運(yùn)算——構(gòu)建分?jǐn)?shù)意義

這里的圖，有不同的層次，即：一個圖形，一條線段，五個物體，十個物體。這樣的設(shè)計(jì)突破了學(xué)生對于分?jǐn)?shù)表示一個物體平均分的認(rèn)知，為后續(xù)教學(xué)奠定了基礎(chǔ)。接著比較四幅數(shù)量不同的圖，引導(dǎo)學(xué)生初步感知分?jǐn)?shù)的意義;再運(yùn)用具體算式表示分?jǐn)?shù)，并結(jié)合具體運(yùn)算理解算理的過程，構(gòu)建分?jǐn)?shù)的意義。

師：想一想1÷5×3表示什么意思？對照圖說一說每一步表示的意思。

3.對比分析——豐富概念本質(zhì)

學(xué)生理解了分?jǐn)?shù)意義中有關(guān)“率”的概念后，再結(jié)合具體情境，用算式表示分?jǐn)?shù)的具體數(shù)量。在學(xué)生困惑同一幅圖可以用兩種不同的算式表示兩種不同的結(jié)果時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生對比兩個不同的算式，從中找出異同點(diǎn)。在尋找異同點(diǎn)的過程中感悟分?jǐn)?shù)意義中“量”“率”的兩個概念。

將“量”的計(jì)算與“率”的計(jì)算一起呈現(xiàn)，不僅能通過對比分析，豐富分?jǐn)?shù)意義的本質(zhì)內(nèi)涵，即分?jǐn)?shù)既可以表示“量”的運(yùn)算，也可以表示“率”的運(yùn)算;還能為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供一種新的理念，指導(dǎo)今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動。

師：比較兩個算式，想一想它們之間有什么異同點(diǎn)？

學(xué)生觀察比較，發(fā)現(xiàn)：

相同點(diǎn)：都是÷5×3，也就是都是平均分成5份，表示其中的3份。

不同點(diǎn)：第一個算式用單位“1”除，除的結(jié)果是分?jǐn)?shù)。

第二個算式用總數(shù)除，除的結(jié)果是具體的數(shù)量。

4.抽象概括——建構(gòu)數(shù)學(xué)模型

學(xué)生對分?jǐn)?shù)的意義有了深層次理解，然而，僅僅這樣的學(xué)習(xí)是不深刻、不靈活的。因此，在將分?jǐn)?shù)意義的抽象概念具體化后，還需將這個由抽象到具體的過程，再次抽象提升，從而內(nèi)化數(shù)學(xué)知識。

上述分?jǐn)?shù)意義的教學(xué)過程中，對于一個整體，我們從數(shù)學(xué)抽象的角度用單位“1”進(jìn)行描述，在具體操作中用長方形的幾何直觀為模型進(jìn)行表示。這個長方形的幾何直觀模型，不管賦予它多少不同的數(shù)量，其所表示的分?jǐn)?shù)意義，僅與它平均分的份數(shù)及所表示的份數(shù)有關(guān)。

（三）建構(gòu)立體體驗(yàn)——讓概念學(xué)習(xí)逐級深入

1.充分體驗(yàn)，建構(gòu)概念模型

像這樣的概念教學(xué)課，很多老師以為枯燥難上，因此課堂教學(xué)中僅用十幾分鐘時(shí)間講解概念，接著以大量的練習(xí)進(jìn)行鞏固內(nèi)化。然而這樣的學(xué)習(xí)，是不深刻的。事實(shí)上，概念教學(xué)中，應(yīng)該給予學(xué)生充分的體驗(yàn)，感受概念的產(chǎn)生、發(fā)展及形成具體過程，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律、構(gòu)建模型。

如“分?jǐn)?shù)的意義”一課中，始終以長方形的幾何直觀為原型，教學(xué)中不斷賦予長方形不同的數(shù)量與意義，引導(dǎo)學(xué)生感受不同數(shù)量、不同意義下長方形原型的“變”與“不變”，這樣的充分體驗(yàn)下，概念的模型在學(xué)生腦中逐漸形成。

2.追本溯源，尋求概念本質(zhì)

概念課的教學(xué)，并不以學(xué)生能熟練背誦概念為教學(xué)的立足點(diǎn)，且知識的掌握，也不以學(xué)生“比較好”的理解概念為落腳點(diǎn)。深刻理解概念、能靈活運(yùn)用概念才是概念課教學(xué)的最終目標(biāo)。要實(shí)現(xiàn)這樣的目標(biāo)，學(xué)生應(yīng)該在課堂教學(xué)中體驗(yàn)概念的產(chǎn)生過程，在不斷的對比中形成概念，再逐步分析理解概念，在抽象概括中內(nèi)化概念，這樣才能將概念教學(xué)落在學(xué)生心里。

如前所述，分?jǐn)?shù)的本質(zhì)就是“先分后數(shù)”，教學(xué)過程中，正式抓住了分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生過程，經(jīng)歷用算式表示分?jǐn)?shù)、理解算理的過程，逐步構(gòu)建分?jǐn)?shù)的概念。

四、結(jié)語

教師在研讀教材，了解學(xué)生起點(diǎn)時(shí)，不能只關(guān)注教材本節(jié)課的“知識點(diǎn)”，還要關(guān)注知識的發(fā)展脈絡(luò)及相關(guān)知識之間的聯(lián)系，更要關(guān)注學(xué)生對于所學(xué)知識的了解、掌握程度。教學(xué)中，我們既要抓住新舊知識之間的聯(lián)系，又要立足于學(xué)生的知識生長點(diǎn)，建構(gòu)分?jǐn)?shù)意義的過程中，要打通“直觀—抽象—直觀”的聯(lián)系，建立幾何直觀、具體運(yùn)算與意義理解的關(guān)聯(lián)，關(guān)注概念的產(chǎn)生、發(fā)展及形成過程，有效引導(dǎo)學(xué)生主動參與“建構(gòu)概念”的全過程，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的意識與良好的數(shù)學(xué)思維方式。

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