胡紅梅

（蘇州科技大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 蘇州 215009）

Yang-Baxter 方程1964 年首次出現(xiàn)在Mecluire J.B[1]的文章中，是由1967 年楊振寧[2]研究δ 函數(shù)作用勢(shì)的一維多體系統(tǒng)引入的Y-算符，以及20 世紀(jì)70 年代初Baxter R.J[3]研究二維統(tǒng)計(jì)模型的時(shí)候提出的自洽關(guān)系而形成的。Yang-Baxter 方程是指滿足形如R12R13R23＝R23R13R12等式的方程，其中記號(hào)Rij表示在張量積的第i 個(gè)和第j 個(gè)分量上放置相應(yīng)的方程的解，其余分量是單位元素。Yang-Baxter 方程一經(jīng)提出后，其理論就迅速得到了充分的發(fā)展，且引發(fā)了理論物理與數(shù)學(xué)許多重要的分支，例如扭結(jié)理論、可積系統(tǒng)理論、霍普夫代數(shù)的表示理論等。它一直是當(dāng)前理論物理與數(shù)學(xué)研究的一個(gè)熱點(diǎn)，被眾多的數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家所關(guān)注[4-6]。如何給出一個(gè)方程的解集本身是一個(gè)很有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題[7]，因此，對(duì)于Yang-Baxter 方程如何尋求它所有的可逆解一直都在被研究，其可逆解又被稱為R-矩陣。同樣與代數(shù)表示理論的很多分支、理論物理等有著密切聯(lián)系的量子包絡(luò)代數(shù)Uq（g）的表示恰恰給出了Yang-Baxter 方程的很多可逆解[8]。這使得Yang-Baxter 方程的解集問(wèn)題得到了很大的發(fā)展。量子包絡(luò)代數(shù)Uq（g）是復(fù)數(shù)域上有限維單李代數(shù)g的普遍包絡(luò)代數(shù)U（g）的量子化。它的擬三角結(jié)構(gòu)決定了其表示范疇不再是普通的張量范疇，而是結(jié)構(gòu)更豐富的辮子張量范疇。因此，作為Yang-Baxter 方程的解集的很大一部分，R-矩陣已經(jīng)作為一個(gè)很重要的分支在很多文章中進(jìn)行了研究。這類R-矩陣分為兩大類：（1）可對(duì)角型，即對(duì)應(yīng)的辮子矩陣是可對(duì)稱矩陣；（2）不可對(duì)角型，對(duì)應(yīng)的辮子矩陣是不可對(duì)稱化矩陣。但是大部分R-矩陣是很難被判別屬于哪一種類型。文中探究了從形變量子包絡(luò)代數(shù)表示出發(fā)來(lái)研究R-矩陣類型的方法。特別地，通過(guò)形變A 型量子包絡(luò)代數(shù)Uq（sI2）的4 維的spin 表示，證明一個(gè)42×42的R-矩陣是對(duì)角型的。同時(shí)在文末，簡(jiǎn)述了可對(duì)角型R-矩陣在表示的譜分解中的應(yīng)用。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[9]A 型李代數(shù)sI2的單根為α1，且（α1，α1）=2，對(duì)應(yīng)的量子包絡(luò)代數(shù)Uq（sI2）是由E1，F(xiàn)1，K1生成的，且滿足關(guān)系式

其中參數(shù)q 是一個(gè)復(fù)數(shù)，且滿足ql≠1，對(duì)于任意的正整數(shù)l。文獻(xiàn)[9]中給出了量子包絡(luò)代數(shù)Uq（sI2）的擬三角結(jié)構(gòu)，即廣義的R－矩陣是

下文中，記號(hào)TV表示是量子包絡(luò)代數(shù)Uq（sI2）的4 維spin 表示。在文獻(xiàn)[10]中通過(guò)權(quán)的大小給出了表示空間V 的一組有序基xi，i=1，2，3，4，再根據(jù)

可得出4 維spin 表示對(duì)應(yīng)的42×42階R-矩陣，其中與表示TV相關(guān)的算子BVV的定義是BVV（xi?xj）=q（μi，μj）（xi?xj），μi是基xi的權(quán)值。在文獻(xiàn)[10]中這個(gè)R-矩陣對(duì)應(yīng)的辮子矩陣PR 不是對(duì)稱矩陣，從這個(gè)角度容易誤導(dǎo)去認(rèn)為這個(gè)R-矩陣是不可對(duì)角型。因此引發(fā)出一個(gè)問(wèn)題：這個(gè)R-矩陣對(duì)應(yīng)的辮子矩陣能否相似到一個(gè)對(duì)稱矩陣？如果單純從矩陣的角度出發(fā)，去找一個(gè)過(guò)渡矩陣證明這個(gè)R-矩陣的辮子矩陣PR 能相似到一個(gè)對(duì)稱矩陣，從而來(lái)證明此R-矩陣是可對(duì)角型是不容易的。文中從量子包絡(luò)代數(shù)的表示出發(fā)，具體通過(guò)對(duì)Uq（sI2）的4 維spin 表示進(jìn)行形變的方法，證明上面的R-矩陣是屬于對(duì)角型的。為了方便起見(jiàn)，下文中用記號(hào)R*來(lái)表示這個(gè)R-矩陣。

2 重要定理

定理1矩陣R*是可對(duì)角型的R-矩陣。

證明首先對(duì)A 型量子包絡(luò)代數(shù)Uq（sI2）的4 維的spin 表示進(jìn)行如下的形變，將這個(gè)表示仍記為T(mén)V，其中V 是以v1，v2，v3，v4為一組基的4 維的表示空間。用矩陣的語(yǔ)言具體表達(dá)出這個(gè)表示的作用如下

由此可見(jiàn)雖然廣義的R－矩陣（1）是有無(wú)限項(xiàng)和，但是當(dāng)對(duì)應(yīng)到具體的spin 表示的作用時(shí)，只有有限項(xiàng)的和是有效的。下文中，根據(jù)廣義的R－矩陣（1）和表達(dá)式（2）來(lái)具體計(jì)算它所對(duì)應(yīng)的表示矩陣，將其記為RV。

因此，可得矩陣RV第（11）列只存在一個(gè)非零元，其位于第（11）行，其余元素均為0。

因此，可得矩陣RV第（12）列存在兩個(gè)非零元，分別位于第（12）行和第（21）行，其余元素均為0。

由此，可得矩陣RV第（13）列存在三個(gè)非零元，分別位于第（13）行、第（22）行和第（31）行，其余元素均為0。

由此，可得矩陣RV第（14）列存在四個(gè)非零元，分別位于第（14）行、第（23）行、第（32）行和第（41）行，其余元素均為0。同理，根據(jù)表示的作用可得矩陣RV中其余列的非零元素的表達(dá)式。從而可得矩陣RV具體為

可見(jiàn)形變后的新表示下對(duì)應(yīng)的R-矩陣是下三角的矩陣，且和形變前的R-矩陣R*是相似關(guān)系。再根據(jù)，，可得R-矩陣RV對(duì)應(yīng)的辮子矩陣PRV為

可見(jiàn)PRV是一個(gè)對(duì)稱矩陣，因此，在表示的形變下得證了Uq（sI2）的4 維spin 表示對(duì)應(yīng)的R-矩陣R*是可對(duì)角型的。

作為一個(gè)很重要的應(yīng)用，根據(jù)此定理可得出其辮子矩陣PRV極小多項(xiàng)式是不存在重根的，這等價(jià)證明了量子包絡(luò)代數(shù)Uq（sI2）的spin 表示是可以進(jìn)行譜分解。有了譜分解以后，表示空間就可以進(jìn)行直和分解，從而得到互不同構(gòu)的子表示，以及原來(lái)表示到其子表示的投射覆蓋等一系列的結(jié)論。同時(shí)在量子包絡(luò)代數(shù)表示論中，具體譜分解的知識(shí)可以進(jìn)一步去考慮量子包絡(luò)代數(shù)的遞歸構(gòu)造，以及一些物理上的應(yīng)用，具體可參見(jiàn)文獻(xiàn)[11－12]等。