張名揚(yáng)，張開林，姚遠(yuǎn)

(西南交通大學(xué) 牽引動力國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610031)

0 引言

等截面圓柱形螺旋壓縮彈簧因結(jié)構(gòu)簡單可靠、變形范圍寬泛等優(yōu)點(diǎn)廣泛應(yīng)用于儀表、電器、交通運(yùn)輸?shù)刃袠I(yè)[1-3]。在軌道交通領(lǐng)域，螺旋彈簧被大量應(yīng)用在機(jī)車車輛的懸掛裝置上，起緩和因輪對行徑線路不平順、軌縫、道岔、鋼軌磨耗和不均勻下沉以及車輪不圓、軸頸偏心等原因引起的振動和沖擊[4]。螺旋彈簧的動態(tài)傳遞特性顯著影響著列車運(yùn)行的安全性、平穩(wěn)性和舒適性，準(zhǔn)確分析其剛度特性是保證動力學(xué)計(jì)算精度的前提。

輪軌沖擊振動對列車運(yùn)行速度十分敏感。列車在高速運(yùn)營時，輪軌間動作用力顯著增強(qiáng)，激勵頻率范圍變寬[5]。激勵產(chǎn)生的中高頻振動傳遞到轉(zhuǎn)向架及車體，造成零部件的振動特性與低速時大不相同[6]。當(dāng)列車側(cè)向通過道岔時，劇烈的輪軌橫向沖擊將導(dǎo)致十分復(fù)雜的輪岔動態(tài)相互作用，引起車輛較強(qiáng)的橫向振動，導(dǎo)致較大的脫軌系數(shù)，對行車安全產(chǎn)生不利影響。彈簧的橫向剛度關(guān)系到列車曲線通過性和橫向運(yùn)動性能，而振動頻率又會影響彈簧動態(tài)傳遞特性[7]?，F(xiàn)有文獻(xiàn)大多僅對彈簧垂向剛度進(jìn)行分析，而橫向動剛度的研究近似空白，故探究不同激勵頻率下螺旋彈簧橫向剛度特性是具有理論價值和工程意義的。

本文對螺旋彈簧的橫向靜剛度及動剛度進(jìn)行有限元分析。依據(jù)計(jì)算結(jié)果，對Krettek剛度公式進(jìn)行修正，提高公式的計(jì)算精度。改變加載條件和彈簧參數(shù)，施加橫向正弦位移激勵進(jìn)行頻變分析，探究影響彈簧動態(tài)傳遞特性的因素。

1 螺旋彈簧橫向靜剛度

1.1 Krettek剛度公式

傳統(tǒng)的螺旋彈簧橫向靜剛度計(jì)算一般是將彈簧簡化成等截面彈性直桿[8]。定義彈簧等效彎曲剛度B、等效剪切剛度S、垂向靜剛度kv分別為：

(1)

(2)

(3)

式中：d為簧絲直徑；D為彈簧中徑；n為彈簧有效圈圈數(shù)；E為彈性模量；μ為泊松比；H為彈簧工作高度，H=H0-fv-d，fv為彈簧垂向壓縮量，H0為彈簧自由高度。

假定彈簧受橫向載荷變形過程中上、下端面始終保持水平，如圖1所示。由于結(jié)構(gòu)具有對稱性，零彎矩點(diǎn)為彈簧中點(diǎn)，取二分之一為研究對象[9]。建立彈簧變形的微分方程，帶入邊界條件，得到彈簧橫向靜剛度kl的理論值為

(4)

其中

(5)

式中Pv為垂向載荷，Pv=kv×fv。

KRETTEK O等[10]引入修正因子α來考慮彈簧fv和H0對橫向靜剛度的影響。Krettek剛度公式為

klk=αkl=(afv/H0+b)×kl

(6)

式中a、b為修正系數(shù)。

圖1 橫向變形示意圖

1.2 有限元分析

為探究影響彈簧橫向靜剛度的因素，構(gòu)建兩端磨平的螺旋彈簧有限元計(jì)算模型。支撐區(qū)域由于形狀相對復(fù)雜，采用SOLID95號單元；中間有效區(qū)域采用SOLID45號單元。為正確模擬實(shí)際工作狀況，將彈簧上、下端面所有節(jié)點(diǎn)分別剛性耦合至各自的中心點(diǎn)A點(diǎn)及B點(diǎn)。在B點(diǎn)施加固定端約束，在A點(diǎn)施加垂向及橫向位移載荷。通過靜力分析，在ANSYS軟件的POST26后處理模塊中提取橫向支反力，除以橫向位移量fl，即可得到橫向靜剛度kl的有限元分析結(jié)果。

肖緋雄[11]發(fā)現(xiàn)橫向載荷的加載方向會對螺旋彈簧垂向靜剛度kv產(chǎn)生影響。為探究加載方向?qū)l是否有影響，在受載端以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖2所示的坐標(biāo)系。y軸與受載端切口平面S1的法向相平行，且向外為正。通過改變有效圈和支撐圈的圈數(shù)，調(diào)整受載端切口平面S1和約束端切口平面S2的相對位置，將兩切口平面所夾角度θ分為4個區(qū)間。通過有限元計(jì)算，定性分析不同加載方向下kl隨fl和fv的變化趨勢，如表1所示。

圖2 平面直角坐標(biāo)系

表1 切口平面不同位置橫向靜剛度變化趨勢

當(dāng)載荷沿+x向加載，夾角θ在0°～270°范圍內(nèi)時，kl隨著fl的增加而增加；當(dāng)θ在270°～360°范圍內(nèi)時，kl隨fl的增加而減小。沿-x向加載有相反的規(guī)律。

當(dāng)載荷沿+y向加載，夾角θ在0°～180°和270°～360°范圍內(nèi)時，kl隨著fl的增加而增加；當(dāng)θ在180°～270°范圍內(nèi)時，kl隨fl的增加而減小。沿-y向加載有相反的規(guī)律。

同時，kl隨著fv的變化趨勢與隨著fl的變化趨勢相反。

以彈簧兩切口平面夾角θ在270°～360°內(nèi)的模型為例，定量分析橫向載荷加載方向?qū)l的影響，如圖3所示。依次改變fl和垂向壓縮量fv，繪制kl的變化曲線，如圖4、圖5所示。對于無垂向壓縮的狀態(tài)，無論橫向載荷加載方向如何，kl均不隨fl發(fā)生改變，沿x軸、y軸加載時的剛度值分別為386.65N/mm和377.62N/mm；對于存在垂向壓縮的狀態(tài)，kl隨fl的增加呈負(fù)指數(shù)次的增加/減小，且最終都趨于無垂向壓縮時的剛度值。當(dāng)fv遠(yuǎn)大于fl時，彈簧垂向變形占主導(dǎo)地位，故kl隨fv的增加呈線性增加/減小，且隨著fl的增加，kl變化速度減緩。

圖3 不同加載方向橫向靜剛度變化曲線

圖4 橫向靜剛度隨橫向位移量變化曲線

圖5 橫向靜剛度隨垂向壓縮量變化曲線

由上述分析可知，螺旋彈簧受載端的fl和fv都會對彈簧kl產(chǎn)生影響，而Krettek剛度公式僅考慮了fv的影響，故其存在一定偏差。

1.3 橫向靜剛度修正公式

在Krettek剛度公式的基礎(chǔ)上，綜合考慮fv和fl對kl的影響，對參數(shù)α進(jìn)一步優(yōu)化，建立三參數(shù)模型：

(7)

式中a1-a3為修正系數(shù)。

為驗(yàn)證修正公式(7)的普遍適用性，建立不同參數(shù)的螺旋彈簧模型。通過對有限元計(jì)算結(jié)果的擬合，求得各自的橫向靜剛度修正系數(shù)，如表2所示。對比發(fā)現(xiàn)，對于沿同一軸正、反兩個方向加載的情況，修正系數(shù)中只有系數(shù)a1存在著正負(fù)的差別。螺旋彈簧在鐵路車輛中均對稱布置于構(gòu)架兩側(cè)，為消除橫向位移量對橫向總剛度的影響，右側(cè)彈簧可由左側(cè)彈簧旋轉(zhuǎn)180°后安裝。

將不同fv和fl帶入修正后的橫向靜剛度公式(7)，與有限元法相比較的計(jì)算誤差見表3。顯然，公式(7)的計(jì)算精度和穩(wěn)定性均優(yōu)于現(xiàn)有方法。

表2 彈簧幾何參數(shù)及修正系數(shù)

表3 橫向剛度修正公式計(jì)算誤差絕對值 單位：N·mm-1

2 螺旋彈簧橫向動剛度頻變特性

2.1 橫向動剛度變化趨勢

中高頻激勵下，螺旋彈簧自身振動加劇，彈簧各點(diǎn)的運(yùn)動情況變得非常復(fù)雜[12]。特別是當(dāng)激勵頻率較高時，剛度變化較大，振動傳遞特性與低頻激勵下存在較大差異[13]。為研究彈簧在中高頻激勵下的動態(tài)響應(yīng)，需進(jìn)行頻變分析。引入動剛度kd來描述彈簧動態(tài)傳遞特性。由于螺旋彈簧在中高頻激勵下振動波動傳遞效應(yīng)的存在，固定端和受載端由彈簧變形而產(chǎn)生的反力不同，將動剛度kd進(jìn)一步分為點(diǎn)剛度kdP和傳遞剛度kdT[14]：

(8)

式中FWP、FWT分別為彈簧受到幅值為um的正弦位移激勵后，受載端和固定端的反作用力幅值。

在B點(diǎn)施加全約束，在A點(diǎn)施加垂向預(yù)壓縮量fv及橫向正弦位移激勵ul(t)。通過有限元計(jì)算，在ANSYS軟件的POST26后處理模塊中提取橫向支反力FWP和FWT，除以um，即可得到kdP和kdT。

ul(t)=umsin(ωt)=umsin(2πft)

(9)

式中ω、f為激勵頻率。

選取表2中的模型1，設(shè)置加載條件：fv為50mm，橫向位移激勵沿+x向加載，um為5mm，材料的阻尼比為0.05。進(jìn)行頻變分析，繪制kd隨f變化曲線(簡稱kd-f曲線)，如圖6所示。當(dāng)f較低時，kd基本等于靜剛度；當(dāng)f位于彈簧各階橫向共振頻率附近時，kdP急劇下降，出現(xiàn)谷值；高于共振頻率后，kd升高并出現(xiàn)峰值。如此，隨著f的提高，kd的谷值、峰值交替出現(xiàn)，總體呈波動上升的趨勢。

圖6 橫向動剛度隨激勵頻率變化曲線

2.2 橫向動剛度影響因素

為探究影響螺旋彈簧橫向動態(tài)傳遞特性的因素，將2.1節(jié)中的模型1設(shè)為對照組，加載條件為激勵加載方向?yàn)閤軸向，垂向預(yù)壓縮量為50mm，阻尼比為0.05。每次只改變模型中的1個參數(shù)，通過有限元計(jì)算，進(jìn)行頻變分析，繪制kd-f曲線。不同參數(shù)對彈簧橫向動剛度的影響效果如表4所示，表中的頻率是動剛度出現(xiàn)峰值和谷值點(diǎn)所對應(yīng)的頻率。

表4 彈簧動剛度極值點(diǎn)放大倍數(shù)及對應(yīng)激勵頻率

改變橫向激勵的加載方向，如圖7所示，發(fā)現(xiàn)加載方向僅影響到kd-f曲線峰值段的形狀，對橫向動剛度總體的變化趨勢并無顯著影響。

圖7 不同加載方向橫向動剛度隨激勵頻率變化曲線

改變fv為0mm(無預(yù)壓縮)和70mm的初始狀態(tài)，進(jìn)行有預(yù)應(yīng)力的模態(tài)分析(表5)。隨著fv的增加，各階橫向共振頻率呈逐漸減小的趨勢。施加橫向激勵，進(jìn)行頻變分析，繪制不同fv下的kd-f曲線，如圖8所示。

表5 不同預(yù)壓縮量彈簧橫向共振頻率 單位：Hz

圖8 不同預(yù)壓縮量橫向動剛度隨激勵頻率變化曲線

改變激勵幅值um為10mm和20mm，進(jìn)行頻變分析。發(fā)現(xiàn)不同um下的kd-f曲線高度重合，即激勵幅值并不會影響彈簧的動剛度特性。

改變材料的阻尼比為0.03和0.04，得到不同阻尼下的kd-f曲線，如圖9所示。隨著阻尼比的增大，kd的谷值呈不斷增大，峰值呈不斷減小的趨勢，即提高彈簧材料的阻尼可顯著降低kd的波動幅值。在小阻尼的情況下，阻尼對共振頻率無明顯影響，故阻尼比的改變并不會影響波峰、波谷所對應(yīng)的激勵頻率。

圖9 不同阻尼比橫向動剛度隨激勵頻率變化曲線

3 結(jié)語

為探究等截面圓柱形螺旋壓縮彈簧橫向靜剛度及動剛度特性，建立彈簧有限元計(jì)算模型。靜載下，分析橫向載荷的大小、加載方向及垂向壓縮量對橫向靜剛度的影響，修正橫向靜剛度公式。動載下，依次改變橫向激勵的加載方向、激勵幅值、垂向預(yù)壓縮量和彈簧材料的阻尼等參數(shù)，進(jìn)行頻變分析，繪制橫向動剛度隨激勵頻率變化曲線，分析橫向動剛度的影響因素。結(jié)論如下：

1) 靜載下，彈簧所受的橫向位移量和垂向壓縮量都會對橫向靜剛度產(chǎn)生影響，橫向靜剛度與橫向位移量呈負(fù)指數(shù)次的關(guān)系，與垂向壓縮量呈線性的關(guān)系。修正后的橫向靜剛度公式可綜合考慮上述兩個因素，計(jì)算精度和穩(wěn)定性都有所提高。另外，橫向載荷的加載方向以及螺旋彈簧上、下兩切口平面的相對位置會影響橫向靜剛度的變化趨勢，在工程應(yīng)用中應(yīng)注意這種影響。

2) 動載下，當(dāng)橫向激勵頻率等于彈簧各階共振頻率時，彈簧點(diǎn)剛度急劇下降，出現(xiàn)谷值；高于共振頻率后，動剛度升高出現(xiàn)峰值。如此，隨著激勵頻率的提高，螺旋彈簧橫向動剛度的谷值、峰值交替出現(xiàn)，總體呈波動上升的趨勢。選用阻尼比較高的彈簧材料可以顯著降低橫向動剛度的峰值，減小波動范圍。垂向預(yù)壓縮量及橫向位移激勵的幅值對橫向動剛度基本沒有影響。