魏 璉， 曾慶立,2， 王 森

(1 深圳市力鵬工程結(jié)構(gòu)技術(shù)有限公司， 深圳 518034； 2 深圳大學(xué)土木與交通工程學(xué)院， 深圳 518060)

0 前言

《高層建筑混凝土結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程》(JGJ 3—2010)[1]第8.1.3條指出，框架-剪力墻結(jié)構(gòu)的抗震設(shè)計(jì)方法應(yīng)根據(jù)規(guī)定水平力作用下結(jié)構(gòu)底層框架部分承受的地震傾覆力矩與結(jié)構(gòu)總地震傾覆力矩的比值來確定相應(yīng)的抗震設(shè)計(jì)方法；《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》(GB 50011—2010)[2](簡(jiǎn)稱10抗規(guī))第6.1.3條指出框架-剪力墻結(jié)構(gòu)框架部分的抗震等級(jí)應(yīng)根據(jù)底層框架部分承擔(dān)的地震傾覆力矩與結(jié)構(gòu)總地震傾覆力矩的比值來確定；《高層建筑混凝土結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程》(DBJ 15-92—2013)[3]第9.1.6條指出，當(dāng)?shù)卣鹱饔孟潞诵耐不騼?nèi)筒承擔(dān)的底部?jī)A覆力矩不超過總傾覆力矩的60%時(shí)，在重力荷載代表值作用下，核心筒或內(nèi)筒剪力墻的軸壓比限值可適當(dāng)放松。

關(guān)于框架部分承擔(dān)的傾覆力矩計(jì)算方法，《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》(GB 50011—2001)[4](簡(jiǎn)稱01抗規(guī))提出了抗規(guī)法，給出了計(jì)算公式，在實(shí)際應(yīng)用過程中，不少工程師認(rèn)為采用抗規(guī)法計(jì)算所得框架部分承擔(dān)的傾覆力矩偏小，因而提出了基于結(jié)構(gòu)底部豎向構(gòu)件軸力及彎矩計(jì)算框架部分承擔(dān)的傾覆力矩的軸力法[5-8]?，F(xiàn)行YJK，PKPM，ETABS等常用的計(jì)算軟件均提供了這兩種計(jì)算方法，但軟件給出的兩種方法計(jì)算結(jié)果往往差異較大，使設(shè)計(jì)者決定采用時(shí)感到困惑；在近年不少項(xiàng)目的超限審查中，出現(xiàn)超限專家對(duì)框架部分承擔(dān)的傾覆力矩計(jì)算應(yīng)采用哪一種計(jì)算方法持有不同意見，難以達(dá)成一致結(jié)論。本文對(duì)兩種計(jì)算方法進(jìn)行了分析研究，找到了兩種計(jì)算方法的實(shí)質(zhì)、計(jì)算結(jié)果差別的原因及存在的問題，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步改進(jìn)了軸力法，提出了基于力偶的算法。期盼通過本文的討論能使問題更加清晰，早日使業(yè)界對(duì)這一問題取得共識(shí)。

1 抗規(guī)法的分析

01抗規(guī)第6.1.3條條文說明中給出的框架部分的地震傾覆力矩計(jì)算公式為：

(1)

式中：n為結(jié)構(gòu)層數(shù)；m為第i層框架柱的總根數(shù)；Vij為第i層第j根框架柱在基本振型地震作用下的剪力，10抗規(guī)將“在基本振型地震作用下”改為了“在規(guī)定的水平力作用下”；hi為第i層層高。

(2)

根據(jù)圖2，在各層規(guī)定水平力Fi作用下，連結(jié)柱和剪力墻的梁產(chǎn)生軸力pi(水平力)和剪力Vi，在pi作為外力的作用下，左側(cè)框架部分底部受到的外力矩作用為：

圖1 框架-剪力墻結(jié)構(gòu)受力示意圖

圖2 隔離體示意圖

Mf=pn(hn+hn-1+…+h1)+pn-1(hn-1+…+h1)+…+p1h1

(3)

由于框架部分各層剪力為：

Vci=pi+pi+1+…+pn-1+pn

(4)

將式(4)代入式(3)并整理后，可得：

(5)

同理，圖2右側(cè)剪力墻部分在pi作為外力的作用下，底部的外力矩作用為：

Ms=(F1-p1)h1+(F2-p2)(h2+h1)+…+(Fn-pn)(hn+hn-1+…+h1)

(6)

由于剪力墻部分各層剪力為：

Vwi=(Fi-pi)+(Fi+1-pi+1)+…+(Fn-1-pn-1)+(Fn-pn)

(7)

將式(7)代入式(6)并整理后，可得：

(8)

由以上推導(dǎo)可見，抗規(guī)法的實(shí)質(zhì)是定義框架部分承擔(dān)的傾覆力矩為底層框架及以上隔離體所分配到的層水平外力pi對(duì)底層框架的力矩之和。但根據(jù)圖2，在各層規(guī)定水平外力作用下，連結(jié)框架和剪力墻的梁反彎點(diǎn)處，除產(chǎn)生水平力pi外，尚同時(shí)伴有剪力Vi，在框架部分底部各柱底產(chǎn)生軸力N，軸力N也參與抵抗外力矩。

2 軸力法的分析

由于對(duì)抗規(guī)法存在質(zhì)疑，近年來部分設(shè)計(jì)人員提出了基于結(jié)構(gòu)底部豎向構(gòu)件軸力及彎矩的軸力法，并在一些軟件中得到反映。

圖3 軸力法計(jì)算簡(jiǎn)圖

文獻(xiàn)[5]根據(jù)圖3的三維框架-剪力墻結(jié)構(gòu)計(jì)算模型及其中一榀結(jié)構(gòu)底部的內(nèi)力，提出式(9)的公式計(jì)算框架部分X向承擔(dān)的傾覆力矩作用。

(9)

式中：n為底層框架柱的總數(shù)；Ni為結(jié)構(gòu)底層第i根框架柱在規(guī)定水平力作用下的軸力；xi為第i根框架柱的橫坐標(biāo)；x0為取矩點(diǎn)的橫坐標(biāo)；Mci為第i根框架柱柱底彎矩。

式(9)表明，軸力法與豎向構(gòu)件的位置、軸力、彎矩有關(guān)，其計(jì)算結(jié)果反映的是框架部分的抵抗力矩。從式中也可以看出，軸力法的計(jì)算結(jié)果取決于求矩點(diǎn)位置的確定。對(duì)于軸力法求矩點(diǎn)x0的位置，不同的軟件給出不同的算法。

PKPM，YJK等軟件根據(jù)式(10)計(jì)算得到求矩點(diǎn)x0[5]:

(10)

式中：FNj為底層第j根豎向構(gòu)件的軸力；xj為底層第j根豎向構(gòu)件的橫坐標(biāo)。

該法對(duì)求矩點(diǎn)x0未給出明確的定義。ETABS軟件采用式(11)計(jì)算得到求矩點(diǎn)x0[6]:

(11)

式中Ej，Aj分別為底層第j根豎向構(gòu)件的彈性模量和截面面積。

式(11)表明，ETABS軟件計(jì)算的求矩點(diǎn)為基底截面重心，該點(diǎn)位置取決于構(gòu)件的材料屬性、截面面積及構(gòu)件位置，其計(jì)算方法簡(jiǎn)便，但其計(jì)算結(jié)果與豎向構(gòu)件的受力狀態(tài)無關(guān)，在理論上是不夠嚴(yán)密的。

很顯然，分別把式(10)、式(11)代入式(9)，其計(jì)算結(jié)果是不一致的，即根據(jù)不同的求矩點(diǎn)計(jì)算方法求得的框架部分承擔(dān)的傾覆力矩不同，因此合理的求矩點(diǎn)位置是軸力法應(yīng)該進(jìn)一步解決的問題。

3 力偶法

為了解決軸力法的不足，本文在該法的基礎(chǔ)上提出力偶法。

3.1 組成結(jié)構(gòu)傾覆力矩的三對(duì)力偶

由力的平衡原理可知，結(jié)構(gòu)在水平荷載作用下，各豎向構(gòu)件產(chǎn)生的軸力Ni其和必須是零，即ΣNi=0。該軸力可分解為大小相等、方向相反的一對(duì)拉壓力；根據(jù)理論力學(xué)知識(shí)，力偶是大小相等、方向相反、作用線平行但不重合的一對(duì)力，力偶的大小僅與這對(duì)力的大小及力的作用點(diǎn)距離有關(guān)，由此可見，結(jié)構(gòu)在水平荷載作用下，對(duì)底部產(chǎn)生的傾覆力矩可視為由底部各柱、墻截面的彎矩及由豎向構(gòu)件的軸向拉壓力形成的力偶來共同抗御。

為便于理解，以圖4所示的情形對(duì)傾覆力矩的力偶形式進(jìn)行闡述。圖4中各符號(hào)含義：N為構(gòu)件底部軸力、M為構(gòu)件底部彎矩，下標(biāo)c代表框架柱、w代表剪力墻，上標(biāo)t代表軸力為拉力、c代表軸力為壓力；1,2，…，i，…，n代表樓層。

圖4 力偶法計(jì)算示意圖

如圖4所示，在水平力作用下，框架柱、剪力墻構(gòu)件底部的合彎矩分別為：

(12a)

(12b)

受拉框架柱、受壓框架柱、受拉剪力墻、受壓剪力墻的合拉力、合壓力分別為：

(13a)

(13b)

(13c)

(13d)

(14)

受拉柱合拉力與受壓柱合壓力形成力偶Mo-f(假定拉力為正，壓力為負(fù))：

(15a)

受拉墻合拉力與受壓墻合壓力形成力偶Mo-w：

(15b)

(15c)

結(jié)構(gòu)底層傾覆力矩可表達(dá)為：

Mov=Mo-f+Mo-w+Mo-wf+Mc+Mw

(16)

式(16)即以力偶形式表達(dá)的結(jié)構(gòu)底部總傾覆力矩，式中各力偶作用、各構(gòu)件底部彎矩當(dāng)其方向與外力矩方向相反時(shí)取為正值，反之取負(fù)值。

3.2 對(duì)軸力法求矩點(diǎn)位置的論證

在式(10)的基礎(chǔ)上，假定第k根受拉豎向構(gòu)件(剪力墻及框架柱)軸力為Ftk，第l根受壓豎向構(gòu)件(剪力墻及框架柱)軸力為Fcl，由平衡條件可知：

∑|Ftk|=∑|Fcl|

(17)

又因?yàn)椋?/p>

∑|FNj|=∑|Ftk|+∑|Fcl|=2∑|Ftk|

(18)

受拉構(gòu)件拉力合力點(diǎn)xt為：

(19)

受壓構(gòu)件壓力合力點(diǎn)xc為：

(20)

則受拉合力點(diǎn)與受壓合力點(diǎn)間的中點(diǎn)坐標(biāo)為：

(21)

即有：

(22)

因此，xm=x0。由此可見，式(10)的求矩點(diǎn)為受拉構(gòu)件合力點(diǎn)與受壓構(gòu)件合力點(diǎn)之間的中點(diǎn)。

3.3 力偶法的計(jì)算公式

力偶法的目標(biāo)主要是分別計(jì)算框架部分和剪力墻部分承擔(dān)的傾覆力矩。為此，需將式(16)改寫成式(23)的表達(dá)形式，即：

Mov=Mf+Ms

(23)

式中Mf，Ms分別為底層框架部分、底層剪力墻部分承擔(dān)的傾覆力矩。

圖5 不平衡力偶及軸力示意圖

(24)

各層梁上不平衡剪力之和即底層框架不平衡軸力為：

(25)

(26)

(27)

因此，由力偶形式表達(dá)的底層框架部分承擔(dān)的傾覆力矩可表達(dá)為：

(28)

同理，可得到由力偶形式表達(dá)的底層剪力墻部分承擔(dān)的傾覆力矩可表達(dá)為：

(29a)

(29b)

4 抗規(guī)法、軸力法及力偶法的相互關(guān)系

根據(jù)抗規(guī)法的定義，當(dāng)框架梁兩端為鉸接，即梁無剪力時(shí)，框架柱底合軸力與剪力墻底合軸力均為零，此時(shí)抗規(guī)法、軸力法、力偶法取得一致結(jié)果。

軸力法計(jì)算的框架部分承擔(dān)的傾覆力矩式(9)可改寫為：

(30)

將式(30)與式(28)對(duì)比，力偶法與軸力法的差別在于不平衡力矩部分求矩點(diǎn)不一致，軸力法求矩點(diǎn)定在豎向構(gòu)件合拉力與合壓力的中點(diǎn)，力偶法則嚴(yán)格根據(jù)梁受力反彎點(diǎn)位置進(jìn)行計(jì)算，理論嚴(yán)密合理。當(dāng)為對(duì)稱結(jié)構(gòu)時(shí)，力偶法與軸力法計(jì)算結(jié)果一致；在一般情形下，兩種方法的計(jì)算結(jié)果存在一定的差異。

5 算例

5.1 非對(duì)稱結(jié)構(gòu)算例

圖6為非對(duì)稱的平面框架-剪力墻結(jié)構(gòu)，柱截面為600mm×600mm，梁截面為600mm×300mm，剪力墻墻厚200mm，混凝土強(qiáng)度等級(jí)均為C30。在圖6所示的水平力作用下，分別采用抗規(guī)法、軸力法、力偶法計(jì)算框架部分承擔(dān)的傾覆力矩，計(jì)算結(jié)果詳見表1，非對(duì)稱結(jié)構(gòu)框架部分承擔(dān)的傾覆力矩占比為框架部分承擔(dān)的傾覆力矩占整個(gè)結(jié)構(gòu)的比值，余同。

圖6 非對(duì)稱結(jié)構(gòu)示意圖

非對(duì)稱結(jié)構(gòu)框架部分承擔(dān)的傾覆力矩占比表1

本算例為多跨的非對(duì)稱結(jié)構(gòu)，由表1結(jié)果可見，抗規(guī)法與其他方法計(jì)算結(jié)果相差較大；軸力法與力偶法因求矩點(diǎn)不同，其計(jì)算結(jié)果有一定的差異。

5.2 對(duì)稱結(jié)構(gòu)算例

圖7為框架-剪力墻布置示意圖，呈對(duì)稱結(jié)構(gòu)，構(gòu)件尺寸、材料等級(jí)等同5.1節(jié)案例。在圖7所示的水平力作用下，分別采用抗規(guī)法、軸力法、力偶法計(jì)算框架部分承擔(dān)的傾覆力矩，計(jì)算結(jié)果見表2；由表2可見，對(duì)于多跨的對(duì)稱結(jié)構(gòu)，抗規(guī)法與其他方法計(jì)算結(jié)果依舊相差較大；軸力法、力偶法計(jì)算結(jié)果一致。

圖7 對(duì)稱結(jié)構(gòu)示意圖

對(duì)稱結(jié)構(gòu)框架部分承擔(dān)的傾覆力矩占比表2

6 判別結(jié)構(gòu)體系的層剪力比

文獻(xiàn)[9]的研究表明，結(jié)構(gòu)的傾覆力矩比受組成剪力墻的位置是否靠近質(zhì)心位置關(guān)系較大，同樣截面尺寸的剪力墻靠近平面的兩端時(shí)，其傾覆力矩遠(yuǎn)大于其位置在靠近質(zhì)心時(shí)，這對(duì)于剪力墻數(shù)量不是很多的剪力墻結(jié)構(gòu)體系判別有較大影響；同時(shí)剪力墻結(jié)構(gòu)的傾覆力矩比在結(jié)構(gòu)不同高度樓層是有變化的，僅由結(jié)構(gòu)底層的傾覆力矩比來判斷剪力墻結(jié)構(gòu)或框架-剪力墻結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)體系有時(shí)不夠全面。文獻(xiàn)[9]提出采用結(jié)構(gòu)的層剪力比來對(duì)結(jié)構(gòu)體系進(jìn)行判別，其剪力比的計(jì)算方法可參見文獻(xiàn)[10]。

7 結(jié)論

(1)抗規(guī)法的定義是底層框架及以上隔離體所分配到的層水平外力對(duì)底層框架的力矩之和；軸力法則是在計(jì)算框架部分承擔(dān)的傾覆力矩時(shí)，考慮了結(jié)構(gòu)底部豎向構(gòu)件軸力形成的傾覆力矩的作用，因而兩者定義不同，其計(jì)算結(jié)果必然不同。

(2)采用軸力法計(jì)算結(jié)構(gòu)底部豎向構(gòu)件軸力形成抵抗外傾覆力矩時(shí)，PKPM采用的求矩點(diǎn)位置在受拉構(gòu)件合軸力與受壓構(gòu)件合軸力作用點(diǎn)間距的中點(diǎn)，與結(jié)構(gòu)實(shí)際受力狀況不符。本文在軸力法的基礎(chǔ)上分析了柱、墻底部軸力形成的三對(duì)力偶作用，并根據(jù)力偶與求矩點(diǎn)位置無關(guān)這一特性提出了力偶法，它與軸力法的區(qū)別在于框架柱底合軸力與剪力墻底合軸力組成力偶的分配，軸力法求矩點(diǎn)定在豎向構(gòu)件合拉力與合壓力的中點(diǎn)，力偶法則嚴(yán)格根據(jù)梁受力反彎點(diǎn)位置進(jìn)行計(jì)算，理論嚴(yán)密合理。當(dāng)為對(duì)稱結(jié)構(gòu)時(shí)，力偶法與軸力法計(jì)算結(jié)果一致。

(3)當(dāng)連梁框架柱與剪力墻梁兩端鉸接，梁無剪力時(shí)，軸力法與力偶法由柱底與剪力墻底合軸力組成的力偶為零，此時(shí)抗規(guī)法、軸力法、力偶法計(jì)算結(jié)果相同。

(4)本文以上論述表明抗規(guī)法與軸力法、力偶法的差別源于其對(duì)框架部分承擔(dān)傾覆力矩的定義不同，不宜簡(jiǎn)單的結(jié)論孰是孰非。但從力學(xué)分析的角度看，力偶法更符合力矩計(jì)算的要求。經(jīng)將軸力法改進(jìn)完善后的力偶法可供工程界參考使用。

(5)由結(jié)構(gòu)底層的傾覆力矩比來判斷剪力墻結(jié)構(gòu)或框架-剪力墻結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)體系不夠全面，建議補(bǔ)充剪力比作為判別條件之一。