安徽省無為第二中學(xué) 鄭天明

隨著素質(zhì)教育的不斷深入和推廣，教師的教學(xué)方式和教育理念產(chǎn)生了巨大的變化，從致力于引導(dǎo)學(xué)生熟練掌握解題方法轉(zhuǎn)化為幫助學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)思維，“授人以魚不如授人以漁”，從學(xué)生長遠(yuǎn)發(fā)展的角度來看，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維比教育學(xué)生解決有限的數(shù)學(xué)問題更加重要。

一、發(fā)散性思維

與其他思維能力相比，發(fā)散性思維的顯著特征表現(xiàn)如下：第一，流暢性。發(fā)散性思維需在較短時間內(nèi)產(chǎn)生多種思維觀念并快速適應(yīng)新思想，流暢性主要反映的是發(fā)散思維能力的數(shù)量和速度等特征。第二，變通性。發(fā)散性思維需要擺脫腦海中現(xiàn)有的思維框架，開拓新的思維方向來思索和探究問題，如橫向類比、觸類旁通、跨域轉(zhuǎn)化等等，通過將思維向不同方向進行擴散來獲取多種解題思路。第三，獨特性。發(fā)散性思維會使人們采用不同于常規(guī)的問題解決方式，因而具備一定的獨特性。

二、具體培養(yǎng)策略

1.一題多變

圖1

圖2

圖3

2.一題多解

一題多解是發(fā)散性思維中變通性特征的體現(xiàn)，數(shù)學(xué)教師在針對教材內(nèi)容中一些具有代表性意義的數(shù)學(xué)題目進行講解時，需要引導(dǎo)學(xué)生充分運用所學(xué)知識進行發(fā)散性思維，從多個角度來論證同一論點，通過這種方式來培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維中的變通性。例如：“如圖4所示，在△ABC中，AB=AC，D是BC上一點，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，BG是AC邊上的高，求證：DE+DF=BG。”針對這一幾何問題，教師就可以先讓學(xué)生分析題目中的已知條件，之后再向?qū)W生提出問題：該數(shù)學(xué)題目屬于哪類幾何證明題？應(yīng)用哪種幾何證明方法進行證明？如何添加輔助線？需要用到什么數(shù)學(xué)知識點？在提出問題之后，教師可組織學(xué)生針對該數(shù)學(xué)題目進行小組討論，一一解答上述問題，即該問題屬于幾何證明題中的線段和差問題，應(yīng)用截長補短法進行證明，過D點作BG的垂線DH，利用全等三角形和矩形等知識點來逐步完成證明。

圖4

當(dāng)學(xué)生按照常規(guī)解題思路完成對該數(shù)學(xué)題目的解答后，教師可以啟發(fā)學(xué)生探究該題目的其他證明方法，如：輔助線還有其他作法嗎？啟發(fā)學(xué)生通過其他方式來解決數(shù)學(xué)問題，過B點作FD的垂線與延長線交于點K，沿用全等三角形和矩形的知識點可完成證明。再例如，教師可向?qū)W生提問：DE、DF、BG是△ABD、△ACD、△ABC的什么？當(dāng)學(xué)生回答是三角形的高時，再進一步向?qū)W生提問：三角形的高與三角形的什么有關(guān)？學(xué)生答“面積”。教師繼續(xù)向?qū)W生提問：這道幾何證明題可以用面積法論證嗎？通過引導(dǎo)啟發(fā)的方式，讓學(xué)生從割補思想的角度利用面積法來證明。除此之外，教師還可以繼續(xù)讓學(xué)生發(fā)散思維：△BDE、△CDF和△BCG都屬于什么類型的三角形呢？學(xué)生回答“直角三角形”。教師繼續(xù)提問：∠ACB和∠ABC之間存在什么數(shù)量關(guān)系呢？學(xué)生回答“∠ACB＝∠ABC”。教師提問：直角三角形的角和邊存在怎樣的關(guān)系？學(xué)生回答“三角函數(shù)關(guān)系”，接著教師可引導(dǎo)學(xué)生利用三角函數(shù)的知識點來證明該數(shù)學(xué)題目。

在整個解題的過程中，教師循序漸進地引導(dǎo)學(xué)生合理運用多種思維方式來解決同一數(shù)學(xué)問題，尋求一題多解，開拓學(xué)生的解題思路，從而有效地培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散性思維。

3.創(chuàng)新解法

創(chuàng)新解法是發(fā)散性思維中獨特性特征的體現(xiàn)，在初中數(shù)學(xué)題目中，不乏一些條件隱蔽且構(gòu)思巧妙的題目，針對這些題目，教師可在學(xué)生能夠熟練掌握常規(guī)解題思路的基礎(chǔ)上，帶領(lǐng)其積極探尋一些非常規(guī)的解題方法，如構(gòu)造法、數(shù)形結(jié)合法、代換法等等，通過對創(chuàng)新解法的探究，可以有效地提高學(xué)生的發(fā)散性思維能力。例如：“若y=|x+2|+|x+1|+|x-1|+|x+2|，求當(dāng)x取何值時，y恰好為最小值？最小值為多少？”教師首先帶領(lǐng)學(xué)生對該數(shù)學(xué)問題進行分析：這道題目想要考查的是哪個數(shù)學(xué)知識點？學(xué)生首先想到的是該題目考查的是絕對值的知識點，常規(guī)的解題思路為根據(jù)絕對值的定義對不同區(qū)間進行分類討論，得出一個分段函數(shù)，在此基礎(chǔ)上求取最小值。這種常規(guī)的解題思路雖然可以解決該數(shù)學(xué)問題，但相對來說過程較為復(fù)雜，因此，教師可引導(dǎo)學(xué)生思考是否有其他非常規(guī)的解題思路，若學(xué)生未能想到創(chuàng)新解法，則教師可以試探性地引導(dǎo)學(xué)生思考絕對值的幾何定義，并對該定義進行適當(dāng)推廣，|x|的幾何定義為x在數(shù)軸上的對應(yīng)點與原點O的距離，將|x|換一種表達(dá)方式，即|x-0|，其中0所對應(yīng)的則是坐標(biāo)軸中的原點O，在此基礎(chǔ)上進一步推廣|x-m|，其幾何意義則可以理解為x與m在數(shù)軸上的距離，由此可得，y可以表示為x在數(shù)軸上分別與-2、-1、1、2之間的距離之和，因為x可以為數(shù)軸上的任意一點，因此我們可以判斷出當(dāng)-1≤x≤1時，y值最小，且最小值為6。

對于一道簡單的數(shù)學(xué)題目而言，創(chuàng)新解題方法，積極引導(dǎo)學(xué)生從非常規(guī)的角度來分析和解決數(shù)學(xué)問題是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維的重要方式，這樣不僅可以讓學(xué)生學(xué)會從新角度去解決問題，用新觀念去看待問題，鍛煉學(xué)生的思維靈活性，同時還可以幫助學(xué)生樹立正確的數(shù)學(xué)思維，有利于克服思維定式對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的束縛和限制，強化教學(xué)效果。