賈 山，周向華，張 勝，趙建華，陳金寶

（1.南京航空航天大學(xué)航天學(xué)院 南京，211106）（2.深空星表探測(cè)機(jī)構(gòu)技術(shù)工信部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 南京，211106）（3.航天進(jìn)入減速與著陸技術(shù)實(shí)驗(yàn)室 南京，211106）

引言

未來(lái)的人類深空星表探測(cè)將越來(lái)越頻繁。在月球探測(cè)領(lǐng)域，中國(guó)探月工程在實(shí)現(xiàn)“繞、落、回”三步走之后，將繼續(xù)進(jìn)行“載人登月”和“月球基地建設(shè)”等任務(wù)。美國(guó)重啟Artemis 登月計(jì)劃，并以建立月球基地供人類長(zhǎng)期駐留為最終目標(biāo)［1］。在火星探測(cè)領(lǐng)域，中國(guó)、美國(guó)、阿聯(lián)酋已于2020 年先后發(fā)射火星探測(cè)器，并將在2021 年到達(dá)火星開(kāi)展后續(xù)探測(cè)活動(dòng)。這些任務(wù)中，星表著陸是關(guān)鍵環(huán)節(jié)，決定了相關(guān)任務(wù)的成敗。目前，著陸器均采取傳統(tǒng)腿足式著陸緩沖裝置與固定式著陸的組合，即著陸時(shí)姿態(tài)無(wú)法調(diào)整，著陸后位置無(wú)法移動(dòng)，例如美國(guó)阿波羅計(jì)劃、前蘇聯(lián)登月計(jì)劃、中國(guó)探月工程等。這種組合與輪式巡視器相結(jié)合的方式存在著一定局限性：①被動(dòng)式著陸緩沖不僅難以保證各著陸腿緩沖進(jìn)程的統(tǒng)一，且對(duì)著陸點(diǎn)選擇和著陸過(guò)程控制精度要求較為苛刻，同時(shí)難以在執(zhí)行返回式任務(wù)時(shí)為上升器創(chuàng)造最佳的起飛姿態(tài)；②探測(cè)范圍的可擴(kuò)展性不足，傳統(tǒng)著陸器搭載巡視器的探測(cè)方式受體積、能源以及通信等各方面的制約，可探測(cè)范圍局限于著陸器周邊的有限區(qū)域內(nèi)，且往返式的探測(cè)路線存在較大的重復(fù)性；③對(duì)月面環(huán)境適應(yīng)性較差，為保證著陸安全，著陸點(diǎn)要求盡可能位于地勢(shì)較為平坦的區(qū)域，該區(qū)域基巖物質(zhì)出露較少，勘探難度較大，很大程度上限制了任務(wù)的科學(xué)回報(bào)率；④對(duì)于載人探月及星表基地建設(shè)等任務(wù)適用性有限，在載人探月任務(wù)中，如果緩沖后的著陸姿態(tài)不是水平的，將會(huì)導(dǎo)致很多不便，且被動(dòng)式的自平衡機(jī)構(gòu)又會(huì)導(dǎo)致著陸器構(gòu)型復(fù)雜，降低其著陸緩沖過(guò)程的安全性與可靠性，在星表基地建設(shè)任務(wù)中，傳統(tǒng)著陸器無(wú)法承擔(dān)物資轉(zhuǎn)運(yùn)、人員運(yùn)輸?shù)裙ぷ?。由此可?jiàn)，兼具著陸緩沖和星表移動(dòng)等功能的著陸器在未來(lái)深空星表探測(cè)領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用價(jià)值。

為此，筆者提出了一種可移動(dòng)六足著陸器，通過(guò)在主/輔緩沖支柱中集成主動(dòng)驅(qū)動(dòng)功能的方式，實(shí)現(xiàn)了腿足式著陸緩沖機(jī)構(gòu)的吸能/驅(qū)動(dòng)一體化，可為未來(lái)開(kāi)展多點(diǎn)位、大范圍的星表探測(cè)提供一種切實(shí)可行的解決方案。為保證所設(shè)計(jì)可移動(dòng)著陸器腿足機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過(guò)程的平穩(wěn)可靠，需對(duì)其驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行規(guī)劃，并以時(shí)間‐急動(dòng)度最優(yōu)為目標(biāo)進(jìn)行相關(guān)軌跡的優(yōu)化，從而使得各驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)具有平穩(wěn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程和較短的行程時(shí)間。

在運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃方面，Zhou 等［2］提出了一種著陸移動(dòng)裝置的最優(yōu)時(shí)間‐急動(dòng)度軌跡規(guī)劃方法，并采用自適應(yīng)遺傳算法對(duì)軌跡進(jìn)行了優(yōu)化，得到了連續(xù)可靠的軌跡。Li 等［3］提出了一種高速摘放并聯(lián)機(jī)器人的平滑軌跡規(guī)劃方法，對(duì)操作空間軌跡進(jìn)行了規(guī)劃，但未對(duì)關(guān)節(jié)空間進(jìn)行軌跡優(yōu)化。Huang 等［4］研究了工業(yè)機(jī)器人的最優(yōu)時(shí)間‐急動(dòng)度軌跡規(guī)劃方法，應(yīng)用GSGA‐Ⅱ多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)對(duì)時(shí)間和急動(dòng)度進(jìn)行優(yōu)化，但未分別考慮變量對(duì)時(shí)間、急動(dòng)度的影響。Abu‐Dakka 等［5］提出了一種求解復(fù)雜環(huán)境下最優(yōu)時(shí)間和無(wú)碰撞軌跡的方法，說(shuō)明了除總行程時(shí)間的優(yōu)化外，急動(dòng)度的最小化對(duì)機(jī)械手的性能也有著十分重要的意義。Gasparetto 等［6］提出了一種不設(shè)置總時(shí)間情況下規(guī)劃軌跡的方法，但該方法未對(duì)時(shí)間和急動(dòng)度限定范圍且未對(duì)時(shí)間‐急動(dòng)度進(jìn)行優(yōu)化。豐意［7］對(duì)艙位對(duì)接機(jī)構(gòu)的最優(yōu)時(shí)間、急動(dòng)度和能量進(jìn)行了軌跡優(yōu)化，采用人工免疫算法得到了三者最優(yōu)解。陳棟等［8］提出一種并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)的多目標(biāo)軌跡規(guī)劃方法，以時(shí)間‐急動(dòng)度為優(yōu)化目標(biāo)，并對(duì)每種軌跡方法下的調(diào)姿難度進(jìn)行了分析，但未提出時(shí)間、急動(dòng)度所占權(quán)重不同對(duì)優(yōu)化值的影響。徐海黎等［9］采用罰函數(shù)的方法處理約束問(wèn)題，對(duì)工業(yè)機(jī)器人的最優(yōu)時(shí)間、能量進(jìn)行了軌跡規(guī)劃，并采用了人工免疫算法進(jìn)行了最優(yōu)解求解。徐扣［10］采用三次B 樣條曲線對(duì)六自由度機(jī)械臂進(jìn)行了軌跡規(guī)劃。喬木［11］采用3 段修正正弦函數(shù)對(duì)碼垛機(jī)器人進(jìn)行了軌跡規(guī)劃，并采用遺傳算法對(duì)其時(shí)間變量進(jìn)行了最優(yōu)值求解。

在運(yùn)動(dòng)軌跡優(yōu)化方面，遺傳算法、免疫算法、退火算法以及多學(xué)科優(yōu)化算法等智能算法［12］得到了廣泛應(yīng)用，其主要思想是將機(jī)器人關(guān)節(jié)或末端的軌跡方程轉(zhuǎn)化為優(yōu)化控制問(wèn)題。其中，遺傳算法有著全局收斂能力強(qiáng)、適應(yīng)度函數(shù)易于構(gòu)造等優(yōu)勢(shì)［13］。盧曉東［14］采用遺傳算法對(duì)噴涂機(jī)器人進(jìn)行了軌跡規(guī)劃及優(yōu)化。周鋒［15］采用自適應(yīng)遺傳算法對(duì)工業(yè)機(jī)器人進(jìn)行了軌跡規(guī)劃。皮駿等［16］采用改進(jìn)遺傳算法對(duì)航空軸承的4 種故障工況進(jìn)行了診斷。鄢波等［17］采用遺傳算法對(duì)機(jī)器人末端位置補(bǔ)償進(jìn)行了軌跡規(guī)劃。然而，傳統(tǒng)遺傳算法對(duì)高維、非線性和多峰問(wèn)題的求解性不高，難以達(dá)到較高的求解精度和收斂速度。為此，林明等［18］提出了一種改進(jìn)遺傳算法改善了收斂速度和收斂精度。Pang 等［19］通過(guò)適當(dāng)舍棄最優(yōu)個(gè)體、改善交叉變異概率來(lái)改進(jìn)遺傳算法，對(duì)三肢機(jī)器人進(jìn)行了最優(yōu)軌跡規(guī)劃。林陽(yáng)等［20］采用多種群遺傳算法對(duì)一般機(jī)械臂的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行了求解。

筆者在上述所提出的可移動(dòng)著陸器設(shè)計(jì)方案的基礎(chǔ)上進(jìn)行了以下工作：完成了運(yùn)動(dòng)學(xué)建模和落震緩沖性能分析；采用三次樣條函數(shù)對(duì)其關(guān)節(jié)空間內(nèi)各驅(qū)動(dòng)位移軌跡進(jìn)行規(guī)劃；采用多種群遺傳算法，并引入模擬退火思想改進(jìn)交叉算子，引入移民算子、人工選擇算子和精英保留策略提高算法收斂性和全局搜索能力；使用改進(jìn)多種群遺傳算法對(duì)各驅(qū)動(dòng)進(jìn)行了最優(yōu)時(shí)間‐急動(dòng)度軌跡優(yōu)化；通過(guò)仿真試驗(yàn)驗(yàn)證了腿足各驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)的最優(yōu)時(shí)間‐急動(dòng)度軌跡的合理性和有效性。

1 可移動(dòng)著陸器

1.1 可移動(dòng)著陸器構(gòu)型

筆者所提出的可移動(dòng)著陸器由1 個(gè)正六棱臺(tái)本體和6 條三自由度腿足機(jī)構(gòu)組成。每條腿足機(jī)構(gòu)均由1 個(gè)主支柱和2 個(gè)輔助支柱構(gòu)成，主支柱和輔助支柱內(nèi)置緩沖/驅(qū)動(dòng)一體化裝置，該裝置由驅(qū)動(dòng)電機(jī)、滾珠絲杠和緩沖材料組成，可實(shí)現(xiàn)著陸器的緩沖吸能和星表移動(dòng)。圖1 為緩沖/行走一體化著陸器整機(jī)構(gòu)型示意圖。

圖1 可移動(dòng)著陸器構(gòu)型Fig.1 Buffering/walking integrated hexapod lander

1.2 可移動(dòng)著陸器運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

以著陸器腿足與本體連接點(diǎn)O0為原點(diǎn)，建立腿足坐標(biāo)系如圖2 所示。在該連接點(diǎn)處建立基坐標(biāo)系{O0}，以該點(diǎn)處胡克鉸為轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)建立坐標(biāo)系{O1}和{O2}。O3為主緩沖支柱與足墊連接點(diǎn)，以該點(diǎn)處球鉸建立足端坐標(biāo)系{O3}。坐標(biāo)系{O1}和{O2}處的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角為θ1和θ2；{O3}處的關(guān)節(jié)伸縮位移為p1；L1為主支柱初始長(zhǎng)度；L2和L3為輔助支柱初始長(zhǎng)度。由改進(jìn)D‐H 參數(shù)法建立單腿機(jī)構(gòu)連桿參數(shù)表，如表1 所示。

表1 著陸器單腿機(jī)構(gòu)連桿參數(shù)表Tab.1 Link parameters of single leg

圖2 著陸器單腿關(guān)節(jié)坐標(biāo)系示意圖Fig.2 Joint coordinates of lander single leg

其中

其中：r11～r33用于描述足端坐標(biāo)系{O3}在坐標(biāo)系{O0}下的姿態(tài)；px，py，pz用于描述足端坐標(biāo)系{O3}在坐標(biāo)系{O0}下的位置。

令方程兩邊的元素（1，4）（2，4）（3，4）相等，可得到方程組為

對(duì)方程組求解可得運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解為

在坐標(biāo)系{O0}下，U1和U2的位置坐標(biāo)固定，S1和S2的位置坐標(biāo)可由運(yùn)動(dòng)學(xué)正解求得。圖2 所示關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角θ1和θ2發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)后，根據(jù)U1，U2，S1和S2在坐標(biāo)系{O0}下的位置坐標(biāo)，可求得2 組輔助支柱的關(guān)節(jié)伸縮變化量與關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角θ1，θ2之間的變換關(guān)系為

其 中：(px2，py2，pz2)和(px3，py3，pz3)為S1和S2在坐標(biāo)系{O0}下的位置坐標(biāo)；(px1，py1，pz1)和(px4，py4，pz4)為U1和U2在坐標(biāo)系{O0}下的位置坐標(biāo)。

1.3 可移動(dòng)著陸器緩沖性能

可移動(dòng)著陸器的構(gòu)型參數(shù)和性能指標(biāo)如表2 所示，通過(guò)多體動(dòng)力學(xué)仿真軟件ADAMS 對(duì)著陸器緩沖性能進(jìn)行仿真分析。設(shè)定重力加速度為月球重力加速度（1.63 m/s2）；設(shè)定足端與月面接觸動(dòng)靜摩擦因數(shù)均為0.45，該系數(shù)滿足月壤摩擦力要求。對(duì)著陸器進(jìn)行了3 種工況的仿真，分別是坡度為0°的垂直著陸（工況1）、坡度為8°的“2‐2‐2”著陸（工況2）和坡度為8°的“1‐2‐2‐1”著陸（工況3），各工況下足端觸地速度均為1.5 m/s。測(cè)得本體質(zhì)心處過(guò)載加速度曲線如圖3 所示，3 種工況下緩沖過(guò)程如圖4 所示。由圖3 可知，3 種工況下本體質(zhì)心處最大過(guò)載均滿足要求，具備良好的緩沖性能。

表2 可移動(dòng)著陸器構(gòu)型參數(shù)和性能指標(biāo)Tab.2 Mechanism parameters and performance in‐dexes

圖3 3 種工況過(guò)載加速度曲線Fig.3 Three conditions of overloading acceleration-time curve

圖4 3 種工況下著陸器緩沖示意圖Fig.4 Three conditions of lander buffering

2 最優(yōu)時(shí)間‐急動(dòng)度軌跡問(wèn)題描述

軌跡規(guī)劃過(guò)程可以同時(shí)在任務(wù)空間和關(guān)節(jié)空間內(nèi)實(shí)現(xiàn)，圖5 描述了任務(wù)空間和關(guān)節(jié)空間內(nèi)軌跡規(guī)劃的關(guān)系。關(guān)節(jié)空間內(nèi)進(jìn)行軌跡規(guī)劃時(shí)，首先在任務(wù)空間內(nèi)對(duì)任務(wù)軌跡插補(bǔ)得到關(guān)鍵點(diǎn)，再根據(jù)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)將各關(guān)鍵點(diǎn)轉(zhuǎn)換為關(guān)節(jié)空間內(nèi)對(duì)應(yīng)關(guān)節(jié)點(diǎn)的矢量值，最后將關(guān)節(jié)點(diǎn)根據(jù)任務(wù)要求擬合成光滑函數(shù)曲線。關(guān)節(jié)空間內(nèi)軌跡規(guī)劃無(wú)需描述任務(wù)空間內(nèi)關(guān)鍵點(diǎn)的姿態(tài)問(wèn)題，且不存在結(jié)構(gòu)的奇異問(wèn)題，因此操作方便。關(guān)節(jié)空間與任務(wù)空間的映射關(guān)系是非線性的，關(guān)節(jié)空間內(nèi)的軌跡規(guī)劃過(guò)程不能直接反應(yīng)出任務(wù)空間內(nèi)腿足末端的執(zhí)行軌跡。本研究所述可移動(dòng)著陸器對(duì)移動(dòng)速度、足端位置精確度要求不高，但對(duì)系統(tǒng)的抗振動(dòng)、抗沖擊能力要求較高，故在關(guān)節(jié)空間內(nèi)進(jìn)行軌跡規(guī)劃，以減小驅(qū)動(dòng)部件在工作過(guò)程中的振動(dòng)和沖擊。

圖5 任務(wù)空間與關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃關(guān)系圖Fig.5 The relationship between task space and joint space in trajectory planning

2.1 軌跡生成

關(guān)節(jié)空間內(nèi)的軌跡可由關(guān)節(jié)空間內(nèi)的一系列節(jié)點(diǎn)組成，采用三次樣條曲線來(lái)連接這些節(jié)點(diǎn)，可以獲得每個(gè)節(jié)點(diǎn)處的位移、速度、加速度和急動(dòng)度。對(duì)于關(guān)節(jié)i(i=1～N)，設(shè)q1，q2，…，qj，…，qn為其關(guān)節(jié)空間內(nèi)的節(jié)點(diǎn)；t1，t2，…，tj，…，tn為與之相對(duì)應(yīng)的時(shí)刻。定義Sij(t)為時(shí)間間隔[tj，tj+1]內(nèi)的三次多項(xiàng)式函數(shù)，和分別為節(jié)點(diǎn)qj，qj+1 之間的位移、速度、加速度和急動(dòng)度。各關(guān)節(jié)初始時(shí)刻和終止時(shí)刻的速度值與加速度值均已知。根據(jù)三次樣條曲線定義，其Lagrange 形式的表達(dá)式為

其中：Sij(t)為關(guān)節(jié)i在時(shí)間間隔[tj，tj+1］內(nèi)的位移；為關(guān)節(jié)i在時(shí)間間隔[tj，tj+1]內(nèi)的速度為關(guān)節(jié)i在時(shí)間間隔[tj，tj+1]內(nèi)的加速度為關(guān)節(jié)i在 時(shí)間間隔[tj，tj+1]內(nèi)的急動(dòng)度；yij為關(guān)節(jié)i在時(shí)間間隔[tj，tj+1]內(nèi)第j個(gè)插值節(jié)點(diǎn)的位移；hj為tj與tj+1之間的時(shí)間間隔；tj為時(shí)刻點(diǎn)；i=1，2，…，N，表示有N個(gè)關(guān)節(jié)點(diǎn)；j=0，1，…，n，表示有n+1 個(gè)插值點(diǎn)。

2.2 約束條件

可移動(dòng)著陸器腿足共有3 個(gè)約束，分別為速度約束、加速度約束和急動(dòng)度約束，表明其動(dòng)態(tài)行為需在正確控制下合理應(yīng)用，從而限制可移動(dòng)著陸器的過(guò)度損耗。

速度約束

加速度約束

急動(dòng)度約束

其中：Vi，max，Ai，max和Ji，max分別為關(guān)節(jié)i的速度、加速度和急動(dòng)度的約束；i=1，2，…，N；j=0，1，…，n。

2.3 目標(biāo)函數(shù)

由式（11）可以看出，腿足在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中各關(guān)節(jié)存在沖擊（急動(dòng)度）且不連續(xù)。因此，為減小沖擊對(duì)腿足運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性和各零部件工作壽命的影響，建立了最優(yōu)時(shí)間‐急動(dòng)度軌跡規(guī)劃模型，目標(biāo)函數(shù)為

因?yàn)榧眲?dòng)度存在正負(fù)值，故對(duì)其取絕對(duì)值，其余各符號(hào)定義與上述一致。

3 軌跡優(yōu)化——多種群遺傳算法

3.1 單種群遺傳算法描述

單種群遺傳算法是一種模擬自然選擇進(jìn)化過(guò)程的智能算法。相比于其他智能算法，遺傳算法避免了復(fù)雜的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和參數(shù)選擇，有著很強(qiáng)的全局尋優(yōu)能力和魯棒性。單種群遺傳算法在變量數(shù)目增加時(shí)，計(jì)算量增大，尋優(yōu)能力下降，忽視了算法可并行運(yùn)算的潛力，難以實(shí)現(xiàn)全局最優(yōu)解的搜索。

3.2 多種群遺傳算法描述

在最優(yōu)時(shí)間‐急動(dòng)度軌跡規(guī)劃中，要想獲得平滑的軌跡曲線，勢(shì)必會(huì)引入較多的插值點(diǎn)，導(dǎo)致優(yōu)化變量隨之增加。然而，傳統(tǒng)單種群遺傳算法對(duì)多目標(biāo)、非線性和多峰問(wèn)題的求解能力不足，隨著優(yōu)化目標(biāo)的增加，算法的收斂速度和收斂精度會(huì)下降，易陷入局部最優(yōu)解。多種群并行遺傳算法是一種改進(jìn)的遺傳算法，近年來(lái)被廣泛運(yùn)用于解決多目標(biāo)最優(yōu)值等問(wèn)題。在最優(yōu)多種群并行計(jì)算過(guò)程中，其局部收斂和收斂速度慢等問(wèn)題沒(méi)有得到明顯改善。為此，筆者從以下方面進(jìn)行改進(jìn)：

1）采用多種群遺傳算法，引入多個(gè)種群同時(shí)進(jìn)行優(yōu)化搜索，對(duì)不同種群賦予不同控制參數(shù)，實(shí)現(xiàn)不同的搜索目的；

2）引入模擬退火算法思想改進(jìn)交叉概率，使算法運(yùn)行后期種群個(gè)體趨于最優(yōu)值時(shí)，以小變化搜索最優(yōu)值，避免造成局部收斂或無(wú)法收斂等情況；

3）采用移民算子對(duì)各種群并行計(jì)算進(jìn)行調(diào)節(jié)，使最優(yōu)解為各種群協(xié)同進(jìn)化的結(jié)果；

4）通過(guò)精英種群保留策略保存各種群每個(gè)進(jìn)化代中的最優(yōu)個(gè)體，并實(shí)時(shí)更新最優(yōu)個(gè)體種群，采用人工選擇算子保存各種群進(jìn)化中最優(yōu)個(gè)體，并作為算法收斂與否的依據(jù)。

圖6（a）為單種群遺傳算法流程圖，圖6（b）為多種群遺傳算法流程圖。其中：G為當(dāng)前運(yùn)行的代數(shù)；XN為每個(gè)群體中的個(gè)體數(shù)；XM為種群數(shù)目；GMAX為最大進(jìn)化代數(shù)；Fitness(F(G，N)，XN)為適應(yīng)度函數(shù)；F(G，N)為運(yùn)行到第G代的第N個(gè)種群。本研究采用多種群遺傳算法并在上述4 個(gè)方面進(jìn)行改善，對(duì)最優(yōu)時(shí)間‐急動(dòng)度軌跡規(guī)劃模型進(jìn)行了最優(yōu)值求解。

圖6 遺傳算法流程圖Fig.6 Genetic algorithm

3.3 軌跡優(yōu)化求解算法

在多種群遺傳算法基礎(chǔ)上，對(duì)變量采用二進(jìn)制編碼，將目標(biāo)函數(shù)分解為時(shí)間函數(shù)和急動(dòng)度函數(shù)組成的方程組，構(gòu)建最大值求解的適應(yīng)度函數(shù)，并引入權(quán)值因子改變時(shí)間、急動(dòng)度所占權(quán)重大小和平衡搜索速率，采用多點(diǎn)交叉的交叉算子并引入模擬退火思想改進(jìn)交叉概率，引入移民算子進(jìn)行協(xié)同進(jìn)化，對(duì)精英種群進(jìn)行保留。

基于多種群遺傳算法的最優(yōu)值求解分為8 個(gè)步驟，具體描述如下。

1）構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)。將最優(yōu)時(shí)間‐急動(dòng)度軌跡規(guī)劃模型的目標(biāo)函數(shù)分解為式（16）所示非線性方程組其中：根據(jù)先驗(yàn)條件設(shè)定變量的邊界范圍為hj，min≤hj≤hj，max。

2）初始化種群。初始設(shè)置種群數(shù)目為XM，各種群個(gè)體數(shù)目為XN，個(gè)體均采用二進(jìn)制編碼。單個(gè)種群采用二維矩陣來(lái)存儲(chǔ)數(shù)據(jù)集合。交叉概率Pc和變異概率Pm用來(lái)均衡算法的全局搜索和局部搜索能力，交叉算子是新個(gè)體產(chǎn)生的主要算子，變異算子用于提升算法的全局搜索能力。其中，初始設(shè)置交叉概率Pc為0.8，初始變異概率Pm為0.01。

3）設(shè)計(jì)適應(yīng)度函數(shù)。遺傳算法在進(jìn)化搜索過(guò)程中僅以適應(yīng)度函數(shù)為依據(jù)，且其目標(biāo)函數(shù)不受連續(xù)可微約束，定義域可為任意集合。由于目標(biāo)函數(shù)為非線性方程組，故將其映射成適應(yīng)度函數(shù)

其中：α為時(shí)間權(quán)值系數(shù)，用于改變時(shí)間、急動(dòng)度所占權(quán)重的大小，0 ≤α≤1；β為數(shù)量級(jí)權(quán)值系數(shù)，計(jì)算可知時(shí)間的數(shù)量級(jí)為100，急動(dòng)度的數(shù)量級(jí)為102，故取β=0.01 來(lái)平衡搜索速率。

4）確定選擇策略。采用“輪盤賭”選擇法，利用各個(gè)體適應(yīng)度所占比例大小來(lái)決定其子代保留的可能性。

5）確定交叉算子。單點(diǎn)交叉算子只能提取部分基因信息，這將限制算法搜索能力。筆者采用多點(diǎn)交叉的方式，多點(diǎn)交叉是指父母染色體中在兩個(gè)相連的交叉位間的基因進(jìn)行交換，產(chǎn)生兩個(gè)新的子代。多點(diǎn)交叉可以促進(jìn)算法進(jìn)行穩(wěn)定、高效地搜索，避免早熟現(xiàn)象發(fā)生。

在標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法中，由于交叉概率確定，導(dǎo)致任意一個(gè)基因位作為交叉位置的概率是相等的，但等概率地選取交叉位置并不能有效地搜索最優(yōu)解。由于個(gè)體采用二進(jìn)制編碼，不同基因位的改變?cè)斐蓚€(gè)體適應(yīng)度值的改變程度不同，因此等概率地選取交叉位置必將影響遺傳算法的尋優(yōu)能力，筆者引入模擬退火思想對(duì)交叉概率進(jìn)行改進(jìn)。對(duì)于第G代種群，設(shè)每個(gè)個(gè)體的第i個(gè)基因位的交叉概率為保留算法運(yùn)行過(guò)程中產(chǎn)生的當(dāng)前最優(yōu)解X(q)*。在每一代運(yùn)行中，對(duì)于在第i個(gè)基因位做多點(diǎn)交叉可以得到兩個(gè)子代X2和Y2，則基于模擬退火算法思想，交叉算子修改公式為

其中：k為染色體長(zhǎng)度；X*為當(dāng)前最優(yōu)解。

由此可見(jiàn)，交叉概率是自適應(yīng)變化的。

6）采用移民算子進(jìn)行協(xié)同進(jìn)化。在進(jìn)化過(guò)程中，采用移民算子在各種群之間建立信息交流，定期將相鄰種群的最優(yōu)個(gè)體與最差個(gè)體進(jìn)行互換，具體替換流程如圖7 所示。采用移民算子可使各種群之間保持協(xié)同進(jìn)化，從而提高整體收斂速度與精度。

圖7 移民運(yùn)算替換流程Fig.7 Immigration operator

7）對(duì)精英種群進(jìn)行保留。在進(jìn)化的每一代，采用人工選擇算子將適應(yīng)度值高的種群保留至精英種群，精英種群不再進(jìn)行選擇、交叉及變異等操作，只進(jìn)行更新，以保證最優(yōu)個(gè)體不被破壞和丟失。

8）進(jìn)化結(jié)束，輸出最優(yōu)解

其中：X(q)為具有最優(yōu)適應(yīng)度值的個(gè)體，a1a2a3…ak為其編碼值，將a1a2a3…ak替換為實(shí)數(shù)即可得到最優(yōu)解。

4 仿真分析

以可移動(dòng)著陸器單腿機(jī)構(gòu)為例，足端步長(zhǎng)s與步高h(yuǎn)已知，足端圓錐拋物曲線軌跡和方程分別如圖8 和式（22）所示

圖8 足端邁步軌跡圖Fig.8 Foot trajectory planning

根據(jù)表2 所述構(gòu)型參數(shù)和任務(wù)要求，設(shè)定該著陸器足端步長(zhǎng)為300 mm，步高為200 mm。對(duì)足端邁步軌跡進(jìn)行關(guān)鍵點(diǎn)均勻采樣，可得各節(jié)點(diǎn)在坐標(biāo)系{O0}下的坐標(biāo)。然后，由可移動(dòng)著陸器單腿逆運(yùn)動(dòng)學(xué)，可求得足端軌跡在各關(guān)節(jié)空間中的驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)位移量，如表3 所示。由于關(guān)節(jié)初始速度、初始加速度、最終速度和最終加速度為定值，故在其初始時(shí)間間隔和最終時(shí)間間隔內(nèi)插入虛擬節(jié)點(diǎn)來(lái)保證其速度與加速度的連續(xù)［21］。

表3 足端邁步軌跡及關(guān)節(jié)空間節(jié)點(diǎn)Tab.3 Foot trajectory and joint space nodes

關(guān)節(jié)空間內(nèi)驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)位移量已知后，由三次樣條曲線擬合各節(jié)點(diǎn)，可得到關(guān)節(jié)空間內(nèi)驅(qū)動(dòng)軌跡。基于最優(yōu)時(shí)間‐急動(dòng)度模型，在Matlab 下進(jìn)行了對(duì)比試驗(yàn)，分別采用單種群遺傳算法和多種群改進(jìn)遺傳算法對(duì)軌跡進(jìn)行優(yōu)化，對(duì)比兩種算法和收斂精度，進(jìn)一步說(shuō)明多種群遺傳算法的優(yōu)勢(shì)。

參數(shù)設(shè)置如下。

1）多種群遺傳算法：個(gè)體數(shù)目XN=200，個(gè)體染色體長(zhǎng)度k=20，種群規(guī)模XM=20，迭代次數(shù)Gmax=200，初始交叉概率Pc=0.8，初始變異概率Pm=0.01，下邊界hj,min=[1 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 1]，上邊界hj,max=[2 1 1 1 1 1 1 2]，采用模擬退火算法改進(jìn)交叉算子，采用移民算子促進(jìn)種群協(xié)同進(jìn)化。其中，可移動(dòng)著陸器腿足機(jī)構(gòu)各關(guān)節(jié)速度、加速度和急動(dòng)度約束條件如表4 所示。基于多種群改進(jìn)遺傳算法，參數(shù)設(shè)置同上，通過(guò)修改適應(yīng)度函數(shù)內(nèi)時(shí)間權(quán)重系數(shù)α的值，可得到時(shí)間權(quán)重系數(shù)與時(shí)間和急動(dòng)度的關(guān)系如圖9 所示。由圖可以看出，當(dāng)時(shí)間權(quán)重增大時(shí)，總時(shí)間逐步減小，急動(dòng)度值逐步增大，時(shí)間的最大值為29.223 0 s，最小值為15 s；急動(dòng)度的最大值為5 180.484 0 mm/s3，最小值為591.205 5 mm/s3。

表4 可移動(dòng)著陸器腿足各關(guān)節(jié)約束Tab.4 Joint limitation of leg‐foot

圖9 時(shí)間權(quán)重系數(shù)影響曲線Fig.9 Influence curve of time weight coefficient

由于可移動(dòng)著陸器對(duì)行走速度要求不高，故筆者選取較小的時(shí)間權(quán)重系數(shù)（α=0.4）來(lái)使著陸器驅(qū)動(dòng)部分具有更低的急動(dòng)度。

2）單種群遺傳算法：個(gè)體數(shù)目XN=200，個(gè)體染色體長(zhǎng)度k=20，迭代次數(shù)Gmax=200，交叉概率Pc=0.8，變異概率Pm=0.01，上邊界hj,min=[1 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 1]，下邊界hj,max=[2 1 1 1 1 1 1 2]。

將該時(shí)間權(quán)重系數(shù)（α=0.4）代入適應(yīng)度函數(shù)中，分別采用單種群遺傳算法和多種群改進(jìn)遺傳算法優(yōu)化5 次，記錄最優(yōu)結(jié)果和最差結(jié)果的最佳變量值和目標(biāo)函數(shù)值，如表5 所示。

表5 兩種遺傳算法優(yōu)化結(jié)果Tab.5 Optimization results of two genetic algorithms

由于采取數(shù)量級(jí)權(quán)值系數(shù)來(lái)平衡搜索速率，目標(biāo)函數(shù)值相差不大，但可以看出急動(dòng)度存在較大差異。將多種群遺傳算法最優(yōu)解的最佳變量值［1.993 8 0.805 6 0.779 0 0.711 1 0.780 8 0.789 2 0.817 9 1.995 3］代入式（8）～（11），可得關(guān)節(jié)空間內(nèi)時(shí)間‐位移曲線、時(shí)間‐速度曲線、時(shí)間‐加速度曲線和時(shí)間‐急動(dòng)度曲線，如圖10 所示。

圖10 各關(guān)節(jié)位移、速度、加速度和急動(dòng)度變化曲線Fig.10 Time-displacement,time-velocity,time-accelera‐tion,time-jerk curve of joints

由圖10（a）可知，關(guān)節(jié)1 的位移曲線光滑平緩，速度和加速度均未發(fā)生突變，速度峰值未超過(guò)100 mm/s，加速度峰值未超過(guò)100 mm/s2，腿足機(jī)構(gòu)具有良好的運(yùn)動(dòng)性能，急動(dòng)度存在突變，但其峰值未超過(guò)100 mm/s3，即腿足機(jī)構(gòu)主緩沖支柱在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不會(huì)產(chǎn)生較大的沖擊抖動(dòng)。由圖10（b，c）可知，關(guān)節(jié)2 和關(guān)節(jié)3 由于呈對(duì)稱分布，其各曲線均相同，位移曲線光滑平緩，速度和加速度未發(fā)生突變，速度峰值未超過(guò)25 mm/s，加速度峰值未超過(guò)20 mm/s2，急動(dòng)度峰值未超過(guò)35 mm/s3，即腿足機(jī)構(gòu)輔助緩沖支柱在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中具有良好的運(yùn)動(dòng)特性。

5 結(jié)論

1）采用三次樣條曲線構(gòu)造關(guān)節(jié)空間軌跡時(shí)，引入2 個(gè)虛擬節(jié)點(diǎn)，保證了速度曲線和加速度曲線的連續(xù)性。

2）對(duì)多種群遺傳算法進(jìn)行了改進(jìn)，引入模擬退火算法思想改進(jìn)交叉算子，引入移民算子保證各種群協(xié)同進(jìn)化，引入人工選擇算子保留精英種群，提高了算法全局搜索能力和最優(yōu)解收斂性。

3）以總時(shí)間和總急動(dòng)度為優(yōu)化目標(biāo)，采用多種群遺傳算法對(duì)關(guān)節(jié)空間軌跡進(jìn)行優(yōu)化，給出了時(shí)間權(quán)重系數(shù)對(duì)總時(shí)間和總急動(dòng)度的影響曲線。

4）選取合適的時(shí)間權(quán)重系數(shù)，權(quán)衡了時(shí)間和急動(dòng)度對(duì)腿足機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)性能的影響，實(shí)現(xiàn)了可移動(dòng)著陸器腿足機(jī)構(gòu)的最優(yōu)時(shí)間‐急動(dòng)度的軌跡規(guī)劃。