于 苗 蔡江輝 楊海峰

（太原科技大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 太原 030024）

1 引言

郭守敬望遠(yuǎn)鏡（LAMOST）［1～4］是一種特殊的反射施密特望遠(yuǎn)鏡，有效孔徑為3.6m～4.9m，焦距為20m，視場(chǎng)為5°，其焦面上可防止4000根光纖，因此在一次曝光中LAMOST可以同時(shí)觀測(cè)到4000條光譜。在恒星和星系的科學(xué)研究方面，LAMOST有著巨大的研究前景和價(jià)值。LAMOST巡天得到的光譜復(fù)雜多樣，有各種類型的光譜。對(duì)天體光譜的分析首先需要進(jìn)行光譜的自動(dòng)識(shí)別，因此研究恒星自動(dòng)識(shí)別與分類方法具有重要意義［5～6］。

恒星自動(dòng)識(shí)別與分類系統(tǒng)的正確率和可信度取決于恒星光譜模板庫的質(zhì)量。目前常用的恒星光譜模板庫主要有MAFAGS［7］、MARCS［8～11］、Kurucz理論模板庫［12］。MAFAGS模板庫是一套步長(zhǎng)較細(xì)的網(wǎng)格光譜數(shù)據(jù)，MARCS模板庫只包含F(xiàn)、G、K型星模型并且對(duì)冷星更適用，Kurucz模板庫是恒星大氣模型網(wǎng)格數(shù)據(jù)。共包含約9561個(gè)模型，大部分為正常恒星模型。該恒星理論光譜庫的構(gòu)建分成兩部分包括大氣模型的計(jì)算和理論光譜的合成，即從大氣模型的輸入量：表面有效溫度Teff、表面重力加速度g、元素豐度（［M/H］）到光譜的輸出量：流量（x），波長(zhǎng)（λ），這是一個(gè)非常復(fù)雜的非線性映射過程。

上述三種恒星模板庫的構(gòu)造方法適用于所有來源的恒星光譜來構(gòu)造相應(yīng)模板庫。然而將其運(yùn)用于LAMOST巡天得到的恒星光譜數(shù)據(jù)時(shí)并不能很好地對(duì)恒星光譜數(shù)據(jù)進(jìn)行自動(dòng)識(shí)別和分類?；谝陨先毕荩f鵬［13］等在構(gòu)造了包含183條模板光譜，61個(gè)不同的子類型的適用于LAMOST的恒星光譜模板庫，該模板庫是韋鵬從約100萬條LA?MOST DR1恒星光譜數(shù)據(jù)中經(jīng)過一系列操作篩選出來的，被廣泛應(yīng)用于LAMOST光譜分類工作中，該模板庫的構(gòu)造方法復(fù)雜。

上述現(xiàn)存的恒星理論光譜模板庫構(gòu)造方法較為復(fù)雜，給恒星光譜自動(dòng)識(shí)別和分類帶來了一定的困難。因此本文提出了一種基于切比雪夫雙曲線逼近的恒星光譜模板構(gòu)造方法。該方法首先將光譜數(shù)據(jù)分段，分為多個(gè)小光譜段，得到具有多個(gè)波段并提取波長(zhǎng)流量信息，然后依據(jù)波長(zhǎng)流量信息基于切比雪夫雙曲線逼近提取每類光譜數(shù)據(jù)特征譜線的形狀特征，最后將提取出的光譜數(shù)據(jù)特征譜線的形狀特征與標(biāo)準(zhǔn)光譜特征譜線比較。

2 理論基礎(chǔ)

2.1 函數(shù)逼近與一致逼近

函數(shù)逼近［14］就是用簡(jiǎn)單函數(shù)逼近已知的復(fù)雜函數(shù)。通常步驟為首先通過復(fù)雜函數(shù)在有限點(diǎn)集上給定函數(shù)值，再在包含該點(diǎn)集的區(qū)間上用公式給出函數(shù)的簡(jiǎn)單表達(dá)式。即對(duì)于函數(shù)類A中給定的函數(shù)（fx），要求在另一類較簡(jiǎn)單的便于計(jì)算的函數(shù)類B中找到一個(gè)函數(shù)p（x），使p（x）與（fx）的誤差在某種度量意義下達(dá)到最小。函數(shù)類A通常是區(qū)間［a，b］上的連續(xù)函數(shù)，記作C［a，b］，而函數(shù)類B通常為n次多項(xiàng)式等。

將函數(shù)逼近問題中的逼近函數(shù)與給定函數(shù)之間的逼近方式給出一種定義，換言之，一致逼近［15］是度量連續(xù)函數(shù)（fx）和逼近多項(xiàng)式p（x）之差的一種標(biāo)準(zhǔn)，即對(duì)于區(qū)間［a，b］上的連續(xù)函數(shù)（fx），對(duì)于給定的任意小正數(shù)ε>0，存在多項(xiàng)式p（x），使不等式

成立，則稱多項(xiàng)式p（x）在區(qū)間［a，b］上一致逼近于函數(shù)（fx）。顯然，如果精確度越高，即ε越趨近于0，則用來逼近的多項(xiàng)式p（x）的次數(shù)一般也越高。

2.2 切比雪夫逼近

切比雪夫逼近［16～17］是切比雪夫基于一致逼近提出的確定逼近的最快的多項(xiàng)式的方法。切比雪夫逼近的思想是：不讓逼近多項(xiàng)式的次數(shù)n趨向于無窮大，而是先把n固定。

定義（偏差）：次數(shù)不超過n次的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的集合為pn，p(x)∈pn，f(x)∈C[a，b]，f(x)與p(x)的偏差定義如下：

定義（切比雪夫逼近）：對(duì)于函數(shù)f(x)，在pn中尋找一個(gè)多項(xiàng)式p*n(x)，使其滿足：

此時(shí)p*n(x)對(duì)f(x)的偏差和其他任一p(x)對(duì)（fx）的偏差比較時(shí)是最小的，我們稱p*n(x)為f(x)在［a，b］上的切比雪夫逼近。

在切比雪夫逼近中，逼近多項(xiàng)式p*n(x)的選擇很多種，包括代數(shù)多項(xiàng)式、三角多項(xiàng)式以及有理分式函數(shù)等。

3 基于切比雪夫雙曲線逼近的分段式模板構(gòu)造方法

3.1 切比雪夫雙曲線逼近

顯然，切比雪夫逼近定義是用一個(gè)多項(xiàng)式逼近一個(gè)連續(xù)函數(shù)。將切比雪夫逼近的思想擴(kuò)展到用一個(gè)多項(xiàng)式逼近一組連續(xù)函數(shù)，得到該組連續(xù)函數(shù)的切比雪夫逼近多項(xiàng)式，可描述為對(duì)于區(qū)間［a，b］上的l個(gè)連續(xù)函數(shù)f1(x)，…，fl(x)，p*n(x)為該組連續(xù)函數(shù)的切比雪夫逼近，則p*n(x)滿足：

此時(shí)，pn*(x)對(duì)每一個(gè)連續(xù)函數(shù)fi(x)的偏差和不超過n次的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的集合pn上其他任意多項(xiàng)式p(x)與fi(x)的偏差相比時(shí)都是最小的。

因?yàn)槿我馇€都可通過擬合近似表示得到函數(shù)表達(dá)式，因此將每個(gè)連續(xù)函數(shù)fi(x)看作區(qū)間［a，b］上的曲線Si(t)，那么對(duì)于l個(gè)連續(xù)函數(shù)求切比雪夫逼近就轉(zhuǎn)化為對(duì)l條曲線求最佳逼近。在此基礎(chǔ)上，切比雪夫雙曲線逼近最初來源于上述對(duì)多條曲線的切比雪夫逼近。其中心思想是將對(duì)多條曲線的切比雪夫逼近等價(jià)到對(duì)兩條曲線的切比雪夫逼近上，這兩條曲線分別是最大值曲線和最小值曲線。此時(shí)式（4）可轉(zhuǎn)化為

每一條曲線與最佳逼近之間的偏差最小簡(jiǎn)化為最大值函數(shù)或最小值函數(shù)與最佳逼近之間的偏差最小。其中，Smax(t)為該組曲線在區(qū)間［a，b］上的最大值曲線，其定義為

Smin(t)為該組曲線在區(qū)間［a，b］上的最小值曲線，其定義為

S*(A，t)為該組曲線的切比雪夫雙曲線逼近。得到S*(A，t)的方法是先用函數(shù)來假設(shè)該最佳逼近，然后求出系數(shù)的值，具體的函數(shù)表達(dá)式就可知了。用函數(shù)形式表示最佳逼近，假設(shè)最佳逼近的形式表示為

此外，為求解式（5）引入一個(gè)變量z，該變量z表示任意一條曲線與最佳逼近間的最小差值，其表示為

此時(shí)，解決上述最佳逼近函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為解決線性規(guī)劃的問題。該線性規(guī)劃可表示如下：

目標(biāo)函數(shù)為

約束條件為

通過求解該線性規(guī)劃問題可得最小偏差z和最佳逼近函S(A，ti)。

3.2 算法描述

基于切比雪夫雙曲線逼近的分段式恒星光譜模板構(gòu)造方法，將所有光譜按類分組，相同類型的恒星光譜視作一組并提取各組光譜的波長(zhǎng)和流量信息，對(duì)每一組光譜數(shù)據(jù)進(jìn)行分段，使每一組光譜分為具有若干段的同類型光譜組，對(duì)于各段的波長(zhǎng)流量信息，將波長(zhǎng)作為自變量，流量作為因變量，得到相關(guān)曲線。對(duì)每一條曲線進(jìn)行歸一化，再分別通過式（6）、（7）計(jì)算該組曲線的最大值曲線和最小值曲線。引入變量z，用多個(gè)未知參數(shù)和多項(xiàng)式基的代數(shù)和的形式表示該組光譜的切比雪夫雙曲線逼近，用最大值曲線、最小值曲線和式（9）定義變量z，運(yùn)用式（10）、（11）線性規(guī)劃的方法在每段光譜上做切比雪夫雙曲線逼近，得到各組的整體態(tài)勢(shì)。具體步驟如下。

算法：基于切比雪夫雙曲線的恒星光譜模板構(gòu)造方法

輸入：LAMOST數(shù)據(jù)集D，光譜類數(shù)X，分段長(zhǎng)度T，光譜維度W

輸出：各類恒星光譜模板

1）對(duì)每條光譜歸一化

2）將每條光譜按T分段，總段數(shù)為S

S=「W/T?

3）for x=1 to X do

4） 根據(jù)式（6）、（7），計(jì)算得到Smax（t）and Smin（t）

5）for s=1 to S do

6） 根據(jù)式（10）、（11），計(jì)算min z，S(A，ti)

7） end for

8）end for

9）該組光譜的切比雪夫雙曲線計(jì)算完成

本文的算法內(nèi)容主要包括兩個(gè)部分，第一部分是光譜數(shù)據(jù)分段，第二部分是在每類已分段的光譜數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)切比雪夫雙曲線逼近。光譜數(shù)據(jù)分段的時(shí)間復(fù)雜度為O（n），實(shí)現(xiàn)切比雪夫雙曲線逼近的時(shí)間復(fù)雜度為O（n2），算法的整體時(shí)間復(fù)雜度為O（n2）。

4 實(shí)驗(yàn)分析

在1臺(tái)Inter（R）core（TM）i7-6500U@2.50GHz筆記本電腦，Windows 7操作系統(tǒng)中使用Python語言在PyCharm平臺(tái)實(shí)現(xiàn)了基于切比雪夫雙曲線逼近的分段式恒星光譜模板構(gòu)造方法。

4.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)選擇

本實(shí)驗(yàn)主要在LAMOST DR5恒星光譜數(shù)據(jù)上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)得到適用于lAMOST恒星光譜數(shù)據(jù)的恒星光譜模板。每條LAMOST光譜數(shù)據(jù)都有相應(yīng)的波長(zhǎng)和流量信息，波長(zhǎng)范圍在3700～9000。本實(shí)驗(yàn)選取原本由pipeline分類得到的A、F、G、K、M五類恒星光譜數(shù)據(jù)，信噪比不低于20。具體數(shù)量如表1所示。

表1 恒星數(shù)據(jù)情況

4.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

4.2.1 各類恒星模板光譜

本實(shí)驗(yàn)在上述數(shù)據(jù)集上進(jìn)行操作，得到的各類恒星模板光譜如圖1～5所示。

圖1 A型光譜模板

圖2 F型光譜模板

圖3 G型光譜模板

圖4 K型光譜模板

圖5 M型光譜模板

4.2.2 整體態(tài)勢(shì)分析

從上述模板光譜中看出不同類型的恒星光譜模板譜整體走勢(shì)是不相同的，具有明顯的差異性。具體分析圖1～5，從A型光譜到F型光譜再到G型光譜，大致來看藍(lán)端高紅端低并且峰值逐漸向紅端移動(dòng)。K型光譜，已經(jīng)變成紅端高藍(lán)端低，再到M型光譜完全變成紅端與藍(lán)端的差距加大，并且藍(lán)端變得非常高。上述計(jì)算所得的各類恒星光譜模板譜的整體態(tài)勢(shì)與互相過渡變化滿足各類光譜整體走勢(shì)理論。因此，本文所提方法構(gòu)造的恒星模板譜具有可信度。

4.2.3 與其他光譜模板的比較（數(shù)量）

該實(shí)驗(yàn)在A、F、G、K、M五種恒星光譜數(shù)據(jù)情況下實(shí)驗(yàn)具體選取了A1IV、F0、G0、K0、M0共5個(gè)子類的數(shù)據(jù)。在現(xiàn)行的韋鵬等構(gòu)造的183恒星光譜模版中，子類A1IV的模板譜數(shù)量為4，子類F0的模板譜數(shù)量為4，G0的模板譜數(shù)量為2，子類K0的模板譜數(shù)量為3，子類M0的模板譜數(shù)量為10。每一個(gè)子類的模板譜的數(shù)量皆大于1條。然而運(yùn)用上述方法對(duì)每一個(gè)子類恒星光譜都可以得到唯一一條模板譜。模板譜數(shù)量減少，大大提高了恒星自動(dòng)識(shí)別和分類的效率。

5 結(jié)語

本文提出了一種切比雪夫雙曲線逼近的分段式恒星光譜模板構(gòu)造方法，該算法采用將整條的光譜劃分為多段子光譜，提取其相應(yīng)的波長(zhǎng)和流量信息，并得到光譜的最大值曲線和最小值曲線。通過切比雪夫雙曲線逼近利用偏差的最小值z(mì)和最佳逼近的代數(shù)表達(dá)式，最大值和最小值曲線通過線性規(guī)劃的方法得到一組曲線的切比雪夫雙曲線逼近，將其作為該類恒星光譜的模板譜，最終通過該方法得到恒星光譜的模板譜。采用恒星光譜數(shù)據(jù)集驗(yàn)證了方法的有效性。本文下一步的研究方向?yàn)榭紤]如何能提高算法的運(yùn)行速度，加快實(shí)現(xiàn)各子類恒星光譜模板譜的構(gòu)造。