方 凱,姚佳琪,李家旺

(寧波大學海運學院,浙江寧波 315211)

1 引言

近年來,水下機器人(autonomous underwater vehicle,AUV)在海洋資源開發(fā)、海底勘探和軍事偵察等領(lǐng)域得到了越來越廣泛的應用,也使得對其三維空間運動的控制技術(shù)的研究受到了越來越多的重視.對于AUV的運動控制問題,其主要難點在于一般情況下AUV都具有欠驅(qū)動特性,即AUV的獨立控制輸入數(shù)目少于其自由度數(shù),由于不滿足Brockett必要條件[1],因此無法通過連續(xù)時不變控制策略實現(xiàn)鎮(zhèn)定.此外,AUV在實際工況下經(jīng)常受到未知外界干擾、模型參數(shù)不確定性和輸入飽和限制的影響,這些也使得AUV的三維運動控制變得更加困難.

目前,針對AUV的實時三維空間運動控制問題的研究主要可以分為2類:鎮(zhèn)定控制與軌跡跟蹤控制.在鎮(zhèn)定控制問題中,需要選擇合適的控制輸入形式使得AUV的狀態(tài)誤差收斂到零或零點附近的有界鄰域內(nèi).如文獻[2-4]中基于四元數(shù)形式的6自由度欠驅(qū)動AUV模型,提出了一種連續(xù)周期時變控制律以實現(xiàn)位置和姿態(tài)角的局部指數(shù)鎮(zhèn)定.其中文獻[2-3]未考慮環(huán)境干擾的影響,最終使狀態(tài)誤差收斂到零點,而文獻[4]考慮了環(huán)境干擾的影響,使控制誤差收斂到零點的有界范圍內(nèi).在該控制方法基礎上,針對AUV的控制輸入飽和限制,文獻[5]中設計了基于模型預測控制的AUV鎮(zhèn)定算法.然而,上述文獻均未考慮大初始誤差情況.與鎮(zhèn)定控制問題不同,在軌跡跟蹤控制問題中,需要設計控制策略使得AUV的狀態(tài)趨近并跟上滿足持續(xù)激勵條件的時變軌跡,實現(xiàn)狀態(tài)誤差的收斂.如文獻[6-7]針對欠驅(qū)動無人水下航行器的三維軌跡跟蹤問題設計了一種基于虛擬速度誤差變量的反步控制方法.文獻[8]基于反步法設計了一種輸出約束的三維跟蹤控制方法.文獻[9]提出了基于生物啟發(fā)式速度調(diào)節(jié)方法的欠驅(qū)動AUV三維軌跡跟蹤控制策略.但在上述4篇文獻中,系統(tǒng)模型均假設為完全已知.針對模型參數(shù)不確定性和輸入飽和限制情況,文獻[10]中提出了欠驅(qū)動AUV的三維自適應軌跡跟蹤控制方法,但其并未考慮外部干擾的影響.文獻[11-12]分別通過自適應神經(jīng)網(wǎng)絡和比例積分微分(proportional integral derivative,PID)滑模控制方法解決參數(shù)不確定問題和外界干擾,但均未考慮輸入飽和問題.

需要指出的是,在實際的AUV的三維空間工作任務中,其可能需要同時具備實現(xiàn)鎮(zhèn)定控制和軌跡跟蹤控制的能力,但上述提及的控制方法均無法達到.考慮到在任務過程中切換不同控制方法可能引起控制系統(tǒng)不穩(wěn)定或失效,因此設計一種能夠同步實現(xiàn)鎮(zhèn)定和跟蹤的控制策略對于AUV的技術(shù)應用十分有益.現(xiàn)有的同步鎮(zhèn)定和跟蹤控制方法主要應用于平面運動系統(tǒng).如文獻[13]中設計了一種統(tǒng)一控制方法以解決欠驅(qū)動船舶的同步鎮(zhèn)定和跟蹤控制問題,該方法也可應用于非完整移動機器人的相關(guān)控制問題[14-15].針對非完整移動機器人的運動學模型,文獻[16]中基于Lyapunov理論和通過引入虛擬控制量設計出一種形式簡單的統(tǒng)一控制器.然而,上述4篇文獻中的控制方法均存在誤差收斂速度較慢和對于初始誤差較敏感等問題.針對這些問題,文獻[17]基于動力學振蕩器提出了一種統(tǒng)一控制方法,并針對欠驅(qū)動水面船的同步跟蹤和調(diào)節(jié)問題進行了研究.文獻[18-19]通過采用“橫截函數(shù)”(transverse function)方法[20]設計了欠驅(qū)動船舶的同步跟蹤和鎮(zhèn)定控制策略.但是上述3篇文獻均未考慮控制輸入飽和限制的影響.針對受到模型參數(shù)不確定性影響和輸入飽和限制作用下的欠驅(qū)動船舶,文獻[21-22]中通過引入輔助控制項設計出一種統(tǒng)一控制策略以實現(xiàn)同步跟蹤和鎮(zhèn)定.

受到上述研究的啟發(fā),本文針對欠驅(qū)動AUV的三維同步跟蹤和鎮(zhèn)定控制問題開展了研究.在建立欠驅(qū)動AUV空間運動數(shù)學模型基礎上,通過分析不同期望軌跡的特點,設計一種虛擬控制策略以實現(xiàn)對欠驅(qū)動方向的控制.結(jié)合反步法和Lyapunov直接法設計思想,并考慮AUV模型參數(shù)不確定性、未知干擾及輸入飽和限制等影響,設計出一種飽和動力學控制器,使得AUV的誤差狀態(tài)能夠收斂到零點附近的有界范圍內(nèi).最后,通過數(shù)值仿真實驗形式,對所設計控制策略的有效性進行驗證.

2 問題描述

2.1 AUV模型

本文所研究的AUV是具有軸對稱外形的剛體并配置有軸向、俯仰和偏航方向上的獨立控制輸入.忽略橫滾運動的影響,則可得如下形式的5自由度AUV三維運動數(shù)學模型[23],由于系統(tǒng)控制輸入少于其自由度數(shù),故屬于欠驅(qū)動系統(tǒng).

1) 運動學模型:

2) 動力學模型:

其中:(x,y,z)表示地面固定坐標系中AUV的空間位置坐標;θ和ψ分別表示AUV的俯仰角和偏航角;(u,v,w)為隨體運動坐標系中AUV的線速度,q和r分別表示AUV的俯仰和偏航角速度;mi ＞0(i=u,v,w,q,r)為包含附加質(zhì)量的AUV慣性項;di ＞0(i=u,v,w,q,r)為AUV的水動力阻尼系數(shù);W和分別表示AUV排水量和縱穩(wěn)性高;τwi(i=u,v,w,q,r)表示包含模型參數(shù)不確定性和環(huán)境干擾影響的未知作用項;(τu,τq,τr)表示AUV的控制輸入,考慮到AUV的實際控制輸入都存在飽和限制,因此有

其中τiM＞0(i=u,q,r)表示相應輸入的飽和值.

假設1式(2)中,所有的AUV模型參數(shù)均為未知常數(shù)且未知作用項τwi(i=u,v,w,q,r)連續(xù)有界.

假設2在縱傾復原力矩作用下,存在正常數(shù)θM,使得AUV的俯仰角滿足|θ|≤θM.

假設3AUV的橫向和垂向速度v和w是被動有界的,即存在正常數(shù)U0使得|v|≤U0和|w|≤U0.

2.2 控制目標

本文的控制目標是,針對由式(1)-(2)描述的AUV系統(tǒng),通過設計合適的控制輸入(τu,τq,τr),在滿足輸入飽和限制式(3)下,使得AUV 的實際軌跡η=[x y z θ ψ]T能夠?qū)ζ谕壽Eηd=[xdydzdθdψd]T進行跟蹤,并保證跟蹤誤差有界.不失一般性,該期望軌跡由下述方程產(chǎn)生:

其中(ud,vd,wd,qd,rd)表示期望速度.

假設4期望軌跡(4)滿足:1)期望速度id(i=u,v,w,q,r)及其一階導數(shù)都是有界的,且滿足|vd(t)|≤|ud(t)|和|wd(t)|≤|ud(t)|,?t≥0;2)期望俯仰角|θd|＜以避免出現(xiàn)奇異現(xiàn)象.

值得注意的是,假設4中并未對期望速度是否滿足持續(xù)激勵條件做任何限制,因此,期望軌跡(4)可以是持續(xù)變化的時變運動軌跡,也可以是固定點.

為便于后續(xù)控制設計,定義AUV的跟蹤誤差如下:

對上式求導并結(jié)合式(1)和式(4)可得

其中:ie=i-id,i=u,v,w,q,r表示速度誤差;變量gx1,gx2,gy,gz1和gz2的具體表達式如下:

不難發(fā)現(xiàn)式(7)中各項都是有界的.此時,經(jīng)過式(5)的全局可逆變換,本文所研究的控制問題等價于關(guān)于跟蹤誤差(xe,ye,ze,θe,ψe)的鎮(zhèn)定問題.

3 控制器設計

為實現(xiàn)對式(5)中跟蹤誤差的鎮(zhèn)定控制,本節(jié)將給出一種新型的飽和控制律.首先,考慮到AUV的欠驅(qū)動特性,選擇誤差信號ψe和θe作為虛擬控制輸入分別實現(xiàn)對誤差信號ye和ze的鎮(zhèn)定.為此,定義以下誤差修正方程:

其中δθ和δψ表示附加控制項并定義如下:

將式(8)代入式(6)可得

4 穩(wěn)定性分析

下面給出本文的主要結(jié)論.

定理1針對由式(1)-(2)描述的AUV三維運動模型,當假設1-4成立時,對于如式(4)表示的期望軌跡,包括時變軌跡和固定點等,在控制器如式(13)(17)(27)作用下,結(jié)合自適應律如式(31),能夠保證AUV三維跟蹤誤差收斂到原點附近的有界鄰域內(nèi).此外,若選擇控制參數(shù)ki,WiM,γi(i=u,q,r),Nh,γθ和γψ滿足如下不等式:

5 仿真結(jié)果

為了驗證上述控制方法的有效性,本節(jié)對某型AUV的三維同步跟蹤和鎮(zhèn)定問題進行了數(shù)值仿真實驗.AUV模型參數(shù)為[25]

在仿真中,期望軌跡設定為由時變軌跡和固定點構(gòu)成的復合軌跡形式,其中:在仿真時間t≤150 s時,ud=1.5 m/s,其余速度和角速度均為0,即期望軌跡為 直 線;在t ∈(150,450]s 時,ud=1.5 m/s和rd=rad/s,其余速度和角速度均為0,即期望軌跡為圓形;在仿真時間t ＞450 s 時,期望軌跡為固定點(300 m,-100 m,-100 m,0 rad,0 rad);期望軌跡的初始狀態(tài)設定為xd(0)=0 m,yd(0)=0 m,zd(0)=0 m,θd(0)=0.1 rad,ψd(0)=0 rad.AUV的初始狀態(tài)為x(0)=15 m,y(0)=10 m,z(0)=-10 m,θ(0)=0 rad,ψ(0)=0 rad.AUV的初始速度和角速度均為0.控制參數(shù)選擇為

仿真結(jié)果如圖1所示.為了更好地對比本文控制方法的性能,在仿真中加入了文獻[8]方法的對比結(jié)果.

圖1 欠驅(qū)動AUV三維同步跟蹤和鎮(zhèn)定仿真結(jié)果Fig.1 Simulation results for three-dimensional simultaneous tracking and stabilization of the underactuated AUV

由上述仿真結(jié)果可知,在本文控制方法作用下,AUV能夠?qū)崿F(xiàn)對復雜三維空間期望軌跡的跟蹤,包括時變軌跡和固定點;跟蹤誤差均能收斂至零點附近的有界區(qū)域內(nèi);而對比文獻[8]的控制方法只能實現(xiàn)時變軌跡的跟蹤,當目標軌跡為固定點時,AUV的位置誤差和控制輸入無法收斂.且由于對比文獻[8]未考慮飽和輸入限制,其第一階段時變軌跡的控制輸入遠大于本文的控制器;本文在飽和動力學控制式(27)作用下,所有的控制輸入均始終處于飽和限制范圍內(nèi),有效的避免了因控制輸入過大所引起的控制失效和跟蹤性能下降的問題.另外根據(jù)上圖可知θ的最大值最終收斂至1左右.

6 結(jié)論

本文針對欠驅(qū)動AUV的三維同步跟蹤和鎮(zhèn)定控制問題,提出了一種基于神經(jīng)網(wǎng)絡的飽和控制方法.通過在角度跟蹤誤差信號中引入附加控制項,使得控制器能夠在跟蹤控制和鎮(zhèn)定控制之間進行光滑切換.基于RBFNN設計了針對AUV未知參數(shù)的自適應更新律.根據(jù)Lyapunov直接法,完成了AUV控制輸入的飽和化設計,保證了跟蹤誤差能夠收斂至零點附近的有界區(qū)域內(nèi).最后對AUV三維同步跟蹤和鎮(zhèn)定問題進行了仿真實驗并與已有研究進行了對比,結(jié)果表明本文控制方法無論在跟蹤情況下還是鎮(zhèn)定情況下均具有較好的控制性能,并成功避免了輸入飽和現(xiàn)象.