王 銳 ,司昌龍 ,馬 慧 ,郝程鵬

(1.中國科學(xué)院聲學(xué)研究所中科院水下航行器信息技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗室,北京 100190;2.中國科學(xué)院大學(xué),北京 100049)

1 引言

欠驅(qū)動水面機(jī)器人(under-actuated surface vessels,USVs)已在軍事領(lǐng)域與民用領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用,可以完成海上巡邏、自主航行、打撈、搜救等任務(wù).由于不存在側(cè)向控制力,使USV成為具有二階非完整約束的欠驅(qū)動系統(tǒng),導(dǎo)致USV的控制問題具有一定的挑戰(zhàn)性并得到了廣泛關(guān)注[1-2].根據(jù)不同任務(wù)需求,USV的控制目標(biāo)主要可以分為:鎮(zhèn)定控制[2-12]、軌跡跟蹤[13-14]、路徑跟蹤[15-17].

其中,鎮(zhèn)定控制可以使USV完成動力定位以及自主?？康热蝿?wù),控制目標(biāo)為設(shè)計控制器使USV所有狀態(tài)均收斂至給定的參考點(diǎn).其難點(diǎn)在于USV系統(tǒng)原點(diǎn)不滿足Brockett條件[18],即時不變光滑的狀態(tài)反饋控制律無法使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定.因此需要設(shè)計光滑時變[2-6]或不連續(xù)[7-12]的控制律.文獻(xiàn)[3]首次利用坐標(biāo)變換以及級聯(lián)系統(tǒng)理論將USV的鎮(zhèn)定控制問題簡化為4階子系統(tǒng)的鎮(zhèn)定控制問題,并引入關(guān)于時間t的三角函數(shù)設(shè)計光滑時變控制律使USV原點(diǎn)漸近收斂.在文獻(xiàn)[3]的基礎(chǔ)上,國內(nèi)外學(xué)者們進(jìn)行了一系列的改進(jìn)[4-11].文獻(xiàn)[4]提出了若干光滑時變控制律,首次實(shí)現(xiàn)了USV原點(diǎn)的指數(shù)收斂.文獻(xiàn)[5]利用頻率實(shí)化的變周期函數(shù)代替周期三角函數(shù)設(shè)計了光滑時變控制律,提高了系統(tǒng)的收斂速率;文獻(xiàn)[7]利用反步法設(shè)計了非光滑的控制律,并利用切換控制律避免系統(tǒng)奇異現(xiàn)象;文獻(xiàn)[8]提出的切換控制律首次實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)原點(diǎn)的κ指數(shù)收斂.為了增加系統(tǒng)的魯棒性,文獻(xiàn)[9-10]提出了簡單的比例微分(PD)控制器,由于犧牲了終端姿態(tài)角的自由度來增加系統(tǒng)魯棒性,無法實(shí)現(xiàn)最終航向角的鎮(zhèn)定,僅實(shí)現(xiàn)了USV的位置鎮(zhèn)定,并利用中心流形定理以及LaSalle定理證明了位置坐標(biāo)的漸近穩(wěn)定性.以上文獻(xiàn)中均假設(shè)USV 是上下對稱的,并不符合實(shí)際應(yīng)用[14],需考慮USV不對稱的情況.文獻(xiàn)[6,11]利用坐標(biāo)變換證明了不對稱USV的鎮(zhèn)定控制也可以等價于類似文獻(xiàn)[3]中子系統(tǒng)的鎮(zhèn)定控制問題,并設(shè)計切換控制律使不對稱USV 原點(diǎn)漸近穩(wěn)定[11],以及設(shè)計光滑時變控制律實(shí)現(xiàn)不對稱USV原點(diǎn)的κ指數(shù)收斂[6].

上述方法均是基于連續(xù)時間系統(tǒng)進(jìn)行USV鎮(zhèn)定控制器設(shè)計,系統(tǒng)內(nèi)部的采樣時間是固定的,即當(dāng)系統(tǒng)到達(dá)下一個采樣周期時,完成對控制信號的更新.若采樣頻率過高,不僅過度占用系統(tǒng)的資源,而且執(zhí)行器執(zhí)行次數(shù)過多,會減少執(zhí)行機(jī)構(gòu)使用壽命[15,19],而對控制品質(zhì)提高的程度有限;若采樣頻率過低,雖然節(jié)約了系統(tǒng)資源,但是控制品質(zhì)隨之變差.為了解決上述問題,文獻(xiàn)[13,15-17]利用事件觸發(fā)機(jī)制(eventtriggering mechanism,ETM)預(yù)設(shè)觸發(fā)條件,設(shè)計USV事件觸發(fā)控制器(event-triggered controller,ETC)實(shí)現(xiàn)了USV的軌跡跟蹤[13]以及路徑跟蹤[15-17].ETC的優(yōu)點(diǎn)在于,系統(tǒng)僅在滿足觸發(fā)條件的時刻更新控制量,可以節(jié)約系統(tǒng)資源以及減少執(zhí)行器操縱次數(shù),同時維持原有的控制品質(zhì).

通過以上分析可知,關(guān)于USV的ETC研究成果很少,且多集中于軌跡跟蹤以及路徑跟蹤問題.文獻(xiàn)[2,20]指出,由于需要同時約束USV的位置以及航向,USV的鎮(zhèn)定控制比軌跡跟蹤和路徑跟蹤更難實(shí)現(xiàn),因此用于軌跡跟蹤以及路徑跟蹤的ETC對于不對稱USV的鎮(zhèn)定控制并不適用.迄今僅文獻(xiàn)[12]利用T-S模糊規(guī)則描述對稱USV的數(shù)學(xué)模型,結(jié)合ETM 提出了ETC以實(shí)現(xiàn)對稱USV的漸近鎮(zhèn)定控制.然而在利用模糊規(guī)則建模時限制了USV的狀態(tài)變化范圍,導(dǎo)致結(jié)果并非全局的.

綜上所述,至今仍沒有關(guān)于對稱/不對稱USV 的ETC以保證系統(tǒng)原點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定.為了解決這一問題,結(jié)合實(shí)際的工程應(yīng)用,本文提出了一種ETC設(shè)計方法,以實(shí)現(xiàn)不對稱USV 的全局漸近鎮(zhèn)定控制.受以上文獻(xiàn)啟發(fā),本文采用坐標(biāo)變換以及級聯(lián)系統(tǒng)理論將不對稱USV的全局漸近鎮(zhèn)定控制問題等價于欠驅(qū)動子系統(tǒng)的全局漸近鎮(zhèn)定控制問題,通過引入時變函數(shù)構(gòu)造輔助變量以設(shè)計控制推力以及理想航向角速度,進(jìn)而設(shè)計控制力矩使不對稱USV跟蹤理想角速度,并結(jié)合基于切換策略的ETM得到關(guān)于控制推力以及控制力矩的ETC輸入,使不對稱USV閉環(huán)系統(tǒng)原點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定(globally asymptotically stable,GAS),最后通過仿真驗證所設(shè)計ETC的有效性.

2 模型變換

不對稱USV的運(yùn)動學(xué)動力學(xué)模型為[1,13]

利用式(2),可將系統(tǒng)(1)改寫為

對于系統(tǒng)(5),利用文獻(xiàn)[10]中的如下結(jié)論:

引理1狀態(tài)變換(4)是全局微分同胚的,系統(tǒng)(1)的鎮(zhèn)定問題可以轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)(5)的鎮(zhèn)定問題.

引理2如果存在控制律使子系統(tǒng)(5b)的狀態(tài)全局有界且GAS,則該控制律能使系統(tǒng)(5)的狀態(tài)全局有界且GAS.

利用以上兩個引理,可將不對稱USV全局漸近鎮(zhèn)定控制任務(wù)轉(zhuǎn)化為:設(shè)計關(guān)于控制推力τ1以及控制力矩τ2的ETC,使子系統(tǒng)(5b)的原點(diǎn)GAS.

3 主要結(jié)論

為了便于設(shè)計與分析,給出如下定義與引理:

3.1 ETC設(shè)計

定義采樣誤差Δi=?i(t)-τi(t),其中?i(t)為ETC控制信號.受文獻(xiàn)[22]的啟發(fā),設(shè)計事件觸發(fā)條件為

其中:k ∈Z表示記錄控制器觸發(fā)時刻的下標(biāo),ti,0=0為初始時刻;ETM設(shè)計參數(shù)滿足:Ci,Di,Γi ＞0;0＜δi ＜1.

觀察式(5b)可知,系統(tǒng)為欠驅(qū)動系統(tǒng),為了設(shè)計時變控制律以滿足Brockett條件解決欠驅(qū)動問題,利用時間周期函數(shù)ht構(gòu)造第1個輔助變量ξ1=z4+Φ(z2)ht.首先利用ξ1設(shè)計控制力τ1與理想角速度z6d漸近鎮(zhèn)定系統(tǒng)(5b)的前3個方程,再設(shè)計τ2使z6漸近跟蹤z6d,保證閉環(huán)系統(tǒng)GAS.控制系統(tǒng)框圖及ETC結(jié)構(gòu)圖如圖1-2所示.

圖1 控制系統(tǒng)框圖Fig.1 Diagram of the control system

圖2 ETC結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Structure of the ETC

注1上述過程可以概括為ETC在觸發(fā)時刻ti,k對信號?i(t)進(jìn)行采樣,并在t ∈[ti,k,ti,k+1)內(nèi)保持為τi(t)=?i(ti,k),當(dāng)采樣誤差Δi再次滿足觸發(fā)條件(6)時,記錄該觸發(fā)時刻為ti,k+1并再次對?i(t)進(jìn)行采樣,ETC控制量更新為?i(ti,k+1)并保持至下一觸發(fā)時刻.

注2上述方法的優(yōu)點(diǎn)在于預(yù)設(shè)切換門限Γi,當(dāng)|τi(t)|≥Γi時,控制幅值較大,此時ETC按固定門限策略|Δi|≥Ci觸發(fā),可以避免控制信號產(chǎn)生突變,防止系統(tǒng)震蕩;當(dāng)|τi(t)|＜Γi時,控制幅值較小,此時ETC按比例門限策略|Δi|≥δi|τi(t)|+Di觸發(fā),可以實(shí)現(xiàn)精確控制,保證系統(tǒng)控制精度.此外,,控制量大小恒為,從而該時間段內(nèi)ETC無需與外界通信,而且也減少了執(zhí)行機(jī)構(gòu)的操縱次數(shù),節(jié)約系統(tǒng)資源.

注3當(dāng)ξ1與～r的幅值較大時,式(7b)中?i(t)第1,3項起主要控制作用,可使|ξ1|與||快速減小;當(dāng)|ξ1|與||接近于0時,?i(t)第1,2項起主要控制作用,可以補(bǔ)償采樣誤差Δi對系統(tǒng)的影響,提高控制精度.

注4文獻(xiàn)[3]中已證明,利用坐標(biāo)變換,對稱USV的全局漸近鎮(zhèn)定控制問題也可以轉(zhuǎn)化為全局漸近鎮(zhèn)定子系統(tǒng)(5b),因此本文所提出的ETC設(shè)計思路也適用于對稱USV的全局漸近鎮(zhèn)定控制任務(wù).

3.2 穩(wěn)定性分析

本文的主要結(jié)果由如下兩個定理給出:

4 仿真驗證

為了驗證所提方法的有效性,本文與文獻(xiàn)[4]中的方法進(jìn)行了對比,采樣周期設(shè)為0.05 s.仿真結(jié)果如圖3-12所示.

圖3 x軸位置坐標(biāo)Fig.3 x-coordinate position

圖4 y軸位置坐標(biāo)Fig.4 y-coordinate position

圖5 航向角ψFig.5 Yaw angle ψ

圖6 縱向速度uFig.6 Surge velocity u

圖7 橫向速度vFig.7 Sway velocity v

圖3-8為不對稱USV的狀態(tài)變化曲線,結(jié)果表明,相比于文獻(xiàn)[4]中提出的方法,本文所提出的ETC具有更小的震蕩與超調(diào).這是由于初始時刻文獻(xiàn)[4]的控制輸入幅值較大且受到零階保持器的作用,導(dǎo)致了系統(tǒng)各個狀態(tài)變化劇烈.

由圖8 可知,系統(tǒng)最大瞬時航向角速度達(dá)到了-3 rad/s以上,對于USV系統(tǒng)來說是不可能實(shí)現(xiàn)的.由于本文引入了切換門限ETM并補(bǔ)償了Δi,可以避免控制信號的劇烈變化,防止系統(tǒng)震蕩.

圖8 航向角速度rFig.8 Yaw angular velocity r

圖9-10為本文控制輸入的變化曲線,由圖可知,τi在觸發(fā)時刻對信號?i(t)采樣并對控制輸入進(jìn)行更新.定義能量消耗指標(biāo)變化曲線如圖13所示,由圖可知文獻(xiàn)[4]的方法控制幅值較大,需消耗更多能量,而本文所提出的ETC利用更少的能量可以達(dá)到更好的控制效果.

圖9 控制推力τ1Fig.9 Control force τ1

圖10 控制力矩τ2Fig.10 Control moment τ2

圖11 τ1觸發(fā)間隔Fig.11 Triggering intervals of τ1

圖12 τ2觸發(fā)間隔Fig.12 Triggering intervals of τ2

圖13 控制器能量消耗Fig.13 Energy consumption of the controllers

圖11-12為本文ETC中τi各觸發(fā)時刻的間隔,結(jié)合圖14可知,文獻(xiàn)[4]中由于采樣周期為0.05 s,控制輸入在前30 s更新了600次;而采用本文設(shè)計的ETC,在前30 s控制力τ1更新了62次,控制力矩τ2更新了90次,執(zhí)行機(jī)構(gòu)的操縱次數(shù)顯著減少,可以減輕系統(tǒng)的負(fù)擔(dān).

圖14 控制器更新次數(shù)Fig.14 Times for update of the controllers

5 結(jié)論

本文通過坐標(biāo)變換將不對稱欠驅(qū)動水面機(jī)器人的全局漸近鎮(zhèn)定控制問題轉(zhuǎn)化為欠驅(qū)動子系統(tǒng)的全局漸近鎮(zhèn)定控制問題,針對變換后的系統(tǒng),利用周期時間函數(shù)構(gòu)造時變輔助變量設(shè)計控制推力以及理想航向角速度,并設(shè)計控制力矩實(shí)現(xiàn)對理想航向角速度的漸近跟蹤,結(jié)合切換門限事件觸發(fā)機(jī)制設(shè)計事件觸發(fā)全局漸近鎮(zhèn)定控制器使閉環(huán)系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定,并證明了該控制器是因果可實(shí)現(xiàn)的且不會發(fā)生Zeno現(xiàn)象.本文方法僅在系統(tǒng)滿足觸發(fā)條件時對控制器進(jìn)行更新,能夠節(jié)約系統(tǒng)資源以及減少執(zhí)行器操縱次數(shù),同時不會降低原有的控制品質(zhì).最后,仿真結(jié)果驗證了所提出方法的有效性.