喬赫廷 蔡高源

摘?要：本文基于SIMP拓?fù)鋬?yōu)化方法，提出了一種新的拓?fù)鋬?yōu)化模型，用于無鉸鏈柔順機(jī)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計。目的在于使機(jī)構(gòu)在保證傳輸效率的同時具有更高的穩(wěn)定性。根據(jù)目標(biāo)函數(shù)相對于設(shè)計變量的變化，推導(dǎo)出其靈敏度?；诘玫降撵`敏度數(shù)值進(jìn)行迭代計算，直到達(dá)到最優(yōu)拓?fù)?。最后，以反向位移機(jī)構(gòu)為例，驗(yàn)證了本文提出的模型對于無鉸鏈柔順機(jī)構(gòu)設(shè)計的有效性。

關(guān)鍵詞：柔順機(jī)構(gòu);拓?fù)鋬?yōu)化;靈敏度分析

1?介紹

柔順機(jī)構(gòu)是通過其自身材料的彈性變形實(shí)現(xiàn)力或位移從輸入端到輸出端傳遞的整體式結(jié)構(gòu)[1]。與傳統(tǒng)的剛性機(jī)構(gòu)相比，柔順機(jī)構(gòu)因其無須裝配與潤滑而具有運(yùn)動無噪聲、摩擦磨損小、可靠性高、易小型化等優(yōu)點(diǎn)。因此柔順機(jī)構(gòu)被廣泛應(yīng)用于生物醫(yī)療器械、超精密定位、航空航天等高新技術(shù)領(lǐng)域中，成為機(jī)械設(shè)計行業(yè)熱點(diǎn)之一[2]。

目前，柔順機(jī)構(gòu)主流的構(gòu)型設(shè)計方法為拓?fù)鋬?yōu)化方法（Topological?optimization?approach）。Ananthasuresh[3]于1994年首先基于拓?fù)鋬?yōu)化的思想設(shè)計柔順機(jī)構(gòu)，為柔順機(jī)構(gòu)的設(shè)計開辟了一條新的道路。隨后，許多學(xué)者針對柔順機(jī)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計進(jìn)行了探索性的研究。Euihark?Lee等[4]針對柔順機(jī)構(gòu)局部應(yīng)變高的問題提出了一種基于應(yīng)變約束的拓?fù)鋬?yōu)化方法。Daniel?M.De?Leon等[5]采用vonMises應(yīng)力P范數(shù)近似最大應(yīng)力的方式，將應(yīng)力約束引入到柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型中。Xiaojun?Wang等[6]在考慮各種不確定因素基礎(chǔ)上提出一種基于運(yùn)動誤差的柔順機(jī)構(gòu)魯棒性拓?fù)鋬?yōu)化方法。隨著結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化理論與方法的不斷完善，柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的模型和與之相應(yīng)的求解方法也日趨成熟。然而，基于傳統(tǒng)優(yōu)化模型所獲得的最優(yōu)拓?fù)湫问酵ǔ４嬖谔撱q（兩個構(gòu)件僅僅采用一個實(shí)體單元相連接的構(gòu)型方式，如圖1所示），導(dǎo)致柔順機(jī)構(gòu)具有偽剛體變形模式，即整體機(jī)構(gòu)的變形集中于虛鉸附近。

因此，如何避免柔順機(jī)構(gòu)中虛鉸的出現(xiàn)就成了柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計中的研究熱點(diǎn)。G.H.Yoon等[7]利用多尺度小波拓?fù)鋬?yōu)化公式設(shè)計柔順機(jī)構(gòu)以避免虛鉸的產(chǎn)生。Luo等[8]提出了一種新的混合濾波方案來解決數(shù)值不穩(wěn)定性問題，既能有效地消除棋盤格和網(wǎng)格依賴性，又能在一定程度上防止虛鉸的產(chǎn)生。Luo等[9]通過控制結(jié)構(gòu)中構(gòu)件的尺寸，提出了無鉸鏈?zhǔn)饺犴槞C(jī)構(gòu)水平集方法。Zhang等[10]將制造性約束引入到優(yōu)化模型中，來消除柔順機(jī)構(gòu)中難以制造的虛鉸。

然而，在保證柔順機(jī)構(gòu)輸出最大化的同時，其剛度無法進(jìn)行有效的保障，具有較大的隨機(jī)性。因此，提出一種具有理想剛度的無鉸鏈柔順機(jī)構(gòu)設(shè)計方法就顯得尤為重要。

本文以實(shí)現(xiàn)柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計為研究對象，避免最優(yōu)拓?fù)湫问匠霈F(xiàn)虛鉸鏈為目標(biāo)。提出了一種新的目標(biāo)函數(shù)，旨在找出無鉸鏈柔順機(jī)構(gòu)的柔度和剛度之間較為合適的平衡點(diǎn)，設(shè)計一種具有理想剛度的無鉸鏈柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)湫问健?/p>

2?優(yōu)化問題與優(yōu)化模型設(shè)計

2.1?基于SIMP方法的傳統(tǒng)拓?fù)鋬?yōu)化模型

基于SIMP方法的傳統(tǒng)拓?fù)鋬?yōu)化模型以柔順機(jī)構(gòu)輸出端的位移為目標(biāo)函數(shù)，通過優(yōu)化迭代計算使其最大化。具體的拓?fù)鋬?yōu)化模型如下：

式中，目標(biāo)函數(shù)C定義為輸出端節(jié)點(diǎn)位移;K為系統(tǒng)的剛度矩陣;U為載荷F作用下的節(jié)點(diǎn)位移矢量;F為輸入端加載的載荷;ve，xe，ue，ke分別代表單元e的體積，相對密度，節(jié)點(diǎn)位移及單元剛度矩陣;β為優(yōu)化體積比;V0為設(shè)計域的初始體積;xmin為單元相對密度的最小極限值0，為防止求解時奇異，本文中取xmin=0.001。

采用基于SIMP方法的傳統(tǒng)拓?fù)鋬?yōu)化模型來設(shè)計柔順機(jī)構(gòu)時，其最優(yōu)拓?fù)湫问酵ǔ４嬖谛┰S不足，以反向位移機(jī)構(gòu)為例，最終優(yōu)化結(jié)果如圖2所示：

通過最終優(yōu)化結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，基于SIMP的傳統(tǒng)拓?fù)鋬?yōu)化插值模型所得到的最優(yōu)構(gòu)型中存在明顯的虛鉸結(jié)構(gòu)，導(dǎo)致了虛鉸附近的應(yīng)力集中，機(jī)構(gòu)中應(yīng)變能過大且難以小型化等問題。這也對實(shí)際生產(chǎn)機(jī)構(gòu)的制造、性能、效率及使用壽命提出了不小的考研與挑戰(zhàn)。究其根本原因在于構(gòu)型中虛鉸的存在。因此，在機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計中，避免機(jī)構(gòu)中虛鉸的產(chǎn)生就顯得尤為重要。

2.2?基于SIMP方法的改進(jìn)拓?fù)鋬?yōu)化模型

如圖3a所示，Ω為給定載荷和邊界條件的基本設(shè)計域。假設(shè)Fin為輸入端i處的輸入力，F(xiàn)out為具有剛度為ks的彈簧在輸出端j處模擬其他工件對柔順機(jī)構(gòu)施加的反作用力。以此來建立優(yōu)化模型。高效的柔順機(jī)構(gòu)應(yīng)該保證其輸出端位移與輸入端位移的比值最大化，即機(jī)構(gòu)的幾何增益GA=dout/din最大化。柔順機(jī)構(gòu)除了要具備一定的柔度來完成預(yù)期的工作外，還應(yīng)保證自身具有一定的剛度來抵抗外力，保持自身的穩(wěn)定性。如圖3b所示，當(dāng)優(yōu)化模型的輸出端j被固定時，機(jī)構(gòu)自身就具備了一定的剛度來限制輸入端的位移。為了找到柔順機(jī)構(gòu)中柔度和剛度之間較為合適的平衡點(diǎn)，提出如下線性加權(quán)拓?fù)鋬?yōu)化模型：

式中SE=12uT3Ku3，其中U3為圖3b中載荷作用下的節(jié)點(diǎn)位移矢量;α為權(quán)重系數(shù);ve為優(yōu)化后的單元體積;xe為優(yōu)化后的單元相對密度;β為優(yōu)化體積比;V0為設(shè)計域的初始體積;K為系統(tǒng)的剛度矩陣;xmin為單元相對密度的最小極限值0，為防止求解時奇異，本文中取xmin=0.001。為了便于求解，可將機(jī)構(gòu)分解到兩個特殊位置進(jìn)行分析，如圖3c、圖3d所示。機(jī)構(gòu)輸入端位移din和輸出端位移dout可以分別表示為：

式中dij=uTjKui/Fi表示在力Fj的作用下柔順機(jī)構(gòu)在i端口處的位移，其中u1、u2分別為圖3c和圖3d中載荷作用下的節(jié)點(diǎn)位移矢量;θ為位移組合系數(shù)。進(jìn)而輸入力Fin和輸出力Fout可以分別表示為：

3?改進(jìn)拓?fù)鋬?yōu)化模型靈敏度分析

靈敏度分析意味著找到目標(biāo)函數(shù)f（xe）相對于設(shè)計變量xe密度的導(dǎo)數(shù)。為了實(shí)現(xiàn)基于SIMP方法的拓?fù)鋬?yōu)化，需要對其進(jìn)行靈敏度分析來指導(dǎo)優(yōu)化算法的搜索方向。

4?數(shù)值算例

反向位移機(jī)構(gòu)的設(shè)計如圖4所示，設(shè)計域取為80×80，利用平面4節(jié)點(diǎn)單元對設(shè)計域進(jìn)行有限元離散處理。具體參數(shù)如下表所示：

該算例中幾何增益GA與應(yīng)變能SE比值取為11∶9。通過觀察圖5、圖6、圖7得，改進(jìn)后的最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)型變形清楚地顯示出輸出端口（右邊緣的中心）在向輸出端口傳輸輸入力的同時，按所需的方向移動，且最終輸出位移遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于傳統(tǒng)優(yōu)化模型位移。所得到的拓?fù)漭^使用傳統(tǒng)SIMP優(yōu)化方法獲得的拓?fù)錁?gòu)型傳輸效率更高，且沒有任何虛鉸，避免了應(yīng)力集中等一系列問題，更加符合實(shí)際生產(chǎn)中需求。

實(shí)例表明，所提出的基于SIMP方法的改進(jìn)拓?fù)鋬?yōu)化模型能夠有效地解決無鉸鏈柔性機(jī)構(gòu)的設(shè)計問題，且優(yōu)化后的構(gòu)型能夠在保證傳輸效率的同時使結(jié)構(gòu)具有更高的穩(wěn)定性。

5?結(jié)論

本文提出了一種適用于無鉸鏈柔性機(jī)構(gòu)設(shè)計的基于SIMP方法的改進(jìn)拓?fù)鋬?yōu)化模型。優(yōu)化問題被表述為找出柔順機(jī)構(gòu)的柔度和剛度之間的平衡點(diǎn)。由于在目標(biāo)函數(shù)中引入了應(yīng)變能，成功地避免了鉸鏈的形成且保證了柔順機(jī)構(gòu)的穩(wěn)定性。數(shù)值算例表明，通過該模型設(shè)計的柔順機(jī)構(gòu)通過機(jī)構(gòu)自身的彈性變形可以得到理想的輸出位移和機(jī)構(gòu)穩(wěn)定性，證明了該模型對于無鉸鏈柔順機(jī)構(gòu)設(shè)計的有效性。

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基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金（51505298）;遼寧省自然科學(xué)基金計劃重點(diǎn)項(xiàng)目（20170520143）資助項(xiàng)目;遼寧省教育廳一般項(xiàng)目（LJGD2019008）

作者簡介：喬赫廷（1982—?），男，漢族，內(nèi)蒙古人，博士，副教授，結(jié)構(gòu)與多學(xué)科優(yōu)化設(shè)計。