周龍輝，石沛林，蔣軍錫，張亮，梁明磊，侯建偉

(山東理工大學(xué) 交通與車輛工程學(xué)院, 山東 淄博 255049)

車輛行駛安全問題一直是人們關(guān)注的熱點，由之產(chǎn)生的汽車主動安全是近年來國內(nèi)外研究的熱點之一。在車輛安全避撞方面，由于制動距離隨車速呈指數(shù)增長，因此在車速較高時制動避撞局限性較大。統(tǒng)計結(jié)果表明，至少有24%的追尾事故可以通過轉(zhuǎn)向規(guī)避[1]，故可采用轉(zhuǎn)向換道避撞的方式對制動避撞進(jìn)行彌補(bǔ)。

模型預(yù)測控制是一種滾動求解帶約束優(yōu)化問題的控制方法，其最大的優(yōu)勢是能在控制過程中增加多種約束，從而更合理有效地控制車輛的路徑規(guī)劃和跟蹤過程[2]。然而，對于較低附著路面下的轉(zhuǎn)向避撞軌跡跟蹤，模型預(yù)測軌跡跟蹤控制仍然容易出現(xiàn)車輛穩(wěn)定性較差、控制調(diào)整時間較長及控制量調(diào)整過大等問題。為此，在車輛避撞軌跡跟蹤過程中，提出對車輛施加橫擺力矩控制以提高車輛穩(wěn)定性，從而減少軌跡跟蹤控制調(diào)整時間，更快、更準(zhǔn)確地跟蹤規(guī)劃軌跡。

近年來，學(xué)者們針對汽車橫擺力矩控制方法展開大量研究，主要的控制方法有PID控制、模糊控制、滑模變結(jié)構(gòu)控制等。劉陽等[3]基于滑膜控制理論和模糊控制理論，設(shè)計四輪獨立驅(qū)動電動汽車轉(zhuǎn)向穩(wěn)定性的橫擺力矩控制策略，仿真分析表明，能夠保證汽車轉(zhuǎn)向行駛的穩(wěn)定性。林程等[4]設(shè)計了以橫擺角速度、質(zhì)心側(cè)偏角以及橫擺角速度與質(zhì)心側(cè)偏角聯(lián)合作為控制變量的3種等速趨近滑模變結(jié)構(gòu)控制器，并利用仿真平臺進(jìn)行了驗證，但滑模控制抖震現(xiàn)象較為嚴(yán)重。

本文采用模型預(yù)測軌跡跟蹤與線性二次型調(diào)解器(LQR)對車輛橫擺力矩聯(lián)合控制的方法，實現(xiàn)車輛避撞軌跡跟蹤過程中車輛的穩(wěn)定性控制，改善軌跡跟蹤控制效果。

1 模型預(yù)測軌跡跟蹤控制

1.1 車輛動力學(xué)模型

運用模型預(yù)測軌跡跟蹤控制首先需要建立相應(yīng)的車輛理想化模型。本文采用具有側(cè)向、橫擺和縱向運動3個自由度的車輛模型，如圖1所示。

圖1中，坐標(biāo)系o-xyz為車身坐標(biāo)系，原點o為車輛質(zhì)心所在點，x軸方向為車輛前進(jìn)方向，y軸與車輛前進(jìn)方向垂直，z軸垂直于xoy平面；坐標(biāo)系O-XYZ為地面坐標(biāo)系。

圖1 三自由度車輛模型

模型預(yù)測軌跡跟蹤控制的主要目的是使車輛快速而穩(wěn)定地跟蹤期望路徑，屬于車輛操縱穩(wěn)定性問題，因此對懸架特性不作深入探究[5]。將車輛動力學(xué)模型進(jìn)行如下理想化假設(shè)：車輛沒有俯仰和側(cè)傾運動；不考慮懸架垂直運動；忽略空氣動力學(xué)影響；忽略因輪胎載荷變化而引起的輪胎特性變化及回正力矩變化[6]。根據(jù)牛頓第二定律建立車輛運動微分方程，即

(1)

式中：a，b分別為車輛質(zhì)心到前、后軸的距離；m為車輛整備質(zhì)量；Iz為車輛繞z軸的轉(zhuǎn)動慣量；ωr為汽車橫擺角速度；Fxf，F(xiàn)xr分別為前后輪胎在x軸方向上所受的合力；Fyf，F(xiàn)yr分別為前后輪胎在y軸方向上所受的合力；vx，vy分別為車輛在x軸、y軸上的速度。

車輛高速行駛時，一般情況下，前輪轉(zhuǎn)角都較小。為簡化模型預(yù)測控制器的設(shè)計，在車輪側(cè)偏角、車輛側(cè)向加速度較小的前提下，可將輪胎側(cè)偏角與側(cè)偏力看成線性關(guān)系。故在輪胎力的計算過程中提出小角度假設(shè)，即滿足如下近似條件：

cosα≈1,sinα≈α,tanα≈α。

此時前后輪胎的側(cè)偏角αf，αr計算關(guān)系式為

(2)

式中δf為前輪轉(zhuǎn)角。

輪胎的滑移率計算關(guān)系式為

(3)

式中：ωw為車輪角速度；Re為車輪的滾動半徑。

則前、后輪胎的側(cè)向力為

Fyf=Ccfαf,Fyr=Ccrαr，

(4)

前、后輪胎的縱向力為

Fxf=Clfsf,Fxr=Clrsr，

(5)

式中：Ccf，Clf分別為前輪的側(cè)偏、縱向剛度；Ccr，Clr分別為后輪的側(cè)偏、縱向剛度；sf，sr分別為前輪、后輪的滑移率。

由于軌跡跟蹤過程中需對車輛位置進(jìn)行預(yù)測計算，故將車身坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換為慣性坐標(biāo)系，則車輛在慣性坐標(biāo)系下的速度公式為

(6)

將輪胎力計算式(4)、(5)代入式(1)，得到線性輪胎假設(shè)條件下的三自由度車輛動力學(xué)模型。附加車輛坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系式(6)，整合得到

(7)

1.2 模型預(yù)測控制器設(shè)計

由于當(dāng)前得到的是非線性系統(tǒng)，不能直接用于線性時變模型預(yù)測控制，故通過線性化方法[5]將式(7)線性化，得到線性時變方程

(8)

采用一階差商方法將系統(tǒng)方程離散化，得到新的系統(tǒng)狀態(tài)表達(dá)式

ξ(k+1)=A(k)ξ(k)+B(k)μ(k)，

(9)

式中：A(k)=I+TA(t)；B(k)=TB(t)；T為采樣周期；I為單位矩陣。

由于車輛前輪轉(zhuǎn)角改變量過大容易造成危險，且實際前輪轉(zhuǎn)角控制執(zhí)行裝置存在物理極限，需增加約束將前輪轉(zhuǎn)角δf和前輪轉(zhuǎn)角增量Δδf限制在合理區(qū)間內(nèi),故將前輪轉(zhuǎn)角控制增量作為最終輸出的控制量，從而便于設(shè)定相關(guān)約束。

設(shè)定

(10)

(11)

設(shè)預(yù)測時域為Np，控制時域為Nc，預(yù)測方程進(jìn)一步寫成

Y=Φkχ(k|t)+θkΔU(k)，

(12)

η=CY，

(13)

以前輪轉(zhuǎn)角增量作為目標(biāo)函數(shù)的控制量，目標(biāo)函數(shù)表示為

(14)

式中：Q和R為權(quán)重矩陣；ρ為權(quán)重系數(shù)；ε為松弛因子。

設(shè)前輪轉(zhuǎn)角范圍和增量范圍約束條件為

|δf|≤10°；|Δδf|≤1°。

最后運用Matlab的二次規(guī)劃優(yōu)化函數(shù)quadprog實時規(guī)劃求解，得當(dāng)前時刻前輪轉(zhuǎn)角增量，并與上一時刻前輪轉(zhuǎn)角求和，進(jìn)而輸出當(dāng)前時刻前輪轉(zhuǎn)角。

2 橫擺力矩控制

2.1 控制模型的建立

汽車在良好附著路面上以較小的側(cè)向加速度(一般認(rèn)為小于0.4g)轉(zhuǎn)向時，汽車的操縱特性可近似用線性二自由度車輛模型來描述，這時汽車操縱特性比較理想，駕駛員比較容易操縱汽車，汽車也是穩(wěn)定的[7]。因此，本文將穩(wěn)態(tài)時的線性二自由度車輛模型輸出的橫擺角速度參數(shù)作為汽車穩(wěn)定性控制的目標(biāo)，通過控制器產(chǎn)生附加橫擺力矩，使車輛狀態(tài)參數(shù)逼近控制目標(biāo)參數(shù)，實現(xiàn)車輛穩(wěn)定性控制。

穩(wěn)態(tài)時車輛線性二自由度模型[8]表達(dá)式為

(15)

由此得到基于二自由度車輛模型的橫擺角速度參考穩(wěn)態(tài)值為

(16)

車輛安全行駛時，側(cè)向加速度ay不能超過輪胎與地面能夠產(chǎn)生的最大側(cè)向加速度，于是設(shè)定理想橫擺角速度的最大值約束，即

(17)

式中：g為重力加速度；μ為路面附著系數(shù)。

為盡量限制車輛側(cè)滑，質(zhì)心側(cè)偏角參考穩(wěn)態(tài)值設(shè)為0[9]。即

βref=0。

(18)

將汽車?yán)硐氲馁|(zhì)心側(cè)偏角βref、理想的橫擺角速度ωref、前輪轉(zhuǎn)角δf代入線性二自由度車輛模型中，得狀態(tài)方程如下：

(19)

汽車在失穩(wěn)或接近失穩(wěn)時已無法近似為線性系統(tǒng)，但為了尋找汽車橫擺穩(wěn)定力矩和汽車狀態(tài)誤差之間的簡化關(guān)系，假定車輛的操縱特性依然采用A和B矩陣[8]，得到下式:

(20)

將式(20)減去式(19)得

(21)

式中：Δβ=β-βref；Δω=ω-ωref。

式(21)可近似描述車輛實際參數(shù)和理想?yún)?shù)偏差與車輛穩(wěn)定性控制所需附加橫擺力矩之間的關(guān)系。由此關(guān)系式即可運用LQR方法求解最優(yōu)的附加橫擺力矩。

2.2 線性二次型最優(yōu)求解

建立反映對狀態(tài)誤差和控制量要求的目標(biāo)函數(shù)，即

(22)

式中：xlqr=[Δβ,Δω]Τ；ulqr=[ΔM]。

根據(jù)LQR方法，最優(yōu)控制量表示為

u=-Klqr·x(t)

(23)

式中Klqr為狀態(tài)反饋系數(shù)矩陣，且Klqr=[k1,k2]。

使用Matlab軟件中的lqr函數(shù)求解得到

(24)

從而得到附加橫擺力矩為

ΔM=-k1Δβ(t)-k2Δω(t)。

(25)

2.3 輪胎力優(yōu)化分配

基于LQR方法求解出所需的附加橫擺力矩，最終需要通過控制車輪制動力進(jìn)而控制輪胎與地面之間的作用力來實現(xiàn)。本文采用基于最優(yōu)輪胎力分配方法，考慮輪胎附著約束條件，引入優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，實現(xiàn)對制動力的分配。

2.3.1 輪胎力計算

求解輪胎力分配目標(biāo)函數(shù)及建立相關(guān)約束需要通過輪胎模型對輪胎力進(jìn)行計算估計。dugoff輪胎模型具有需求參數(shù)少、可以較好地表達(dá)輪胎非線性特征等優(yōu)點，故本文采用dugoff輪胎模型對輪胎力進(jìn)行估算。

車輛各輪垂直載荷如下：

(26)

式中：Bw為車輛輪距；h為車輛質(zhì)心高度；ax為車輛縱向加速度；ay為車輛側(cè)向加速度；Fz1為左前輪垂向載荷；Fz2為右前輪垂向載荷；Fz3為左后輪垂向載荷；Fz4為右后輪垂向載荷。

dugoff輪胎模型的輪胎側(cè)向力數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(27)

2.3.2 目標(biāo)函數(shù)與約束條件建立

本文基于每個車輪的垂向載荷和能夠提供的最大附著力建立目標(biāo)函數(shù)，即

(28)

式中：Fxi為各輪目標(biāo)縱向制動力；Fyi為式(27)得出的各輪側(cè)向力輪胎模型計算值；Fzi為式(26)得出的各輪垂向力估計值。

由于在較低附著路面，通過輪胎制動能夠產(chǎn)生的橫擺力矩飽和后，不能達(dá)到上層控制器所期望的附加橫擺力矩，故控制器分配到各輪胎上的制動力繞車輛z軸產(chǎn)生的力矩應(yīng)不大于當(dāng)前路面能夠產(chǎn)生的最大附加橫擺力矩，從而得到下式：

(29)

式中：Bw為車輛輪距；ΔMmax為當(dāng)前路面能夠產(chǎn)生的最大附加橫擺力矩。

本文采用忽略縱向與側(cè)向附著力差異的輪胎附著圓[8]作為輪胎力極限約束，故輪胎的縱向力和側(cè)偏力應(yīng)滿足

(30)

對于制動控制，約束是單邊的[10]，所以制動控制下輪胎縱向力約束條件為

(31)

2.3.3 輪胎力最優(yōu)分配算法仿真實現(xiàn)

確定目標(biāo)函數(shù)和約束條件后，輪胎力分配即可轉(zhuǎn)變?yōu)榉蔷€性規(guī)劃問題進(jìn)行求解。使用Matlab軟件中的fmincon函數(shù)在s-function中實時運行求解，即可得到對應(yīng)的輪胎制動力Fxi，進(jìn)而將制動力轉(zhuǎn)化得到最終實現(xiàn)控制所需的制動輪缸壓力，從而實現(xiàn)控制。

3 仿真分析

本文通過Matlab/Simulink與Carsim軟件，對所設(shè)計的避撞軌跡跟蹤及車輛穩(wěn)定性控制進(jìn)行仿真分析。仿真實驗中的車輛模型參數(shù)見表1。

表1 車輛模型參數(shù)

目前，基于車輛避撞的換道軌跡有多種，對比分析后采用滿足規(guī)劃路徑起止點約束和路徑曲率約束的五次多項式換道軌跡。在O-XYZ地面坐標(biāo)系中避撞軌跡方程如下：

(32)

式中：W為側(cè)向位移量；d為避撞軌跡長度。

設(shè)車輛以75 km/h的車速在附著系數(shù)為0.4的路面上行駛。由于車輛在該仿真工況下采用短距離避撞軌跡易發(fā)生危險，又需通過跟蹤避撞軌跡改善車輛縱向制動避撞局限性，故保守采用長度為40 m的避撞軌跡，同時選取一般道路寬度3.75 m作為軌跡側(cè)向位移量。

為對比不同控制方法的作用效果，本文將仿真實驗分為兩種，分別為僅使用軌跡跟蹤控制和使用軌跡跟蹤、橫擺力矩聯(lián)合控制兩種情況，并選取車輛行駛軌跡、橫擺角速度、質(zhì)心側(cè)偏角、前輪轉(zhuǎn)角作為評價指標(biāo)，對不同控制方法車輛避撞過程的穩(wěn)定性及軌跡跟蹤效果進(jìn)行分析。

圖2為兩種控制施加情況對應(yīng)的車輛行駛軌跡對比。由圖2可知，單一軌跡跟蹤控制的車輛在避撞過程中出現(xiàn)了兩次遠(yuǎn)離理想軌跡的較不穩(wěn)定行駛軌跡；聯(lián)合控制的車輛軌跡雖出現(xiàn)了少量超調(diào)，但行駛軌跡更加穩(wěn)定，沒有出現(xiàn)行駛軌跡再次遠(yuǎn)離理想軌跡的情況。

圖2 行駛軌跡仿真曲線

圖3為兩種控制施加情況下仿真得出的車輛橫擺角速度曲線。從圖3中可以看出，僅使用模型預(yù)測軌跡跟蹤控制的車輛，在避撞軌跡跟蹤過程中的橫擺角速度變化較大，震蕩時間長；施加聯(lián)合控制后，橫擺角速度變化明顯被抑制，到達(dá)穩(wěn)定值的時間提前，表明車輛能夠更快地到達(dá)穩(wěn)定行駛狀態(tài)。

圖3 橫擺角速度曲線

圖4為兩種控制施加情況下仿真得出的質(zhì)心側(cè)偏角曲線圖。從圖4中可以看出，僅使用模型預(yù)測軌跡跟蹤控制的車輛，在避撞軌跡跟蹤過程中質(zhì)心側(cè)偏角變化較大、曲線變化率較大、震蕩時間較長；采用聯(lián)合控制方法后，車輛的質(zhì)心側(cè)偏角的絕對值不超過0.05°，曲線變化量得到抑制、曲線變化率明顯減小，說明控制器有效提高了車輛行駛過程中的穩(wěn)定性。

圖4 質(zhì)心側(cè)偏角仿真曲線

圖5為兩種控制施加情況下仿真得出的前輪轉(zhuǎn)角輸出值。由圖5可知，僅使用模型預(yù)測軌跡跟蹤控制的車輛前輪轉(zhuǎn)角變化量較大，跟蹤理想軌跡的調(diào)整時間長；施加聯(lián)合控制的車輛，軌跡跟蹤過程中調(diào)整時間變短，前輪轉(zhuǎn)角變化量減小，車輛前輪能夠更快地回正。結(jié)合圖2也可以發(fā)現(xiàn)，施加聯(lián)合控制的車輛能更快地到達(dá)直線行駛軌跡。這表明橫擺力矩控制器對模型預(yù)測軌跡跟蹤控制器起到了較好的輔助作用，能有效提升軌跡跟蹤效果。

圖5 前輪轉(zhuǎn)角仿真曲線

4 結(jié)論

本文結(jié)合模型預(yù)測軌跡跟蹤控制與汽車橫擺力矩控制實現(xiàn)對避撞軌跡的跟蹤。仿真結(jié)果表明：

1)在附著系數(shù)為0.4的較低附著系數(shù)路面條件下，采用增加橫擺力矩控制的聯(lián)合控制方法，提升了模型預(yù)測軌跡跟蹤控制效果和車輛穩(wěn)定性。

2)與單一軌跡跟蹤控制相比，采用模型預(yù)測軌跡跟蹤與橫擺力矩聯(lián)合控制后， 車輛能夠更快地跟蹤到預(yù)設(shè)直線行駛軌跡，降低前輪轉(zhuǎn)角調(diào)整幅值。