□□ 張巨銀，王文達(dá)，王學(xué)平，牟龍龍，趙志琦

(1.甘肅省特種設(shè)備檢驗(yàn)檢測(cè)研究院，甘肅 蘭州 730050；2.寧夏特種設(shè)備檢驗(yàn)檢測(cè)院，寧夏 銀川 750000)

引言

GB/T 19624—2019《在用含缺陷壓力容器安全評(píng)定》[1]于2020年1月1日正式頒布實(shí)施。該標(biāo)準(zhǔn)以裂紋張開位移和應(yīng)力強(qiáng)度因子為主要參量，以彈塑性雙判據(jù)法為基礎(chǔ)，對(duì)壓力容器缺陷進(jìn)行安全評(píng)定。

應(yīng)力強(qiáng)度因子為表征裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)強(qiáng)度的物理量，是含缺陷壓力容器安全評(píng)定的重要內(nèi)容，其求解方式主要有解析法和數(shù)值法。GB/T 19624—2019中詳細(xì)地區(qū)分了壓力容器的缺陷類型，并規(guī)定了各種缺陷的安全評(píng)估方法，同時(shí)也加入了更多缺陷評(píng)估中間參量的計(jì)算模型和方法。在平面缺陷的評(píng)估中，明確地指出了多種情況下的應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算模型，評(píng)定人員可以根據(jù)相應(yīng)的模型來便捷地計(jì)算相應(yīng)的工程問題。

盡管目前標(biāo)準(zhǔn)中的計(jì)算模型可以覆蓋部分常見工程結(jié)構(gòu)，但對(duì)于一些較為特殊的問題還是無從下手，而利用XFEM技術(shù)計(jì)算裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子則具有更好的適應(yīng)性。XFEM技術(shù)可以快速準(zhǔn)確地建立含缺陷結(jié)構(gòu)的有限元計(jì)算模型。

本文以平板裂紋模型為例，分別采用GB/T 19624—2019中的解析法和XFEM數(shù)值法對(duì)相同工況下裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子進(jìn)行求解，并對(duì)兩種方法所得計(jì)算結(jié)果的差異性進(jìn)行對(duì)比分析。

1 XFEM技術(shù)的介紹

擴(kuò)展有限元法(XFEM)自Belytschko T等[2]首次提出以來，在斷裂力學(xué)領(lǐng)域的研究中得到了一定程度的普及與發(fā)展。ZHUANG Z等[3]基于XFEM計(jì)算出的數(shù)值結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，證明了XFEM計(jì)算的準(zhǔn)確性及效率；郭歷倫等[4]對(duì)制約擴(kuò)展有限元發(fā)展的兩個(gè)問題及其修正方法進(jìn)行了討論；陳華等[5]基于XFEM計(jì)算了裂尖應(yīng)力變化及裂紋擴(kuò)展期間的能量變化，體現(xiàn)了擴(kuò)展有限元法的準(zhǔn)確性以及其在裂紋擴(kuò)展領(lǐng)域得天獨(dú)厚的優(yōu)勢(shì)，為工程實(shí)際應(yīng)用提供參考。

擴(kuò)展有限元法的基本思路是利用不同的單元位移模型來對(duì)裂紋路徑上單元的位移不連續(xù)性進(jìn)行描述。根據(jù)與裂紋擴(kuò)展路徑的位置關(guān)系，有限元模型中的單元類型被劃分為三種：常規(guī)單元、裂紋貫穿單元以及裂紋處單元，如圖1所示。

圖1 數(shù)值模型單元示意圖

三種單元的位移模式見式(1)～(3)。

ui(x)=∑Niui

(1)

uj(x)=∑(Niui+NjH(x)uj)

(2)

uk(x)=∑(Niui+NkφSuk)

(3)

式中，i、j、k分別對(duì)應(yīng)常規(guī)單元、裂紋貫穿單元以及裂紋處單元，Ni、Nj和Nk分別為三種單元的位移形函數(shù)，ui、uj以及uk為相應(yīng)單元的節(jié)點(diǎn)位移。H(x)與φS為Heaviside函數(shù)與裂尖增強(qiáng)函數(shù)，分別用于描述裂紋面與裂紋尖端的不連續(xù)性，具體見式(4)和(5)。

式中，r與θ為以裂紋尖端的原點(diǎn)的極坐標(biāo)系坐標(biāo)值。

通常，XFEM中裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子會(huì)采用相互作用積分法來計(jì)算，其求解的相應(yīng)過程在文獻(xiàn)[6-7]中有較為詳細(xì)的說明，這里就不再贅述。本文的數(shù)值計(jì)算過程在ALOF軟件中進(jìn)行，它是基于XFEM技術(shù)開發(fā)的國(guó)產(chǎn)有限元軟件，可以快速計(jì)算復(fù)雜三維模型上裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子，在一些工程案例中得到了良好的應(yīng)用。

2 解析解計(jì)算模型

GB/T19624—2019《在用含缺陷壓力容器安全評(píng)定》提供了常見含缺陷結(jié)構(gòu)缺陷尖端部位的應(yīng)力強(qiáng)度因子K的計(jì)算公式，在此主要介紹標(biāo)準(zhǔn)中平板(板寬2W，板長(zhǎng)2L，板厚B)表面裂紋和埋藏裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子求解的計(jì)算模型。

GB/T19624規(guī)定在計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子時(shí)，所取用的應(yīng)力是缺陷部位的主應(yīng)力，計(jì)算該主應(yīng)力時(shí)采用線彈性計(jì)算方法，并假設(shè)結(jié)構(gòu)中不存在缺陷。沿板厚方向利用應(yīng)力線性化規(guī)則計(jì)算薄膜應(yīng)力σm與彎曲應(yīng)力σB，計(jì)算方法見式(6)和式(7)。

式中，σ1、σ2可分別取模型厚度方向兩個(gè)表面的第一主應(yīng)力。

裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子表達(dá)式見式(8)。

式中，a為裂紋半長(zhǎng)，fm、fb分別為裂紋構(gòu)形因子。

對(duì)于半橢圓表面裂紋，其構(gòu)形因子計(jì)算見式(9)～(12)。

(9)

式中，c為裂紋深度，B為平板厚度，上標(biāo)A與B分別為裂紋深度處K的裂紋構(gòu)形因子與裂紋長(zhǎng)度方向兩端處K的裂紋構(gòu)形因子。

對(duì)于橢圓埋藏裂紋，其構(gòu)形因子計(jì)算見式(13)～(16)。

(14)

(15)

(16)

式中，c為裂紋高度的一半，B為平板厚度，上標(biāo)A與B分別為裂紋深度處K的裂紋構(gòu)形因子與裂紋長(zhǎng)度方向兩端處K的裂紋構(gòu)形因子。

3 解析解模型與結(jié)果

依據(jù)GB/T19624的計(jì)算模型來計(jì)算平板上表面裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子。在通用有限元軟件中建立如圖2所示的正方體平板模型，其中，L=160mm，B=30mm，左端為固定邊界，右端施加140MPa的拉力。材料彈性模量取210 000MPa，泊松比取0.3。

圖2 數(shù)值模型

在計(jì)算完成后，沿板厚方向取上下兩個(gè)面的第一主應(yīng)力σ1、σ2，其值均為143MPa，進(jìn)一步根據(jù)應(yīng)力線性化規(guī)則和公式(6)、(7)計(jì)算得到σm與σB，分別為143MPa與0。

平板上的裂紋的尺寸見表1。

表1 裂紋尺寸 mm

將以上數(shù)據(jù)代入標(biāo)準(zhǔn)第二部分的計(jì)算公式中即可計(jì)算得到裂紋的K1值，計(jì)算結(jié)果見表2。

表2 解析解計(jì)算結(jié)果 N/mm3/2

4 數(shù)值解模型與結(jié)果

采用XFEM技術(shù)實(shí)現(xiàn)平板裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子數(shù)值法求解，主要步驟如下：

(1)建立正方形平板數(shù)值模型，其尺寸和受力狀況均與上文解析法求解部分所建立的模型保持一致。

(2)建立一個(gè)半橢圓平面型裂紋，裂紋的短半軸長(zhǎng)度為5mm，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)度為8mm。采用三角形網(wǎng)格對(duì)其進(jìn)行離散。

(3)建立一個(gè)橢圓埋藏型裂紋，裂紋的短半軸長(zhǎng)度為2.5mm，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)度為8mm。采用三角形網(wǎng)格對(duì)其進(jìn)行離散。

(4)分別將平板模型和兩種裂紋模型進(jìn)行耦合，形成含缺陷模型。圖3為耦合得到的含半橢圓裂紋缺陷平板的數(shù)值模型；圖4為表面裂紋和埋藏裂紋分別在平板模型壁厚方向所處狀態(tài)的局部視圖。

圖3 含半橢圓裂紋缺陷的平板模型

圖4 裂紋在平板壁厚方向所處位置的示意圖

(5)完成計(jì)算，直接輸出應(yīng)力強(qiáng)度因子值。表面裂紋最大應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算結(jié)果為：KI=451.16N/mm3/2。埋藏裂紋最大應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算結(jié)果為：KI=326.54N/mm3/2。

表3為解析計(jì)算結(jié)果與XFEM數(shù)值計(jì)算結(jié)果的對(duì)比，可以看出兩種方法計(jì)算結(jié)果的最大相對(duì)誤差在10%左右，數(shù)值法結(jié)果普遍小于解析法結(jié)果。同時(shí)，數(shù)值法結(jié)果更加求準(zhǔn)，解析法結(jié)果更加保守，更有利于保證含缺陷承壓設(shè)備的安全使用。當(dāng)然XFEM數(shù)值法在計(jì)算含缺陷壓力容器的應(yīng)力強(qiáng)度因子中也具有較好的適用性。

表3 規(guī)范計(jì)算結(jié)果與數(shù)值解最大值對(duì)比

5 結(jié)論

5.1GB/T19624—2019中解析解計(jì)算流程明確，算法直接，但其所用公式復(fù)雜，并且需要借助有限元軟件對(duì)模型前期的受力狀態(tài)進(jìn)行求解。

5.2XFEM技術(shù)對(duì)求解應(yīng)力強(qiáng)度因子有良好適應(yīng)性，其建模簡(jiǎn)單，計(jì)算結(jié)果輸出方便，需要使用者掌握一定的有限元基礎(chǔ)知識(shí)。

5.3 兩種方法計(jì)算平板表面裂紋模型應(yīng)力強(qiáng)度因子結(jié)果的相對(duì)誤差在10%左右，可以達(dá)到工程計(jì)算精度要求，應(yīng)視具體情況選用合適的方法進(jìn)行計(jì)算。