王寶順，何浩祥，閆維明

(北京工業(yè)大學(xué)工程抗震與結(jié)構(gòu)診治北京市重點試驗室，北京 100124)

結(jié)構(gòu)在風(fēng)振及地震等隨機動力荷載或作用下會產(chǎn)生明顯的振動，從而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的舒適性甚至安全性下降。為了減小結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)，研究者提出了眾多結(jié)構(gòu)振動控制理論、方法與技術(shù)[1?3]。被動控制中的調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(Tuned massdamper，TMD)是一種高效便捷的振動控制裝置[4]，其減振機理明確，在風(fēng)振和地震下均可有效降低結(jié)構(gòu)響應(yīng)。與其它被動控制裝置(如位移相關(guān)型阻尼器及速度相關(guān)型阻尼器)相比，TMD具有占用空間小、維修更換容易及不需要對結(jié)構(gòu)設(shè)計方案進行調(diào)整等優(yōu)點。然而TMD對頻率過于敏感，當(dāng)動力荷載頻率較豐富時甚至?xí)糯蠼Y(jié)構(gòu)響應(yīng)，且其對高階振型比例顯著的多自由度結(jié)構(gòu)的控制效果較差。近年來，盡管多重TMD、自適應(yīng)TMD和電渦流TMD等新型裝置被提出并力求改進傳統(tǒng)TMD的性能，但TMD仍然存在減振頻帶窄、減振穩(wěn)定性弱及成本較高的不足，這限制了TMD的推廣和應(yīng)用。

將傳統(tǒng)TMD與其它被控控制裝置共同安裝在受控結(jié)構(gòu)上從而形成復(fù)合減振體系是改進TMD控制效果的一種思路。對于TMD與位移相關(guān)型阻尼器結(jié)合的復(fù)合減振方案，阻尼器會改變受控結(jié)構(gòu)的頻率和振型從而增加TMD的設(shè)計難度，甚至加大TMD的位移失調(diào)的風(fēng)險，因此兩者的結(jié)合未必形成優(yōu)勢互補。對于速度相關(guān)型阻尼器，若將其與TMD同時安置在結(jié)構(gòu)上，并不會顯著拓寬TMD的減振頻帶，反而會降低速度型阻尼器的減震性能。另外，由于被動型阻尼器不易在既有結(jié)構(gòu)中安裝，且成本較高，因此相應(yīng)的復(fù)合減振方案的性價比并不高。此外，諸如碰撞TMD[5]、單邊沖擊TMD[6]等方案的確可以拓寬TMD的減振頻帶并提高其減振魯棒性，但往往強調(diào)用單一裝置同時實現(xiàn)調(diào)諧減振和碰撞耗能，而由于二者的減振機理有本質(zhì)的不同，很難實現(xiàn)在動力全時程中的充分耗能和優(yōu)化設(shè)計，減振效率并不突出。因此，針對TMD的特性提出新的復(fù)合減振方法具有重要的理論和工程意義。

近些年，顆粒阻尼器以其具有布置靈活、安裝方便、減振頻帶寬、魯棒性強和成本低等優(yōu)點成為研究熱點[7]。顆粒阻尼器最初的形式為如圖1(a)所示的單顆粒阻尼器[8]，隨后被發(fā)展為如圖1(b)所示的多顆粒阻尼器[9]，Lu等[10]和閆維明等[11]因多顆粒阻尼器減振頻帶寬的特點將其與TMD相串聯(lián)，提出了顆粒調(diào)諧質(zhì)量阻尼器，并通過振動臺試驗驗證了其在地震激勵下具有更好的魯棒性。然而多顆粒阻尼器由于顆粒堆積效應(yīng)導(dǎo)致減振效率偏低。有鑒于此，閆維明等[12]出了并聯(lián)式單向單顆粒阻尼器(Parallel Single-Dimensional Single Particle Damper,PSSPD)，如圖1(c)所示，其屬于加速度相關(guān)型阻尼器，并具有機理明確、減振頻帶寬、減振效率更高且適合應(yīng)用于建筑結(jié)構(gòu)減振等優(yōu)點。若直接按Lu等[10]的方案將PSSPD與TMD串聯(lián)，確實也可以提高TMD的減振效果及拓寬減振頻帶，但是串聯(lián)之后的減振機理及參數(shù)耦合復(fù)雜，導(dǎo)致其理論分析與數(shù)值模擬較困難。此外，若將PSSPD與TMD串聯(lián)，其復(fù)合體系對受控結(jié)構(gòu)的減振實質(zhì)還是TMD的調(diào)諧作用，由于PSSPD直接與TMD發(fā)生碰撞而只能間接對受控結(jié)構(gòu)產(chǎn)生振動抑制效果，這樣將降低PSSPD的減振效果。因此，可以將PSSPD與TMD并聯(lián)形成復(fù)合減振體系，經(jīng)過合理設(shè)計將實現(xiàn)兩者優(yōu)勢互補，即PSSPD拓寬了TMD的減振頻帶，而TMD提高了PSSPD的減振性能及魯棒性，使復(fù)合阻尼器具有顯著的減振效果。

圖1 顆粒阻尼器示意圖Fig.1 Schematic diagram of particle damper

關(guān)于PSSPD與TMD并聯(lián)的復(fù)合減振體系力學(xué)模型、減振機理及性能與減震效果的研究以及如何合理設(shè)計參數(shù)使其具有顯著的減振效果可以借鑒目前顆粒阻尼器與TMD的研究成果。顆粒阻尼器性能的分析手段按分析方法可以劃分為時域分析與頻域分析，其中以時域分析方法居多。例如閆維明等[13?15]基于時域中相軌跡對附加單顆粒阻尼器的受控結(jié)構(gòu)在周期激勵下穩(wěn)態(tài)振動時的解析解進行了分析，并證明了考慮顆粒與受控結(jié)構(gòu)之間摩擦影響的必要性。顆粒阻尼器數(shù)值模擬所常用的離散單元法[16]及試驗手段[17]均是基于時域分析。顆粒阻尼器基于頻域分析的研究較少，蘇俊收等[18]通過試驗采集了顆粒阻尼復(fù)合板上各測點穩(wěn)態(tài)加速度響應(yīng)并獲得了相應(yīng)的傳遞函數(shù)，結(jié)果表明顆粒阻尼器具有良好的寬頻減振特性。也有學(xué)者將顆粒阻尼器等效為TMD[19?20]或是DTMD[21]，然后通過頻域分析方法對其性能進行研究。然而，顆粒阻尼器與TMD等調(diào)諧減振裝置的減振機理存在本質(zhì)區(qū)別，該等效存在不合理性。而對于附加TMD的受控結(jié)構(gòu)而言，其分析方法也可以分為時域分析與頻率分析，例如劉良坤等[22]通過時域分析方法推導(dǎo)了TMD系統(tǒng)的相位公式，研究了各參數(shù)對相位差及減振效果的影響。Farzam等[23]基于頻域分析法分析了TMD對多自由結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計參數(shù)。通過上述分析發(fā)現(xiàn)采用分析方法不同，求解過程的復(fù)雜程度與計算效率也存在差異，而且構(gòu)建的力學(xué)模型所顯示的內(nèi)涵也不相同。此外，PSSPD與TMD并聯(lián)的復(fù)合減振體系中存在碰撞問題，而采用時頻域相結(jié)合的方法研究碰撞問題會帶來極大的便利，例如趙登峰[24]建立了線性系統(tǒng)的碰撞模型，利用時域卷積分形式與系統(tǒng)傳遞函數(shù)對碰撞問題進行了求解。文[25]建立了間隙約束懸臂梁系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)分析模型，以傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)，結(jié)合系統(tǒng)時域響應(yīng)推導(dǎo)出系統(tǒng)動力學(xué)分析方程及其求解方法。相關(guān)的時頻域結(jié)合方法為顆粒阻尼動力性能求解提供了良好的研究基礎(chǔ)。

綜上所述，PSSPD與TMD并聯(lián)的復(fù)合減振體系是一種非常有前景的減振技術(shù)，但是其復(fù)合減振體系的設(shè)計參數(shù)包括了PSSPD和TMD兩者的多個性能參數(shù)，各參數(shù)耦合關(guān)系復(fù)雜，例如PSSPD的性能不僅與受控結(jié)構(gòu)動力特性、激勵頻率及激勵幅值密切相關(guān)，還與自身參數(shù)(顆粒質(zhì)量、顆粒運動間距)及TMD的動力特性相關(guān)，若單獨使用時域分析方法則不能直觀且充分地體現(xiàn)PSSPD的減振機理，而頻域分析法雖然具有明顯的優(yōu)點，如無需求解微分方程及易于求解一些特殊激勵形式(階躍激勵、脈沖激勵)的結(jié)構(gòu)響應(yīng)等，但是單獨使用頻域分析方法求解該復(fù)合減振體系的動力時程響應(yīng)也極其困難，因此可以根據(jù)復(fù)合減振體系中TMD與PSSPD的特點靈活地選用便捷有效的求解方法來探究復(fù)合減振體系的減振機理及減振效果。

有鑒于此，本文提出TMD與PSSPD并聯(lián)的復(fù)合減振體系，首先從該減振體系的力學(xué)機制入手，深入剖析其減振機理，將顆粒與受控結(jié)構(gòu)之間的碰撞力等效為脈沖力，建立相應(yīng)的力學(xué)模型，在頻域法基礎(chǔ)上結(jié)合時域法對其力學(xué)模型進行解析，從而提出使該復(fù)合減振體系在簡諧激勵下達到最優(yōu)減振效果的方法，并驗證了力學(xué)模型的精度及優(yōu)化方法的可行性。之后進一步提出復(fù)合減振體系在地震動中的參數(shù)優(yōu)化方法，最后在PSSPD、TMD及復(fù)合減振體系的最優(yōu)參數(shù)設(shè)計下，對三者的減振機理及減震效果進行了深入對比分析，最終驗證了該復(fù)合減振體系的特點和減震優(yōu)勢。

1 復(fù)合減振結(jié)構(gòu)系統(tǒng)力學(xué)模型

復(fù)合減振體系中的減振裝置包含TMD與PSSPD兩部分。TMD與受控結(jié)構(gòu)之間通過剛度裝置和阻尼裝置連接，通過調(diào)諧作用減輕受控結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)。PSSPD的構(gòu)造如圖1(c)所示，其特色是由多個顆粒組成，但每個顆粒均有獨立腔體，且在側(cè)壁約束下只能單向運動，這既降低了顆粒啟振條件又提高了顆粒與受控結(jié)構(gòu)之間動量交換效率，布置靈活且可分散布置。PSSPD的減振效應(yīng)包括三種成分：碰撞過程中顆粒與受控結(jié)構(gòu)之間的動量交換、該過程中由于兩者之間的非完全彈性碰撞造成的能量耗散及非碰撞時顆粒與受控結(jié)構(gòu)之間的摩擦產(chǎn)生的阻尼效應(yīng)。此外，根據(jù)文[26]的結(jié)果可認(rèn)為在顆粒與腔體壁發(fā)生正碰撞時顆粒與腔體壁之間切向碰撞剛度的影響可忽略不計?；谏鲜龇治?，本文建立了如圖2所示的力學(xué)模型。其中，m、c和k分別為受控結(jié)構(gòu)質(zhì)量、阻尼系數(shù)和剛度，mT、cT和kT分別為TMD的質(zhì)量、阻尼系數(shù)和剛度，mp為所有顆粒的總質(zhì)量，ag為激勵加速度，x、x˙ 和x¨分別為受控結(jié)構(gòu)的位移、速度和加速度，xT、x˙T和x¨T分別為TMD的位移、速度和加速度，xp、x˙p和x¨p分別為顆粒的位移、速度和加速度，d為顆粒運動間距。

圖2 TMD與PSSPD復(fù)合減振體系力學(xué)模型Fig.2 Mechanical model of composite damping system with TMD and PSSPD

通過上述分析，可建立含有TMD與PSSPD的復(fù)合減振體系的動力方程，其形式為：

該力學(xué)模型的優(yōu)勢在于不僅便于求解系統(tǒng)中各部分的動力響應(yīng)，更能彰顯TMD與PSSPD的減振機理，其中摩擦項表明非碰撞時顆粒與受控結(jié)構(gòu)之間的摩擦產(chǎn)生的阻尼效應(yīng)能夠減輕結(jié)構(gòu)的振動，而脈沖項揭示了PSSPD的主要減振機理為顆粒與受控結(jié)構(gòu)碰撞過程中的動量交換與能量耗散。下文將對該力學(xué)模型進行求解，通過推演過程證明其具有便于求解的特色。

2 復(fù)合減振結(jié)構(gòu)系統(tǒng)力學(xué)模型的求解

對式(3)求解可得：

1)TMD受控結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)

TMD受控結(jié)構(gòu)在外部簡諧激勵下的位移反應(yīng)可通過對式(4)進行Laplace逆變換獲得，然而該求解過程冗長繁瑣，考慮到系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)時做簡諧運動，因此可將受控結(jié)構(gòu)與TMD的位移響應(yīng)形式假設(shè)為：

將式(6)代入式(1)，且在式(1)中暫不考慮顆粒與受控結(jié)構(gòu)之間的碰撞作用與摩擦效應(yīng)，進而獲得式(6)中各系數(shù)為：

2)摩擦力響應(yīng)x2

摩擦力引起的受控結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)通過式(4)的Laplace逆變換所獲得的受控結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)和速度響應(yīng)分別如式(8)與式(9)所示，其中B0～B6、ω1及ω2是通過對式(4)的Laplace逆變換時解析表達的結(jié)果，它們的取值僅與TMD及受控結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼和剛度相關(guān)，對于基本參數(shù)已經(jīng)確定的復(fù)合減振體系，可通過式(4)及相關(guān)理論推導(dǎo)便來確定式(8)及式(9)中各參數(shù)的取值。

3)脈沖周期響應(yīng)x3

同樣，對顆粒碰撞所引起的受控結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)通過式(4)的Laplace逆變換所獲得的受控結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)如下：

在上述脈沖周期動力響應(yīng)表達式結(jié)果中，脈沖量S0為未知量，這是因為雖然受控結(jié)構(gòu)及顆粒的質(zhì)量已知，但是兩者在碰撞前的速度x˙?、vp0并未獲得。然而，盡管在受控結(jié)構(gòu)與顆粒振動未達到穩(wěn)態(tài)時兩者碰撞前的速度難以計算，但可通過分析受控結(jié)構(gòu)在穩(wěn)態(tài)振動時的速度響應(yīng)而獲得。由此，復(fù)合減振控制下受控結(jié)構(gòu)的速度響應(yīng)為：

為了探究脈沖周期對E值的影響從而奠定求解穩(wěn)態(tài)時顆粒與受控結(jié)構(gòu)速度的基礎(chǔ)，本文采用數(shù)值模擬方法對上述解析結(jié)果進行分析和驗證。選取一單層單跨鋼框架結(jié)構(gòu)，其設(shè)計參數(shù)為：m=2300 kg，k=2200 kN/m，ζ=0.02，結(jié)構(gòu)周期Ts為0.2 s，其中μT取0.025，T分別取0.5T1、T1及1.5T1，其中T1為激勵周期，即T1=2π/ω。在上述復(fù)合減振結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中獲得式(8)～式(13)中各參數(shù)的取值如表1所示。

表1 受控結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)各參數(shù)取值表Table 1 Parameters of dynamic response of controlled structure

將表1中的相關(guān)參數(shù)代入式(13)計算E值隨碰撞時間點的變化趨勢，結(jié)果如圖4所示。結(jié)果表明E值在初期呈現(xiàn)波動得趨勢，最終趨于穩(wěn)定，該波動趨勢是由PSSPD的混沌運動狀態(tài)造成的[29]，本文暫不考慮。當(dāng)顆粒從靜止到達穩(wěn)態(tài)運動時，顆粒的速度將達到最大，所以在求結(jié)構(gòu)的碰撞速度時E應(yīng)該取最大值Emax。經(jīng)過對圖4的綜合對比分析可知在相同的激勵頻率下，當(dāng)脈沖周期取激勵周期的0.5倍時，E值均大于脈沖周期取其它值的情況，即T取0.5T1時PSSPD的減振效果最佳，但前提條件是τ的取值需適當(dāng)。下文將探討T及τ的取值問題。

圖4 幅值E值計算結(jié)果趨勢Fig.4 Trend of calculation results of E value

基于上述分析，復(fù)合減振結(jié)構(gòu)系統(tǒng)在簡諧激勵下達到穩(wěn)態(tài)振動時，受控結(jié)構(gòu)在碰撞后的速度為：

此情況下，可假設(shè)顆粒在與受控結(jié)構(gòu)碰撞前后的速度大小不變，只是碰撞后的方向相反，設(shè)顆粒在碰撞前與碰撞后的速度分別為vp0?=?v、vp0+=v。在顆粒與受控結(jié)構(gòu)碰撞的過程中動量守恒，即：

通過恢復(fù)系數(shù)可以表征PSSPD中顆粒與受控結(jié)構(gòu)的彈塑性碰撞過程。由恢復(fù)系數(shù)e的定義可知：

本文不考慮顆粒與受控結(jié)構(gòu)連續(xù)碰撞兩次及兩次以上的情況，因此可將式(16)簡化為：

聯(lián)立式(14)與式(16)，解得：

進一步聯(lián)立式(14)及式(18)，可得在穩(wěn)態(tài)時顆粒碰撞后的速度為：

這樣，通過式(18)與式(19)便可以獲得復(fù)合減振結(jié)構(gòu)系統(tǒng)在簡諧激勵下穩(wěn)態(tài)時受控結(jié)構(gòu)與顆粒碰撞前后的速度。然而要使PSSPD達到最優(yōu)減振效果，尚需要確定脈沖周期T及脈沖相位τ。進一步分析式(17)中受控結(jié)構(gòu)在碰撞前后的速度，可發(fā)現(xiàn)受控結(jié)構(gòu)在與顆粒碰撞后其速度的降低率相同，即要獲得最優(yōu)減振效果，只需使碰撞發(fā)生在受控結(jié)構(gòu)速度最大的位置即可。由于PSSPD只是通過為受控結(jié)構(gòu)提供周期脈沖力抑制結(jié)構(gòu)的振動，并不會改變結(jié)構(gòu)的頻譜特性，因此復(fù)合減振結(jié)構(gòu)系統(tǒng)與TMD減振結(jié)構(gòu)中受控結(jié)構(gòu)振動速度出現(xiàn)最大值的時刻相同，均為：

式中， β=arctan(A1/A2)，對上式進行分析，t0(k+1)?t0(k)=π/ω，因此可得脈沖周期為T=π/ω，即T取0.5T1時PSSPD的減振效果最佳，這與圖3的分析結(jié)果一致。這是因為在每個受控結(jié)構(gòu)的振動周期中，速度峰值出現(xiàn)兩次，因此顆粒與受控結(jié)構(gòu)應(yīng)該是每周期碰撞2次，即脈沖的周期T=π/ω，此情況下耗能最充分。令k=0，可獲得τ=(π?2β)/2ω。

圖3 復(fù)合減振受控結(jié)構(gòu)運動疊加示意圖Fig.3 Schematic diagram of movement superposition of controlled structure with compositedamping system

在上述參數(shù)基礎(chǔ)上，繼而獲得復(fù)合減振結(jié)構(gòu)系統(tǒng)在簡諧激勵下的穩(wěn)態(tài)合成響應(yīng)，本文仍以上述單層鋼結(jié)構(gòu)為例進行分析，阻尼顆粒參數(shù)為：

μ=0.02，e=0.8，μf=0.05 mm，r=45 mm，np=15；激勵荷載參數(shù)為：λ=0.95，p0=0.25g。該算例下受控結(jié)構(gòu)實際響應(yīng)疊加結(jié)果如圖5所示，該圖與圖3相互對照，驗證了圖5受控結(jié)構(gòu)位移疊加示意圖的正確性，也證明了求解復(fù)合減振結(jié)構(gòu)系統(tǒng)力學(xué)模型過程的合理性。

圖5 復(fù)合減振受控結(jié)構(gòu)響應(yīng)疊加圖Fig.5 Response superposition diagram of controlled structure with composite damping system

通過對上述各部分參量的分析，將結(jié)果代入式(5)便可獲得受控結(jié)構(gòu)與顆粒在穩(wěn)態(tài)振動時的時域位移響應(yīng)，兩者位移的差值就可以獲得PSSPD在最優(yōu)減振效果下顆粒的運動間距，其表達式為：

綜上，在構(gòu)建復(fù)合減振體系力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，本文通過時域分析與頻域分析相結(jié)合的方法對該系統(tǒng)在簡諧激勵下穩(wěn)態(tài)時的動力響應(yīng)進行了求解，求解過程清晰、簡便且準(zhǔn)確合理，兩種分析方法相結(jié)合具有其獨特的優(yōu)勢。最終獲得了該體系的最優(yōu)減振性能設(shè)計參數(shù)，包括TMD的剛度、阻尼以及顆粒運動間距的取值及計算方法。下文將通過復(fù)合減振結(jié)構(gòu)系統(tǒng)性能的數(shù)值分析對其力學(xué)模型的精度及其減振效果最優(yōu)參數(shù)取值的正確性進行數(shù)值驗證。

3 復(fù)合減振力學(xué)模型動力響應(yīng)驗證

在前文的基礎(chǔ)上，再結(jié)合復(fù)合減振結(jié)構(gòu)系統(tǒng)性能的數(shù)值分析可對其力學(xué)模型的精度及其減振效果最優(yōu)參數(shù)取值的正確性進行驗證。文[12]在剖析PSSPD減振機理且全面考慮顆粒的受力狀態(tài)的基礎(chǔ)上已經(jīng)建立了PSSPD性能數(shù)值分析流程，本文在其基礎(chǔ)上結(jié)合TMD數(shù)值模擬分析的方法建立復(fù)合減振結(jié)構(gòu)系統(tǒng)數(shù)值分析流程，文中將不再贅述。

3.1 力學(xué)模型精度驗證

對復(fù)合減振體系力學(xué)模型進行驗證時，其中受控結(jié)構(gòu)仍然選用上文中的單層單跨鋼結(jié)構(gòu)，阻尼顆粒為實心鋼珠，各工況的相關(guān)參數(shù)選取如表2所示。表2也列出了各工況下dop結(jié)果，四種工況下PSSPD單個腔體在振動方向上的長度分別是155.0 mm、172.8 mm、163.4 mm及159.8 mm，正交于振動方向的寬度分別為95 mm、119 mm、109 cm及109 cm，高度均為50 mm，腔體碰撞壁厚度為4 mm，其余部件均為2 mm。腔體附加質(zhì)量比最大為0.44%，因質(zhì)量小且與結(jié)構(gòu)固結(jié)，可忽略其對結(jié)構(gòu)動力特性影響。四種工況下無控結(jié)構(gòu)、受控結(jié)構(gòu)數(shù)值模擬結(jié)構(gòu)及理論計算結(jié)果如圖6～圖7所示。

表2 驗證工況信息表Table 2 Verify condition information

從圖6和圖7中可以明顯看出復(fù)合減振體系具有良好的減振效果，通過比較理論計算結(jié)果與數(shù)值分析結(jié)果可知本文所構(gòu)建復(fù)合減振體系力學(xué)模型具有良好的精度，并且頻率越接近共振頻率其精度越高，在共振時，兩者的動力響應(yīng)基本重合，而在非共振時，理論計算的結(jié)果與數(shù)值模擬的結(jié)果略有差異，這是因為：1)顆粒阻尼器減振結(jié)構(gòu)的基頻與外荷載的頻率相距越遠，減振結(jié)構(gòu)的振動越容易出現(xiàn)周期分岔和混沌現(xiàn)象[29]，而限于目前的研究水平尚沒有考慮該特殊現(xiàn)象；2)理論分析假設(shè)顆粒在碰撞前后的速度大小不發(fā)生變化，只是方向與碰撞前相反，而復(fù)合減振結(jié)構(gòu)體系數(shù)值模擬中顆粒與受控結(jié)構(gòu)碰撞后的速度是通過兩者碰撞前的速度及動量守恒與恢復(fù)系數(shù)而獲得。此外，雖然在理論分析中假設(shè)顆粒與受控結(jié)構(gòu)之間的碰撞發(fā)生在速度峰值處，但實際的計算結(jié)構(gòu)發(fā)現(xiàn)兩者發(fā)生碰撞的位置有時偏離速度峰值處，這是因為結(jié)構(gòu)體系中阻尼產(chǎn)生的時滯效應(yīng)造成的，文中暫不考慮該種情況。

圖6 數(shù)值分析與理論計算的位移結(jié)果對比Fig.6 Comparison of displacement resultsof numerical analysisand theoretical calculation

圖7 數(shù)值分析與理論計算的速度結(jié)果對比Fig.7 Comparison of velocity resultsof numerical analysis and theoretical calculation

3.2 最優(yōu)性驗證

圖8 受控結(jié)構(gòu)峰值響應(yīng)減振率隨η的變化曲線Fig.8 Relationship of peak responsedamping rateand η

圖9 受控結(jié)構(gòu)均方根響應(yīng)減振率隨η的變化曲線Fig.9 Relationship of root mean square responsedamping rateand η

可以明顯看出：當(dāng)d取dop時確實獲得了最優(yōu)減震率，且復(fù)合減振體系對受控結(jié)構(gòu)位移與速度峰值均方根的減振效果相近，這與文[11]的研究結(jié)果一致。當(dāng)復(fù)合減振體系在結(jié)構(gòu)越靠近共振頻率時其減振效果越優(yōu)，因為此時PSSPD與TMD的減振作用完全發(fā)揮。受控結(jié)構(gòu)在工況II和工況III中d=1.2dop時獲得最優(yōu)減振率，兩種顆粒運動間距的取值雖然相差20%，但是減振效果最大相差5%以內(nèi)，均可以認(rèn)為達到了最優(yōu)的減振效果，這也表明復(fù)合減振體系具有較強的減振魯棒性。

4 復(fù)合減振體系參數(shù)分析

前文已經(jīng)驗證了復(fù)合減振結(jié)構(gòu)體系力學(xué)模型具有良好的精度及其最優(yōu)參數(shù)取值的正確性，但仍然不能直觀地體現(xiàn)各參數(shù)如何影響著復(fù)合減振體系的減振性能，只有根據(jù)受控結(jié)構(gòu)的位移放大系數(shù)隨各參數(shù)的變化才能進一步推斷影響規(guī)律。具體而言，需要考察控制脈沖相位、質(zhì)量比、頻率比及激勵幅值變化等參數(shù)對受控結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)放大系數(shù)的影響。然后在此基礎(chǔ)上提出復(fù)合減振體系在地震動中的優(yōu)化分析方法。

依據(jù)放大系數(shù)的定義，并考慮到復(fù)合減振結(jié)構(gòu)體系的非線性特性，將復(fù)合減振結(jié)構(gòu)體系中受控結(jié)構(gòu)的位移放大系數(shù)定義為：

同時，為了更加深刻地探究復(fù)合減振體系的減振效果及減振頻帶寬度，在相同條件下將其與PSSPD、TMD的減振效果進行對比分析。因此首先須獲得無控結(jié)構(gòu)的位移放大系數(shù)為：

而附加TMD的受控結(jié)構(gòu)位移放大系數(shù)可以通過式(7)計算獲得，附加PSSPD的受控結(jié)構(gòu)的位移放大系數(shù)可以文[9]計算獲得。在三種減振方案在比較的過程中，總的附加質(zhì)量比保持不變，即單純TMD或PSSPD的附加質(zhì)量為復(fù)合減振結(jié)構(gòu)體系中TMD與PSSPD質(zhì)量之和。若受控結(jié)構(gòu)仍然選用上文中的單層單跨鋼結(jié)構(gòu)，對復(fù)合減振體系進行參數(shù)分析分析時，脈沖相位、質(zhì)量比、頻率比及激勵幅值在各工況下的參數(shù)取值如表3所示，計算結(jié)果如圖10所示。為了分析方便，引入最優(yōu)相位比α，且有α=τ1/τ。

表3 參數(shù)分析取值表Table 3 Parameter analysis value

圖10從不同角度展示了受控結(jié)構(gòu)位移放大系數(shù)隨影響參數(shù)變化的演變趨勢。由圖10(a)可知當(dāng)其它參數(shù)不變且α=1時，受控結(jié)構(gòu)的位移放大系數(shù)最小，即存在最優(yōu)脈沖相位為τ，前文對該現(xiàn)象已經(jīng)進行了闡述。圖10(b)中，當(dāng)λ取0.9、1及1.1時，受控結(jié)構(gòu)位移放大系數(shù)隨著附加質(zhì)量的增加而減小，且趨勢漸緩；而當(dāng)λ取0.8時，受控結(jié)構(gòu)位移放大系數(shù)隨著附加質(zhì)量的增加而增加，這與文[13]的研究結(jié)果一致。當(dāng)TMD在激勵頻率遠離共振頻率時就會放大結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)，即產(chǎn)生失諧效應(yīng)，并且TMD附加質(zhì)量越大，該效應(yīng)就會越明顯，而PSSPD也存在類似于TMD的失諧效應(yīng)，因此當(dāng)復(fù)合減振體系對受控結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)有放大的作用時，增加附加質(zhì)量將加劇放大效應(yīng)。根據(jù)圖10(c)中對PSSPD、TMD及復(fù)合減振體系減振效果的對比，可知在頻率比λ在0.95～1.05時，TMD的減振率最大為80.62%，PSSPD的減振率為71.50%，復(fù)合減振的減振率為75.53%，減振效果的順序為：TMD>復(fù)合減振體系>PSSPD；當(dāng)λ在0.6～0.95時，三者均對受控有放大作用，減振效果的順序為：PSSPD>復(fù)合減振體系>TMD；當(dāng)λ在1.05～1.4時，三者均具有良好的減振效果，且頻率比越大減振效果的差異越小。由圖10(c)可知在受控結(jié)構(gòu)主頻處，TMD具有最優(yōu)的減振效果，但是其減振頻帶較窄，而PSSPD與復(fù)合減振體系的減振頻帶更寬，對于頻譜豐富的地震動，三種方式的減震效果尚需進一步通過時程分析進行比較。在最優(yōu)參數(shù)下，復(fù)合減振體系的減振效果隨著激勵幅值的增加而增加，如圖10(d)所示，但是減振效果提升漸緩，說明其具有良好的魯棒性。

圖10 受控結(jié)構(gòu)位移放大系數(shù)隨影響參數(shù)的變化曲線Fig.10 Curve of displacement amplification coefficient with influence parameters

此外，結(jié)合對附加復(fù)合減振體系受控結(jié)構(gòu)在簡諧激勵下減振效果的分析可知，在不同激勵頻率及激勵幅值下均有相對應(yīng)的dop能使PSSPD的減振效果達到最佳，然而計算dop的方法是否適用于地震動下的結(jié)構(gòu)減震優(yōu)化仍需在分析中進一步驗證。復(fù)合減振體系中TMD在地震動中的最優(yōu)頻率比及阻尼比仍按上文優(yōu)化方法獲得。地震動三個主要特征包括持時、振幅和頻譜。持時對復(fù)合減振體系的減震效果影響較小，關(guān)于PSSPD，只要顆粒與受控結(jié)構(gòu)發(fā)生碰撞，兩者之間就會產(chǎn)生動量交換，隨著持時增長減震效果保持穩(wěn)定。對于具體地震波，可以借鑒Rathje等[30]的研究對平均周期的定義方式，考慮地震動整體頻譜特征頻率參數(shù)，定義平均頻率為

濕地保護與修復(fù)。加強上游污染控制和周邊治理，制定嚴(yán)格的工業(yè)污水排放標(biāo)準(zhǔn)，實行污染物總量控制，同時積極發(fā)展綠色農(nóng)業(yè)，減少農(nóng)業(yè)面源污染；修復(fù)強化濕地功能，建立長效補水機制，實施生態(tài)移民試點工程，使水生態(tài)系統(tǒng)逐步恢復(fù)，水環(huán)境質(zhì)量滿足水體功能需求。

式中：fˉ為地震動平均頻率；fi為0.01 Hz～10 Hz的離散頻率點；Ci為頻率點fi所對應(yīng)的離散傅里葉變換幅值。地震強度可以取地震動加速度峰值x¨gmax，則p0=x¨gmax。最終將各參數(shù)代入式(21)中獲得dop值。

綜上所述，通過參數(shù)分析證明了復(fù)合減振體系力學(xué)模型的合理性以及其減振效果最優(yōu)時脈沖相位及脈沖周期的取值，更加明晰了復(fù)合減振體系的減振機理，在該體系作用下受控結(jié)構(gòu)的位移放大系數(shù)能夠清晰地反應(yīng)其減振效果隨著各參數(shù)的變化規(guī)律，且進一步建立了復(fù)合減振體系在地震動中的參數(shù)優(yōu)化方法，下文將通過具體算例對其合理性和準(zhǔn)確性進行驗證，并對PSSPD、TMD及復(fù)合減振體系的減振性能進行深入對比分析。

5 算例分析

為了驗證上述復(fù)合減振體系優(yōu)化方法的合理性及其在地震動下對受控結(jié)構(gòu)的減震效果，本文仍以上述單層鋼結(jié)構(gòu)為例進行分析。阻尼顆粒自身參數(shù)為μp=0.025，e=0.8，μf=0.05 mm，r=49 mm，np=15；TMD的附加質(zhì)量比μT=0.025，λT=0.976，ζT=9.33%。本文共選取3條實際地震波，具體信息如表4所示。分析時將所有地震波的加速度峰值均調(diào)整為0.25g。

利用對復(fù)合減振體系在地震動中的參數(shù)優(yōu)化方法最終獲得顆粒運動最優(yōu)間距dopg，其中三條地震波下的最優(yōu)間距分別為83.2 mm、63.2 mm、32.2 mm，即阻尼器腔體在振動方向上的長度分別是181.2 mm、161.2 mm、130.2 mm，其在正交于振動方向的寬度為103 mm，高度可為40 mm，腔體碰撞壁厚度為4 mm，其余部件均為2 mm。腔體附加質(zhì)量比最大為0.43%，與前文相同，也可忽略其對結(jié)構(gòu)動力特性影響。該顆粒運動間距與阻尼器腔體尺寸均可在實際工程中實現(xiàn)。

利用本文所提出的復(fù)合減振結(jié)構(gòu)系統(tǒng)性能數(shù)值模擬方法對受控結(jié)構(gòu)進行時程分析，從而獲得三條地震波下的位移與速度峰值及均方根減震率，如圖11所示。分析圖11可知，復(fù)合減振體系對受控結(jié)構(gòu)在地震動下均具有良好的減震效果，且當(dāng)d=dopg時，其減震效果最佳，同時也證明了按本文方法求復(fù)合減振體系減振性能最優(yōu)方法的準(zhǔn)確性及可行性。并且d在(0.8～1.5)dopg取值時，復(fù)合減振體系對受控結(jié)構(gòu)的減振率相差在15%以內(nèi)，甚至更小，該現(xiàn)象與文[12]中顆粒運動間距對PSSPD減振性能影響結(jié)果相比，說明復(fù)合減振體系提高了PSSPD的魯棒性。

圖11 受控結(jié)構(gòu)減震效果隨η的變化曲線Fig.11 Damping rates of structural response with η

為了對復(fù)合減振體系的減震機理及效果進行深入研究，將PSSPD及TMD的減震效果與之進行比較分析，其中PSSPD及TMD的附加質(zhì)量比為復(fù)合減振體系中附加質(zhì)量比之和(μp+μT)，PSSPD的最優(yōu)參數(shù)取值可按文[12]的參數(shù)優(yōu)化方法獲得，TMD的最優(yōu)參數(shù)取值如前文所述。受控結(jié)構(gòu)的時程結(jié)果如圖12所示。圖12中，PSSPD、TMD及復(fù)合減振體系均對受控結(jié)構(gòu)在地震動下具有良好的減震效果，但PSSPD及TMD的確存在部分時刻會放大結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的現(xiàn)象，而同時刻的復(fù)合減振體系則具有明顯的減震效果。這是因為：PSSPD雖然減震頻帶寬，但偶爾也會放大受控結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)；TMD的減震效果主要取決于結(jié)構(gòu)頻率與荷載頻率的調(diào)諧關(guān)系，其對頻率有高度的敏感性，而地震動的強隨機性及其頻譜豐富性會限制TMD調(diào)諧作用的發(fā)揮，甚至放大受控結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)；復(fù)合減振體系中TMD的質(zhì)量減小，失諧效應(yīng)也會減輕。顆粒沒有固定頻率，只要顆粒發(fā)生碰撞就會轉(zhuǎn)移受控結(jié)構(gòu)的能量，從而減輕受控結(jié)構(gòu)振動，因而減振頻帶寬，再兼有TMD在共振頻率附近減振效率高的優(yōu)點，這樣PSSPD與TMD并聯(lián)的方式形成了優(yōu)勢互補，因此復(fù)合減振體系與單純PSSPD及TMD相比，同時具有減震效率高、減震頻帶寬且魯棒性強的優(yōu)點。

圖12 地震動下受控結(jié)構(gòu)位移時程Fig.12 Response history of controlled structure subjected to ground motions

為了更加直觀地展現(xiàn)PSSPD、TMD及復(fù)合減振體系在不同地震波下的減震效果，對三者的位移峰值減震率，速度峰值減震率，位移均方根減震率及速度均方根減震率進行對比分析，其結(jié)果如圖13所示。復(fù)合減振體系對受控結(jié)構(gòu)位移峰值與速度峰值的控制效果要優(yōu)于PSSPD及TMD，而復(fù)合減振體系對控結(jié)構(gòu)位移均方根與速度均方根的控制效果要優(yōu)于PSSPD，而與TMD的控制效果相近。

為了進一步對復(fù)合減振體系的減震機理進行剖析，并與PSSPD及TMD在頻域上的減震效果進行對比分析，對無控結(jié)構(gòu)的位移、受控結(jié)構(gòu)的位移進行功率譜分析，分析結(jié)果如圖14所示。復(fù)合減振體系減振頻帶寬，特別是在靠近結(jié)構(gòu)基頻附近的減振效果顯著優(yōu)于PSSPD與TMD，這是因為單純TMD的減震頻帶窄，而地震動頻譜的豐富性和隨機性增強了復(fù)合減振體系中顆粒發(fā)生碰撞的概率，提高了顆粒與受控結(jié)構(gòu)動量交換的效率。上述分析從不同角度充分驗證了復(fù)合減振體系具有效率高、減震頻帶寬的優(yōu)勢。

圖14 地震動作用下的位移功率譜Fig.14 Displacement power spectrum subjected to ground motions

在三種減震方案的設(shè)計中，TMD是針對受控結(jié)構(gòu)主頻確定的最優(yōu)設(shè)計參數(shù)，對于PSSPD及復(fù)合減振體系，是針對具體地震動下確定了相應(yīng)的顆粒最優(yōu)運動間距，而在實際工程中需要確定唯一的設(shè)計值。為了進一步比較三者的減震性能，且使方案具有統(tǒng)計意義和設(shè)計指導(dǎo)功能，仍以上述算例為例，選取二類場地中反應(yīng)譜譜型較接近的10條典型地震波進行時程分析，得到PSSPD與復(fù)合減振體系中顆粒最優(yōu)運動間距的平均值分別為16.77 mm和22.43 mm，進而獲得了各方案在10條地震動下的平均減震率，結(jié)果如圖13(c)所示。峰值減震效果排序為：復(fù)合減振體系>PSSPD>TMD，均方根減震效果排序為：復(fù)合減振體系>TMD>PSSPD。這是因為地震動峰值時的瞬時頻率一般與TMD的頻率并不一致，TMD沒有充分發(fā)揮性能，在某些情況下甚至?xí)霈F(xiàn)響應(yīng)放大現(xiàn)象，所以TMD的峰值減震率較低；而顆粒在地震動達到峰值時發(fā)生碰撞的可能性更大，所以其峰值減震率要高于TMD的。但PSSPD中顆粒只有在與受控結(jié)構(gòu)發(fā)生碰撞的時候才會產(chǎn)生減震效應(yīng)，因而具有離散控制的不足，而TMD在共振頻率附近都具有良好的減震作用，在整個時程上對結(jié)構(gòu)有連續(xù)調(diào)諧作用，所以TMD的均方根減震效果優(yōu)于PSSPD。復(fù)合減振體系具有二者的優(yōu)點，因此其峰值和均方根減震效果比兩種單一減震方案的顯著，具有良好的工程應(yīng)用價值。

圖13 地震動下受控結(jié)構(gòu)減震效果對比圖Fig.13 Comparison of damping effect subjected to ground motions

6 結(jié)論

針對PSSPD與TMD減振特點及不足，本文提出了將兩者有機結(jié)合綜合利用的方案—PSSPD與TMD并聯(lián)的復(fù)合減振體系，建立了相應(yīng)的力學(xué)模型和方程，并采用頻域結(jié)合時域的方法獲得了解析解。之后，提出相應(yīng)的參數(shù)優(yōu)化分析方法，繼而對PSSPD、TMD及復(fù)合減振體系的減振機理、性能及減震效果進行深入對比分析。得到的主要結(jié)論為：

(1)通過深入剖析復(fù)合減振體系的減振機理，將顆粒與受控結(jié)構(gòu)之間的碰撞力等效為脈沖力，建立了相關(guān)力學(xué)模型，對該力學(xué)模型在頻域結(jié)合時域中進行解析求解，并與復(fù)合減振結(jié)構(gòu)系統(tǒng)數(shù)值模擬的結(jié)果進行對比分析，表明該力學(xué)模型能夠直觀地表征其減振機理，求解過程清晰且具有較高精度。

(2)通過對脈沖相位、質(zhì)量比、頻率比及激勵幅值的參數(shù)分析，證明了將復(fù)合減振體系中顆粒與受控結(jié)構(gòu)之間的作用等效為周期脈沖力的合理性以及其減振效果最優(yōu)時脈沖相位及脈沖周期的取值，明確了各參數(shù)對復(fù)合減振體系性能的影響規(guī)律。

(3)基于復(fù)合減振體系力學(xué)模型和時頻聯(lián)合解析解，提出其在簡諧激勵及地震動下的參數(shù)優(yōu)化分析方法，并與復(fù)合減振結(jié)構(gòu)系統(tǒng)數(shù)值模擬的結(jié)果進行對比分析，驗證了其合理性、可行性及準(zhǔn)確性。

(4)在最優(yōu)參數(shù)設(shè)計條件，對PSSPD、TMD及復(fù)合減振體系在簡諧激勵及地震動下的減振性能進行了深入對比和統(tǒng)計分析，詳細闡述了三者減振效果存在差異的原因，結(jié)果表明復(fù)合減振體系具有顯著的減振優(yōu)勢，與PSSPD與TMD相比，具有減震效果更佳、減振頻帶更寬及魯棒性更強的優(yōu)點。