韋燕紅，徐俊峰

（五邑大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣東 江門 529020）

1 引言與定理

本文使用Nevanlinna理論的符號(hào)，假設(shè)讀者熟悉值分布的相關(guān)理論（詳見參考文獻(xiàn)[1-2]）.

設(shè)f(z)是復(fù)平面C上的亞純函數(shù)，如果非恒為零的亞純函數(shù)a(z)滿足T(r,a)=S(r,f)（這里S(r,f)=o(T(r,f))(r→∞)，除了關(guān)于r的一個(gè)可能存在的有限例外集），則稱a(z)是f(z)的小函數(shù).

定義1設(shè)f是非常數(shù)亞純函數(shù)，aj(j=0,1,2,…,n)是f的小函數(shù)且都不恒為零，Mj(j=0,1,2,…,n)皆為f的系數(shù)為1的微分單項(xiàng)式，稱P(f)=a0M0(f)+a1M1(f)+…+anMn(f)為f的微分多項(xiàng)式.

定義2設(shè)f是非常數(shù)亞純函數(shù)，aj(j=0,1,2,…,n)是關(guān)于z的多項(xiàng)式且都不恒為零，稱為f的代數(shù)微分多項(xiàng)式.其中，I是多指標(biāo)有限集，|γ|:=i0+…+in稱為P(z,f,f',…,f(t))對(duì)應(yīng)每一項(xiàng)的次數(shù).

在研究復(fù)微分方程理論的眾多問題中，證明給定微分方程的整函數(shù)或者亞純函數(shù)解的存在性和給出解的形式，一直是一個(gè)有趣且相當(dāng)困難的問題，特別是非線性微分方程.大量學(xué)者運(yùn)用Nevanlinna值分布理論，研究了一系列非線性微分方程[3-6].其中，文獻(xiàn)[5]得到了如下結(jié)果：

定理1設(shè)n≥3是一個(gè)整數(shù)，P(f)表示f(z)的次數(shù)不超過n-3的代數(shù)微分多項(xiàng)式，b(z)是亞純函數(shù)，λ,c1,c2是 3個(gè)不 為零 的常 數(shù)，那么 微分 方程fn(z)+P(f)=b(z)(c1eλz+c2e-λz)沒有 滿足T(r,b)=S(r,f)的超越整函數(shù)解.

文獻(xiàn)[6]進(jìn)一步研究非線性微分方程：

其中，p1(z) ,p2(z)是2個(gè)不為零的多項(xiàng)式，α1,α2是2個(gè)非零常數(shù)且α1/α2不是有理數(shù). 如果n≥4，P(f)是f(z)的次數(shù)不超過n-3的代數(shù)微分多項(xiàng)式，則方程（1）沒有超越整函數(shù)解.

文獻(xiàn)[6]推斷P(f)的次數(shù)不超過n-2或n-1時(shí)，上述結(jié)論也成立.

2016年，Zhang等[7]考慮用fnf'取代方程（1）的主要部分fn，研究非線性微分方程：fnf'+其中，Qd(z,f)是以有理函數(shù)為系數(shù)的微分多項(xiàng)式，p1,p2是f的小函數(shù)，α1(z),α2(z)是非零整函數(shù). 2017年，陸小慶[8]考慮用fnf(k)取代方程（1）的fnf'來研究非線性微分方程：

其中，Qd(z,f)是以f的小函數(shù)為系數(shù)的微分多項(xiàng)式，p1,p2是f的小函數(shù)，α1(z) ,α2(z)是非零整函數(shù).

在2020年，Xue[9]考慮方程右邊有3個(gè)指數(shù)型的非線性微分方程：

在|α1|＞|α2|＞|α3|下的超越整函數(shù)解的形式，得到了以下定理.

定理2[9]設(shè)n≥2是一個(gè)整數(shù)，t是整數(shù)，P(z,f,f',…,f(t))是次數(shù)不超過n-1的代數(shù)微分多項(xiàng)式.其中，Pi和αi是非零常數(shù)，對(duì)于i=1,2,3，有|α1|＞|α2|＞|α3|.如果f(z)是方程

的超越整函數(shù)解，那么f(z)=a1eα1z/n，這里a1是滿足a1n=P1的非零常數(shù)，對(duì)于i=1,2,3，αi是線性的.

注1事實(shí)上，定理2的證明過程只在n≥3時(shí)成立.

受文獻(xiàn)[7-9]的啟發(fā)，本文考慮用fnf(k)取代方程（3）中的fn，得到如下定理：

定理3設(shè)n≥3，k≥1是整數(shù)，t是整數(shù)，P(z,f,f',…,f(t))是次數(shù)不超過n的代數(shù)微分多項(xiàng)式.其中，Pi和αi是非零常數(shù)，對(duì)于i=1,2,3，有|α1|＞|α2|＞|α3|.如果函數(shù)f(z)是方程

下面給出3個(gè)例子進(jìn)行說明.

例1函數(shù)f(z)=ez是f4f''+f3f'+f'=e5z+e4z+ez的超越整函數(shù)解，其中，f3f'+f'的次數(shù)是4次，這說明方程的解是存在的.

例2函數(shù)f(z)=ez-1=是的超越整函數(shù)解，其中，的次數(shù)是4次.此時(shí)，這說明代數(shù)微分多項(xiàng)式不超過n這一條件是精確的.

例3函數(shù)f(z)=ez是f3f'+f2(f'')2+f2f'+ff'=2 e4z+e3z+e2z的超越整函數(shù)解，其中，n=3,k=1,P1=2,α1=4，f2(f'')2+f2f'+ff'的次數(shù)是4次.這說明代數(shù)微分多項(xiàng)式不超過n這一條件是精確的.

注2函數(shù)f(z)=ez是方程f2f'+ff'+f'=e3z+e2z+ez的超越整函數(shù)解，其中ff'+f'的次數(shù)是2次.由此，我們猜測(cè)定理3在n=2時(shí)也成立.

2 引理

證明定理3需要下述引理以及其證明.

引理1[2]設(shè)fj(z)(j=1,2,…,n)(n≥2)為亞純函數(shù)，gj(z)(j=1,2,…,n)為整函數(shù)，且它們滿足下列條件：

3）當(dāng)1≤j≤n且1≤h＜k≤n時(shí)，其中，E?(1,∞)是有限線性測(cè)度或?qū)?shù)測(cè)度集），那么，fj≡0(j=1,2,…,n).

引理 2設(shè)n≥ 1,k≥ 1 均是整數(shù)，α,c是非零常數(shù)，f是方程fnf(k)=ceαz的超越整函數(shù)解，那么f(z)=c1eαz/(n+1).其中c1是非零常數(shù)且c1n+1=c(n+1)k/αk.

證明因?yàn)閯tf(z)=其中u(z)是f(z)的小函數(shù).

由fnf(k)=ceαz知f(z)無零點(diǎn)，故u(z)是非零常數(shù).因此，f(z)=c1eαz/(n+1)，其中c1是非零常數(shù).

引理3設(shè)n,m,k是3個(gè)整數(shù)且n≥m≥ 2，k≥1，αi(i=1,2,…,m)是互不相同的非零常數(shù).那么

沒有超越整函數(shù)解，其中Pj(j=1,…,m)是非零常數(shù).

證明設(shè)f(z)是方程（5）的超越整函數(shù)解.一方面，即

另一方面，

綜上得，f(z)的級(jí)為1.

若f(z)無零點(diǎn)，則可設(shè)f(z)=ceαz，其中α,c為非零常數(shù).將f(z)=ceαz代入式（5）得：

又αi(i=1,2,…,m)是互不相同的非零常數(shù)，c,α是非零常數(shù).因此，當(dāng)αi=(n+1)α?xí)r，有：

根據(jù)引理1，得：

這與Pi(i=1,2,…,m)是非零常數(shù)矛盾.因此f(z)有零點(diǎn).

令g(z)=fnf(k)，z0是f(z)的q階零點(diǎn)，此時(shí)q＞k.否則，f(k)=0.方程（5）可寫作：

又αi(i=1,2,…,m)是互不相同的非零常數(shù)，所以由引理1有，Pi=0(i=1,2,…,m)，這與Pi(i=1,2,…,m)是非零常數(shù)矛盾，所以q＞k.此時(shí)在z的鄰域內(nèi)解析.那么0且ψ(z0)≠ 0，這里ψ(z)是解析函數(shù).因此，

顯然z=z是g(z)的nq+q-k階零點(diǎn).故有于0是有：

顯然，這是齊次線性方程組.上述方程組的系數(shù)矩陣為

因?yàn)閚≥m,q≥ 1,k≥1，所以nq+q-k-1 ≥m-1.m-1個(gè)方程的系數(shù)矩陣行列式為：

因?yàn)棣羓(j=1,…,m)互不相同，所以|A|≠0，與已知矛盾.因此，引理3得證.

引理4[9]如果P(z,f,f',…,f(t))是f(z)的次數(shù)為d的代數(shù)微分多項(xiàng)式，α是非零常數(shù).那么，αP(z,f,f',…,f(t))-P'(z,f,f',…,f(t))也是f(z)的次數(shù)為d的代數(shù)微分多項(xiàng)式.

3 定理3的證明

設(shè)f(z)是方程（5）的超越整函數(shù)解，令F1(z)=fnf(k)，Q1(z)=P(z,f,f',…,f(t))，則方程（5）可寫成：

方程（6）兩邊同時(shí)微分，得：

由方程（6）和（7）消去eα1z，得到：

取F2(z)=F1'(z)-α1F1(z)，Q2(z)=Q1'(z)-α1Q1(z)，則方程（8）可寫作：

以下分4種情形討論式（9）.

情形1F2(z)≡0 和Q2(z)≡0，這是不可能的，因?yàn)棣羓是互不相同的常數(shù).

情形2F2(z)不恒等于0，Q2(z)≡0，有：

其中1A是非零常數(shù).由式（6）和（10）得：

根據(jù)引理3有，當(dāng)n≥3時(shí)，方程（5）沒有超越整函數(shù)解.

情形3F2(z)≡0,Q2(z)不恒等于0，有其中C1是非零常數(shù).結(jié)合引理1有：

其中γ≤d,d是微分多項(xiàng)式P(z,f,…,f(t))的次數(shù).

由式（6）（11）和（12）有：

因?yàn)棣?n＜1，所以

其中，γ1=d或γ2=d.顯然，是方程（4）的超越整函數(shù)解.

情形4F2（z）,Q2（z）均不恒等于0，對(duì)方程（9）微分后，得：

由式（9）和（13）消去eα2z，有：

取F3(z)=F2'(z)-α2F2(z)，Q3(z)=Q2'(z)-α2Q2(z)，則方程（14）可寫成：

和上面證明類似，對(duì)式（15）也分為4種情況進(jìn)行討論.

情形4.1F3(z)≡0 和Q3(z)≡0是不可能的，因?yàn)棣羓是互不相同的常數(shù).

情形4.2F3(z)不恒等于0，Q3(z)≡0，有Q2(z)=A2eα2z，其中A2是非零常數(shù).又Q2(z)=Q1'(z)-這里A1,A2是非零常數(shù).因此有：

和

此時(shí)γ≤d.與|α1|＞|α2|＞|α3|矛盾.

情形4.3F3(z)≡0，Q3(z)不恒等于0，有：

其中C2是非零常數(shù).類似地，有這里C1,C2是非零常數(shù).根據(jù)引理3，得出矛盾.

情形4.4F3(z),Q3(z)均不恒等于0，那么方程（15）微分后，得：

由式（15）和（16）消去eα3z，有：

即

根據(jù)引理4，得知F3'(z)-α3F3(z)的次數(shù)是n+1，但是-α3Q3(z)的次數(shù)d≤n.因而只有當(dāng)F3'(z)-α3F3(z)=Q3'(z)-α3Q3(z)=0 成立時(shí)，方程（17）才能成立.

由F3'(z)-α3F3(z)=0，即

這里A1,A2,A3是非零常數(shù).根據(jù)引理3，此時(shí)方程沒有超越整函數(shù)解.