吳開信，吳子航，馮家匯

（1.五邑大學 軌道交通學院，廣東 江門 529020；2.深圳地鐵運營集團有限公司，廣東 深圳 518040）

地鐵在優(yōu)化城市空間布局、緩解道路交通擁堵、改變居民出行方式等方面發(fā)揮了重要的作用，已成為城市居民出行的首選，但在北上廣深等一線城市早晚高峰期，地鐵有限的運輸能力與迅猛增長的客流需求之間的矛盾日漸突出，給車站運營和乘客安全帶來了嚴重挑戰(zhàn).對部分站點實施客流控制，使其服務(wù)水平保持在合理的范圍之內(nèi)是城軌系統(tǒng)高峰期采取的常見措施之一.控流方案的制定主要是基于對客流時空特征的分析，從單個站點[1-2]、整條線路[3-4]、關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)[5-6]等角度對站點選擇、控流時間、控流強度等指標進行優(yōu)化，這種采取優(yōu)化模型的方法在遇到大規(guī)模問題時，需要以較大的計算代價來獲得問題的滿意解，其控流效果有待提升.

地鐵運營線路和客流加載過程可用賦權(quán)的復雜網(wǎng)絡(luò)描述，而目前網(wǎng)絡(luò)科學與工程的研究對象集中于隨機網(wǎng)絡(luò)、小世界網(wǎng)絡(luò)和無標度網(wǎng)絡(luò)，多基于網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)對網(wǎng)絡(luò)的脆弱性、魯棒性、可靠性等結(jié)構(gòu)特性進行研究，將控制理論與網(wǎng)絡(luò)科學相結(jié)合的研究起步較晚，且其中的控制策略也由傳統(tǒng)控制理論中的蜂擁控制轉(zhuǎn)到現(xiàn)在的牽制控制[7].Kalman[8]指出，一個動態(tài)系統(tǒng)只需找到合適的驅(qū)動節(jié)點集并加以控制，就能從初始狀態(tài)到達任意理想狀態(tài).Liu等[9-10]首次將線性時不變系統(tǒng)的可控性應(yīng)用于網(wǎng)絡(luò)控制，并提出復雜網(wǎng)絡(luò)控制中心分布取決于網(wǎng)絡(luò)的度分布.Meng[11]基于改進的LB模型研究了鐵路列車服務(wù)網(wǎng)絡(luò)在出現(xiàn)應(yīng)急情況下的可控性問題，但對網(wǎng)絡(luò)節(jié)點和邊權(quán)等屬性特征的探討不夠深入.綜上，既有文獻大多是基于復雜網(wǎng)絡(luò)的物理結(jié)構(gòu)、側(cè)重于網(wǎng)絡(luò)特性指標分析，從系統(tǒng)可控性角度提出網(wǎng)絡(luò)控制方法和應(yīng)對策略并應(yīng)用于實際的文獻較少；另外，既有研究的網(wǎng)絡(luò)多數(shù)是靜態(tài)網(wǎng)絡(luò)，對節(jié)點之間的交互作用和時效特征等缺乏考慮.選擇合適的站點進行客流控制有利于提高城軌系統(tǒng)高峰期客流時空分布均衡度和運力資源的有效利用率，本文基于網(wǎng)絡(luò)可控性原理采取定量分析方法，從有向網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特性分析入手，綜合考慮各車站客流狀態(tài)及其動態(tài)變化過程，以有效識別客流控制站點的個數(shù)與具體站點.

1 模型的構(gòu)建

1.1 有向客流網(wǎng)絡(luò)的動力學建模

根據(jù)地鐵物理網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)以及客流特性，構(gòu)建有向網(wǎng)絡(luò)圖G=（V,E），圖中節(jié)點集V=｛v1,v2,…,vi,…,vj,…,vN｝對應(yīng)于車站集 ｛1,2,…,i,…,j,…,N｝，如果從車站i去往車站j存在客流量，則連接一條有向弧E（vi,vj）.定義網(wǎng)絡(luò)中幾個指標：節(jié)點vi的度是0-1變量，當nij=1時，表示E（vi,vj）存在，否則表示不存在；度的值反映了網(wǎng)絡(luò)節(jié)點之間的可達性，值越大說明乘客有更多的出行路徑選擇.網(wǎng)絡(luò)平均路徑長度表示i站和j站之間的最短路徑距離，L反映了從車站i去往車站j平均經(jīng)過的車站數(shù)，是網(wǎng)絡(luò)連通性的一個指標.pij（t）分別表示t時刻i站的進站乘客數(shù)、出站乘客數(shù)以及從i站去往j站的乘客數(shù).由于高峰期常態(tài)大客流通常以通勤通學為目的，乘客起訖點相對固定，的值可由AFC實時數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析獲得，設(shè)為常數(shù).考慮地鐵對居民職住地選擇和通勤出行行為的影響，本文利用在路網(wǎng)規(guī)劃中常用的基于旅客空間相互作用的重力模型對pij（t）進行估計，即：

大多數(shù)復雜網(wǎng)絡(luò)雖然具有非線性特征，但是在結(jié)構(gòu)上與線性系統(tǒng)有相似性質(zhì)[9].假設(shè)對限流的時間段進行細分，在一個充分小的Δt時間段內(nèi)，系統(tǒng)參數(shù)不隨時間的變化而變化，則客流網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)可用線性時不變動力系統(tǒng)微分方程表示為：

模型具有線性和時不變性兩個特征，向量x（t）=（x1（t）,x2（t）,…,xN（t））T表示t時刻網(wǎng)絡(luò)內(nèi)各車站的客流狀態(tài)，xi（t）可看作車站i實際客流強度；A=（aij（t） ）N×N為基于網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)的客流轉(zhuǎn)移矩陣，其中aij（t）≠ 0 表示網(wǎng)絡(luò)圖中存在從節(jié)點vj指向節(jié)點vi的邊，其值表示站間的客流轉(zhuǎn)移情況；式（2）刻畫了Δt時間段內(nèi)客流變化過程.

在［t,t+Δt］區(qū)間內(nèi)，若存在一個分段連續(xù)的輸入u（t），使系統(tǒng)由初始狀態(tài)x（t）轉(zhuǎn)移到期望狀態(tài)x（t+Δt），則稱系統(tǒng)在此狀態(tài)是可控的.若所有狀態(tài)皆可控，則稱系統(tǒng)可控.高峰時段的客流分布和運能之間通常不匹配，若以外界實施的控流措施作為輸入條件，則控流效果可表示為：

其中，輸入矩陣B=（bij（t） ）N×M表示t時刻被選擇進行客流控制的M（M≤N）個車站；輸入信號u（t）=若t時刻j站限流，則取b（t）=1 （i=j），否則為0；u（t）為j ijj站的控流強度.

1.2 客流網(wǎng)絡(luò)可控性分析

在有向網(wǎng)絡(luò)中，帶有控制輸入的節(jié)點為控制節(jié)點，只有單一輸入的控制節(jié)點為驅(qū)動節(jié)點，如果從控制節(jié)點到狀態(tài)節(jié)點至少存在一條鏈，則稱此狀態(tài)節(jié)點為被控節(jié)點.系統(tǒng)可控情形下，輸入信號可通過某條路徑到達所有的節(jié)點.基于系統(tǒng)可控性優(yōu)化主要解決兩個問題：最少需要多少驅(qū)動節(jié)點數(shù)Nd使系統(tǒng)可控；如何進行驅(qū)動節(jié)點的選擇以使控制效果更好.

文獻[8]提出，線性系統(tǒng)完全可控的充分必要條件是由A和B構(gòu)成的 Kalman判別矩陣c的行秩是滿秩，即滿足：

以圖1的網(wǎng)絡(luò)為例，在圖1-a中：

圖1 有向網(wǎng)絡(luò)可控性判別

此時rank（c）=4，網(wǎng)絡(luò)可控.而圖1-b中 rank（c）=3＜4，網(wǎng)絡(luò)處于不可控狀態(tài).

文獻[9]提出了網(wǎng)絡(luò)可控性與最大匹配相關(guān)聯(lián)的最小輸入理論，即控制一個有向網(wǎng)絡(luò)所需的最少輸入數(shù)量(驅(qū)動節(jié)點數(shù))等于二分圖的最大匹配中未匹配節(jié)點數(shù)量.若存在完全匹配，則最少驅(qū)動點Nd=1；如果不存在完全匹配，則Nd為網(wǎng)絡(luò)最大匹配集所對應(yīng)的未匹配節(jié)點的個數(shù).

本文將地鐵客流控制站點的識別問題轉(zhuǎn)化為：如何從網(wǎng)絡(luò)中找出有限個驅(qū)動節(jié)點，使不可控網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)化為可控網(wǎng)絡(luò).基于以上分析，可采取如下思路：將圖G（V,E）轉(zhuǎn)化為二分圖，節(jié)點vi分為由此構(gòu)成兩個不同的節(jié)點集邊集E=設(shè)M為二分圖邊集的一個子集，若M中的任意兩條邊都沒有公共的起點和終點，則稱M是一個匹配，如果一個節(jié)點是M中的一條邊的終點，則該節(jié)點就是匹配節(jié)點，否則為非匹配節(jié)點，非匹配節(jié)點即為驅(qū)動節(jié)點.網(wǎng)絡(luò)的所有邊沒有共享的頭節(jié)點或尾節(jié)點時，網(wǎng)絡(luò)達到最大匹配.圖2給出了圖1-b所示網(wǎng)絡(luò)到二分圖之間的映射關(guān)系，根據(jù)最大匹配原理求得非匹配節(jié)點為｛v1,v4｝.對非匹配節(jié)點（驅(qū)動節(jié)點）給予相同數(shù)量的輸入信號，可實現(xiàn)對整個網(wǎng)絡(luò)的有效控制.

圖2 網(wǎng)絡(luò)到二分圖的映射關(guān)系

從示例可以看出，系統(tǒng)可控與否主要取決于其拓撲結(jié)構(gòu)和外界輸入條件，但在實踐運用中會遇到以下問題：1）對于簡單有向網(wǎng)絡(luò)，可以利用枚舉法通過不斷添加和判斷兩個過程尋找最少控制點，計算其復雜度為2N-1，對于大型網(wǎng)絡(luò)此方法在理論上可行，實際卻不可行；2）由于客流是動態(tài)變化的，aij（t）的實時數(shù)據(jù)具有滯后性，只能取得近似值.針對以上兩種情形，本文進一步提出優(yōu)化算法.

2 基于最小驅(qū)動點集的控流車站識別優(yōu)化方法

由于在地鐵網(wǎng)絡(luò)高峰期，不同線路、同一線路的上下行方向以及線路各斷面之間會存在客流空間分布不均衡現(xiàn)象；另外由前面分析可知，客流的實時精確數(shù)據(jù)難以獲得.為了解決問題的主要矛盾，針對有向弧上的流量引入閾值q0，基于q0對初始網(wǎng)絡(luò)矩陣中的有向弧進行刪減，當pij≥q0時，取aij（t）=pij（t），保留弧E（vi,vj）；當pij（t）＜q0時，取aij（t）=0，剔除弧E（vi,vj），將初始網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)化為骨干網(wǎng)絡(luò).

當r ank （c）=ra nk （B,AB,A2B,…,AN-1B） ＜N時，說明系 統(tǒng)處 于不可 控狀 態(tài)，此 時添 加新的 虛 擬輸入節(jié)點vk，連接有向弧E（vi,vk），新系統(tǒng)的輸入-輸出模型可定義為：

其中B'=（Ek），Ek為單位矩陣的第k列的列向量，u'（t）為新增的輸入信號.令 r ank （c'）=rank([B,B'],A[B,B'],A2[B,B'],…,AN-1[B,B'])，稱f（i）=ra nk(c')-r ank（c）為節(jié)點vi的控制能力.若f（i）≠ 0，則稱節(jié)點vk的添加為節(jié)點vi的有效添加，否則為無效添加.遍歷vk的所有有效添加的節(jié)點，稱max{f(i)i=1,2,…,N}對應(yīng)的連接為節(jié)點vk的最優(yōu)連接.

具體算法如下：

步驟1：構(gòu)造骨干網(wǎng)絡(luò)矩陣A.

步驟2：對化簡后的骨干網(wǎng)絡(luò)求最小驅(qū)動點集.

1）初始化，令S=0,U=[ ],b=[ ],v={}.計算節(jié)點vi（i=1,2,…,N）的控制能力f（i），按值的降序?qū)?jié)點進行排列.

2）添加新的輸入節(jié)點vk，按下列規(guī)則尋找最優(yōu)連接：若vk是關(guān)于某節(jié)點的無效添加，則考慮下一個點，直至找到所有有效添加節(jié)點集合，選擇vk的最優(yōu)連接E（vi,vk）.此時有：S=vi,U=

3）循環(huán)，直到所有添加的輸入節(jié)點都找到最優(yōu)連接.

4）終止條件：判別矩陣行秩為滿秩.

高峰期客流控制時間設(shè)為[0,T]，將其等分成長度為δ的個小時間段，滿足=T.在每個δ時間段內(nèi)，依據(jù)本文提出的算法對控制站點進行識別，重復上述過程，可得出整個高峰時段的最優(yōu)控流策略.由于車站客流強度是時間的函數(shù)，因此，控流車站的選擇在實施過程中也是一個動態(tài)的過程.

3 算例實驗

深圳地鐵目前已運營線路共設(shè)有283座車站，為減少問題復雜度，本文以客運量較大的3號線為例.3號線全長42 km，共30座車站，采用6節(jié)編組的B型地鐵列車，早晚高峰期列車追蹤間隔時間已縮減至150 s，區(qū)間最高運營速度85 km/h.某4個連續(xù)工作日18:30到18:45實測15 min斷面客流分布如圖3所示，沿線潮汐客流特征明顯，小時客流不均衡系數(shù)和區(qū)間斷面客流不均衡系數(shù)皆較大，其下行方向部分區(qū)間擁擠度峰值高達121%.

圖3 晚高峰斷面客流分布

根據(jù)換乘節(jié)點所通過線路的條數(shù)，針對所有換乘節(jié)點，添加相應(yīng)個數(shù)相關(guān)聯(lián)的虛擬節(jié)點，以表示線網(wǎng)間存在的客流轉(zhuǎn)換關(guān)系.基于沿線各站進出的平均數(shù)據(jù)及站間距離，依據(jù)式（1）估計出晚高峰15min內(nèi)客流OD數(shù)據(jù)，可得狀態(tài)矩陣：

取車站日均客流量15 min內(nèi)的平均值為閾值(q0=0.0213)，算得骨干矩陣為：

根據(jù)Kalman可控性判別條件可知系統(tǒng)處于不可控狀態(tài)，主要原因在于：當q0的值逐漸增大時，骨干網(wǎng)絡(luò)中有向弧逐漸減少，許多點會變成孤立點，對應(yīng)的驅(qū)動節(jié)點數(shù)也將隨之增多；其次，該線路有11個換乘節(jié)點，由最大匹配理論可知，換乘節(jié)點周圍的不匹配節(jié)點較多，所需驅(qū)動節(jié)點的數(shù)量不夠.

根據(jù)本文提出的搜索算法，當添加的輸入節(jié)點達到7個及以上時，系統(tǒng)處于可控狀態(tài)，此時限流車站達到 23%以上，路網(wǎng)在可控狀態(tài)下的最優(yōu)連接，即最小控流車站集合為{蓮花村、老街、曬布、翠竹、田貝、布吉、六約}，這與該線路目前常態(tài)化限流車站的站點數(shù)量和實際站點基本吻合.

4 結(jié)論

本文結(jié)合圖論和系統(tǒng)可控性原理研究了地鐵高峰期客流控制站點的選擇問題，給出了網(wǎng)絡(luò)可控與否的判別方法，針對不可控情形，基于節(jié)點的控制能力提出最小驅(qū)動節(jié)點集合的搜索算法，算例驗證了算法的合理性和有效性.

本文對客流控制只作了宏觀方面的研究，具體的控流強度和控流措施沒有涉及；在將原始客流網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)化為骨干網(wǎng)絡(luò)時，閾值的選取也帶有一定的主觀性；另外，驅(qū)動節(jié)點數(shù)目與節(jié)點的度分布之間的關(guān)系值得進一步探討.這三個方面在今后的地鐵客流控制量化分析中再作深入研究.