周婉娜，熊志平

（五邑大學 數(shù)學與計算科學學院，廣東 江門 529020）

1 引言及預備知識

矩陣乘積廣義逆的反序律和正序律在統(tǒng)計學、微分方程、電網(wǎng)絡分析等領域都有著不可或缺的重要作用[1-2].20世紀60年代以來，很多學者研究了矩陣乘積廣義逆的反序律，例如矩陣乘積的｛1｝-逆、｛1,3｝-逆、｛1,2,3｝-逆、M-P逆的反序律成立的充要條件，得到了很多有趣的結果和一些重要的應用算法[2-3].關于矩陣乘積廣義逆的正序律的理論與應用研究相對較少，很多相關問題還需要進一步的解決，因此矩陣乘積廣義逆的正序律成為了一個熱點研究課題.

在本文中，Cm×n表示復數(shù)域中所有m×n矩陣，Im為m階單位矩陣，0m×n為m×n零矩陣（常用0代表合適的零矩陣）.對任意的A∈Cm×n，A*為A的共軛轉置，r（A）為A的秩，R(A)為A的值域，N(A)為A的零空間，相關概念參見文獻[1,3].

定義 1[4]設A∈Cm×n，滿足下列 4個 Penrose條件：1）AXA=A，2）XAX=X，3）（AX）*=AX，（XA）*=XA的矩陣X∈Cn×m稱為A的M-P逆，記X=A+.

引理1[1]矩陣的M-P逆滿足以下性質(zhì)：A*(AA*)+=(A*A)+A*=A*(A*AA*)+A*=A+.

引理2[5]設矩陣A、B、C和D滿足以下條件：R(B)?R(A)，R(C*)?R(A*)或R(C)?R(D)，R(B*)?R(D*)，則

引理 3[6]設再設

則對于某些Xi有：

而且n×n分塊矩陣的 M-P逆可以表示為：其中，

2 主要結果

定理1設則5×5分塊矩陣的M-P逆可以表示為：

其中，M（i,j）可根據(jù)引理3中的式（3）和（4）給出，特別地，

證明因為所以

結合式（6-9）以及引理 3中的式（1-2），可以得出定理1的結論.特別地，根據(jù)引理 1，我們知道A*(A*AA*)+A*=A+.因此，可得：

為了得到定理2，我們首先證明以下秩等式：對于任意的矩陣iA來說，

證明因為所以

定理2設A1,A2,A3∈Cm×m且A=A1A2A3，M,P和Q由定理1給出，則：

證明構造可逆矩陣D1,D2,D3,D4和列矩陣D5如下：

則

因此r(M)=r(MD1D2D3D4)=2m+r(A1)+r(A2)+r(A3)，且R(QA)?R(Q)=R(MD1D2D3D4D5)?R(M).

另一方面，構造可逆矩陣T1,T2,T3,T4和行矩陣T5如下：

利用定理1和定理2可以得到定理3.

定理 3設且M,P和Q由定理 1給出，則以下等式等價：

其中，E1=（0,0,0,Im），E2=（0,0,0,Im）*，以及

證明由定理1可得成立的充要條件為

則

根據(jù)引理2、定理2以及式（10），可得：

另一方面，

結合式（11-13）可知，定理3成立.

3 結論

對任意的矩陣Ai∈Cm×m,i=1,2,3，本文利用秩等式和廣義 Schur補的性質(zhì)，得出了 3個矩陣乘積的M-P逆正序律成立的充要條件.