黃金紅

(無錫商業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部， 江蘇 無錫 214153)

商品儲(chǔ)存是商品流通過程的必要環(huán)節(jié)，是保證市場(chǎng)供應(yīng)、滿足消費(fèi)需求的一種手段。制定庫(kù)存策略是在商品銷售過程中的一種經(jīng)濟(jì)分析決策，旨在提升企業(yè)的經(jīng)營(yíng)管理水平，它在提高決策準(zhǔn)確性、減少銷售盲目性等方面有著非常重要的作用。商品的庫(kù)存過程是一種隨機(jī)過程，可以用俄國(guó)數(shù)學(xué)家馬爾可夫于1907年提出的馬爾可夫鏈模型來描述。在已知現(xiàn)在及過去狀態(tài)的條件下，其未來的狀態(tài)不依賴于過去的狀態(tài)，而只與現(xiàn)在的狀態(tài)有關(guān),這種性質(zhì)稱為無后效性或馬爾可夫性[1]。這種具有無后效性，且時(shí)間、狀態(tài)均為離散隨機(jī)過程的模型稱為馬爾可夫鏈模型。馬爾可夫鏈模型在排隊(duì)系統(tǒng)、經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)和決策、人工智能、庫(kù)存系統(tǒng)以及金融風(fēng)險(xiǎn)管理等許多領(lǐng)域有著廣泛的用途[2]。

貴重機(jī)械設(shè)備由于價(jià)格昂貴、銷售量小，銷售公司一般不會(huì)有大量的庫(kù)存。銷售公司為實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)最大化，一方面要使庫(kù)存量盡量少以免占用大量資金，但另一方面也須保證不能失去難得的銷售機(jī)會(huì)，因此在銷售過程中有必要制定一個(gè)高效的庫(kù)存策略，以保證公司獲得最佳的效益。

本文以某銷售公司一款價(jià)格昂貴的風(fēng)機(jī)凈化器為例，來研究貴重機(jī)械設(shè)備的庫(kù)存策略。風(fēng)機(jī)凈化器應(yīng)用于餐飲行業(yè)，可避免各種油煙廢氣直接外排污染環(huán)境。貴重機(jī)械設(shè)備的庫(kù)存為隨機(jī)過程，其下一時(shí)期的庫(kù)存量只取決于這一時(shí)期的庫(kù)存量，與之前各時(shí)期的庫(kù)存量無關(guān)，即具備馬爾可夫性。因此，可以利用馬爾可夫鏈模型對(duì)風(fēng)機(jī)凈化器等貴重機(jī)械設(shè)備的庫(kù)存策略進(jìn)行研究，評(píng)價(jià)各種策略的效果，并進(jìn)行敏感性分析。

一、馬爾可夫鏈

(一)馬爾可夫鏈相關(guān)概念

馬爾可夫鏈描述了一種時(shí)間和狀態(tài)都離散的隨機(jī)過程，是一組具有馬爾可夫性質(zhì)的隨機(jī)序列{Xt，t∈T}，是一個(gè)無記憶的隨機(jī)過程。這些隨機(jī)變量Xt的范圍，即它們所有可能取值的集合，被稱為狀態(tài)空間。

如果隨機(jī)序列{Xt,t∈T}滿足以下兩個(gè)條件[3]：

(1) 時(shí)間為整數(shù)集合T={0,1,2,…},對(duì)應(yīng)每個(gè)時(shí)刻，狀態(tài)空間是離散集I={0,1,2,…}

(2) 在任意時(shí)刻n,對(duì)于狀態(tài)i0,i1,…,in-1,in,j，有等式P(Xn+1=j|Xn=i,Xn-1=in-1,…,X1=i1,X0=i0)=P(Xn+1=j|Xn=i)

則該序列為馬爾可夫鏈，即{Xt,t∈T}在時(shí)刻n+1所處的狀態(tài)只與它在時(shí)刻n的狀態(tài)有關(guān)，而與時(shí)刻n之前所處的狀態(tài)無關(guān)，此性質(zhì)稱為馬爾可夫性。

上述條件(2)中的等式右端為隨機(jī)過程中的轉(zhuǎn)移概率，也被稱作單步轉(zhuǎn)移概率，記為Pij(n)：

Pij(n)=P{Xn+1=j|Xn=i}

單步轉(zhuǎn)移概率Pij(n)滿足以下兩個(gè)條件[4]：

(1)Pij(n)≥0;i,j∈I

將時(shí)刻n固定，由單步轉(zhuǎn)移概率Pij(n)為元素構(gòu)成的矩陣，稱為時(shí)刻n的單步轉(zhuǎn)移矩陣。如果狀態(tài)空間是有限集I={0,1,2,…,k}，則稱{Xt,t∈T}為有限狀態(tài)馬爾可夫鏈，對(duì)應(yīng)時(shí)刻n的單步轉(zhuǎn)移矩陣為k階矩陣：

如果馬爾可夫鏈單步轉(zhuǎn)移概率矩陣中的條件概率Pij(n)與n無關(guān)，即在任意時(shí)刻n，從狀態(tài)i經(jīng)由單步轉(zhuǎn)移達(dá)到狀態(tài)j的概率都相等，即滿足P{Xn+1=j|Xn=i}=Pij，則稱此馬爾可夫鏈為時(shí)齊的馬爾可夫鏈[2]，表示系統(tǒng)由狀態(tài)i到狀態(tài)j的轉(zhuǎn)移概率只依賴于時(shí)間間隔的長(zhǎng)短，與起始的時(shí)刻無關(guān)。

(二)正則鏈

狀態(tài)Xn=i到Xn+1=j的轉(zhuǎn)移概率Pij=P(Xn+1=j|Xn=i)，記狀態(tài)概率為ai(n)=P(Xn=i)，根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移的無后效性和全概率公式，可得馬爾可夫鏈基本公式：

若記狀態(tài)概率向量和轉(zhuǎn)移概率矩陣分別為：

a(n)=(a1(n),a2(n),…,ak(n))

P={pij}k×k

則得到:

a(n+1)=a(n)P

還可得到:

a(n)=a(0)Pn

一個(gè)有限狀態(tài)的馬爾可夫鏈，若從任意狀態(tài)出發(fā)，經(jīng)過有限次轉(zhuǎn)移都能達(dá)到另外的任意狀態(tài)，則稱此馬爾可夫鏈為正則鏈[2]。而正則鏈有唯一的極限狀態(tài)概率w=(ω1,ω2,…,ωk)，它表示經(jīng)過足夠長(zhǎng)時(shí)間的轉(zhuǎn)移，即當(dāng)n→∞時(shí)，狀態(tài)概率向量a(n)→w，并且w與初始狀態(tài)概率a(0)無關(guān)。其中w稱為穩(wěn)態(tài)概率，滿足以下條件[3]:

(1)w=wP

二、模型應(yīng)用

本文以價(jià)格比較昂貴的風(fēng)機(jī)凈化器為例，來研究貴重機(jī)械設(shè)備的庫(kù)存策略。通過分析風(fēng)機(jī)凈化器的銷售情況，給出三種庫(kù)存策略，利用馬爾可夫鏈模型探討這三種庫(kù)存策略下失去銷售機(jī)會(huì)的可能性以及每周的平均銷售量。

在風(fēng)機(jī)凈化器的銷售過程中，客戶的需求是隨機(jī)且獨(dú)立出現(xiàn)的，那么單位時(shí)間內(nèi)的需求量即隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)，可用泊松分布來描述[3]。泊松分布的參數(shù)是單位時(shí)間內(nèi)隨機(jī)事件的平均發(fā)生率，本文泊松分布的參數(shù)取風(fēng)機(jī)凈化器每周的平均銷售量，以此計(jì)算每周不同需求量的概率。不同的需求量將導(dǎo)致每周初庫(kù)存狀態(tài)發(fā)生變化，當(dāng)需求量超過庫(kù)存量時(shí)就會(huì)失去銷售機(jī)會(huì)。動(dòng)態(tài)過程中，每周銷售量不同，失去銷售機(jī)會(huì)的概率也不同。本文按照穩(wěn)態(tài)情況，計(jì)算失去銷售機(jī)會(huì)的概率和每周的平均銷售量，用失去銷售機(jī)會(huì)的可能性大小來評(píng)價(jià)模型的優(yōu)劣。

(一)三種庫(kù)存策略比較

商品的庫(kù)存策略是指為何時(shí)補(bǔ)充存貨以及補(bǔ)充多少存貨提供的方案。根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，某公司銷售的這款新型風(fēng)機(jī)凈化器的周平均銷售量為1套，即該設(shè)備的每周需求量服從均值為1的泊松分布。本文以每周初的庫(kù)存量為狀態(tài)變量，狀態(tài)轉(zhuǎn)移具有無后效性，用馬爾可夫鏈描述不同需求導(dǎo)致的周初庫(kù)存狀態(tài)的變化，分別討論以下三種庫(kù)存策略。

策略一：每周末檢查庫(kù)存量，僅當(dāng)庫(kù)存量為0時(shí)，訂購(gòu)3套設(shè)備；否則，不訂購(gòu)。

根據(jù)此種庫(kù)存策略可知，每周末的庫(kù)存量有四種狀態(tài)，分別是0，1，2，3(套)；而每周初的庫(kù)存量有三種狀態(tài)，分別是1，2，3(套)。當(dāng)需求量超過庫(kù)存量時(shí)就會(huì)失去銷售機(jī)會(huì)。

記第n周的需求量為Dn，Dn服從參數(shù)為1的泊松分布，即

(1)

由式(1)可計(jì)算得到P(Dn=0)=0.3679，P(Dn=1)=0.3679，P(Dn=2)=0.1839，P(Dn=3)=0.0613及P(Dn>3)=0.0190。

記第n周周初的庫(kù)存量為Sn，Sn∈{1,2,3}是馬爾可夫鏈的狀態(tài)變量。每周初的庫(kù)存量有三種狀態(tài)，由庫(kù)存策略可知狀態(tài)轉(zhuǎn)移規(guī)律為：

由pij=P(Sn+1=j|Sn=i)，可得狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率為：

p11=P(Sn+1=1|Sn=1)=P(Dn=0)=0.3679

p12=P(Sn+1=2|Sn=1)=0

p13=P(Sn+1=3|Sn=1)=P(Dn≥1)=0.6321

p21=P(Sn+1=1|Sn=2)=P(Dn=1)=0.3679

p22=P(Sn+1=2|Sn=2)=P(Dn=0)=0.3679

p23=P(Sn+1=3|Sn=2)=P(Dn≥2)=0.2642

p31=P(Sn+1=1|Sn=3)=P(Dn=2)=0.1839

p32=P(Sn+1=2|Sn=3)=P(Dn=1)=0.3679

p33=P(Sn+1=3|Sn=3)=P(Dn=0)+P(Dn≥3)=0.4482

于是狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為：

記狀態(tài)概率為：

ai(n)=P(Sn=i) (i=1,2,3)

a(n)=(a1(n),a2(n),a3(n))

根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移具有馬爾可夫性，滿足a(n+1)=a(n)P；又根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣P的形式，可知此馬爾可夫鏈從任意狀態(tài)出發(fā)，經(jīng)過有限次轉(zhuǎn)移都能達(dá)到另外的任意狀態(tài)，即這是一個(gè)正則鏈。而正則鏈有穩(wěn)態(tài)概率分布w，且穩(wěn)態(tài)概率分布滿足以下條件：

(1)w=wP

可求出滿足條件的穩(wěn)態(tài)概率分布w為：

w=(ω1,ω2,ω3)=(0.2847,0.2632,0.4521)

根據(jù)全概率公式，第n周需求量大于庫(kù)存量的概率為：

其中條件概率P(Dn>i|Sn=i)可由式(1)計(jì)算得到。

當(dāng)n充分大時(shí)，用穩(wěn)態(tài)概率代替狀態(tài)概率，即

P(Sn=i)=ωi(i=1,2,3)

于是，在穩(wěn)態(tài)情況下該庫(kù)存策略失去銷售機(jī)會(huì)的概率為：

P(Dn>Sn)=0.2642×0.2847+0.0803×0.2632+0.0190×0.4521=0.1049

由正則鏈的性質(zhì)可知，從長(zhǎng)期看，該設(shè)備失去銷售機(jī)會(huì)的可能性為10.49%。

在銷售過程中有兩種情況：若需求量小于庫(kù)存量，則銷售量即需求量；若需求量超過庫(kù)存量，則銷售量為庫(kù)存量。于是可得到第n周的平均銷售量為：

計(jì)算得到：

Rn=0.6321×0.2847+0.8963×0.2632+0.9766×0.4521=0.8574

因此，從長(zhǎng)期看，該設(shè)備每周的平均銷售量為0.8574套設(shè)備。

策略二：每周末檢查庫(kù)存量，當(dāng)庫(kù)存量為0或者1時(shí)訂購(gòu)設(shè)備，使下周的庫(kù)存量達(dá)到3套；否則，不訂購(gòu)。

根據(jù)此種庫(kù)存策略，可知每周末的庫(kù)存量有四種狀態(tài)，分別為0,1,2,3(套)；而每周初的庫(kù)存量有兩種狀態(tài)，分別是2,3(套)。若需求概率不變，當(dāng)需求量超過庫(kù)存量時(shí)就會(huì)失去銷售機(jī)會(huì)。這時(shí)狀態(tài)轉(zhuǎn)移規(guī)律為：

由Dn服從泊松分布，可得P(Dn=0)=0.3679，P(Dn=1)=0.3679，計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率為：

p22=P(Sn+1=2|Sn=2)=P(Dn=0)=0.3679

p23=P(Sn+1=3|Sn=2)=P(Dn≥0)=0.6321

p32=P(Sn+1=2|Sn=3)=P(Dn=1)=0.3679

p33=P(Sn+1=3|Sn=3)=P(Dn=0)+P(Dn≥2)=0.6321

于是狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為：

穩(wěn)態(tài)概率為：

w=(ω2,ω3)=(0.3679,0.6321)

第n周失去銷售機(jī)會(huì)的概率為：

因此，從長(zhǎng)期看，在穩(wěn)態(tài)情況下失去銷售機(jī)會(huì)的可能性為4.16%。

第n周的平均銷售量為：

因此，從長(zhǎng)期看，該設(shè)備每周的平均銷售量0.9471套。

策略三：每周末檢查庫(kù)存量，當(dāng)周末庫(kù)存量為0時(shí)，訂購(gòu)設(shè)備量為在本周銷售量的基礎(chǔ)上增加2套；否則，不訂購(gòu)。

根據(jù)此種庫(kù)存策略以及該設(shè)備每周需求量服從均值為1的泊松分布，可知每周末的庫(kù)存量分別是0,1,2,…,8(套)；而每周初的庫(kù)存量有八種狀態(tài)，分別是1,2,…,8(套)。若需求概率不變，當(dāng)需求量超過庫(kù)存量時(shí)就會(huì)失去銷售機(jī)會(huì)。第n周的需求量為Dn，周初庫(kù)存量Sn∈{1,2,…,8}是這個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)變量，這時(shí)狀態(tài)轉(zhuǎn)移規(guī)律為：

由Dn服從泊松分布，可得P(Dn=0)=0.3679，P(Dn=1)=0.3679，P(Dn=2)=0.1839，P(Dn=3)=0.0613，P(Dn=4)=0.0153，P(Dn=5)=0.0031，P(Dn=6)=0.0005及P(Dn>6)=0，計(jì)算得到狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣：

求得穩(wěn)態(tài)概率為：

w=(ω1,ω2,ω3,ω4,ω5,ω6,ω7,ω8)=(0.2497,0.2375,0.3369,0.1266,0.0450,0.0040,0.0003,0)

于是，在穩(wěn)態(tài)情況下第n周失去銷售機(jī)會(huì)的概率為：

因此，從長(zhǎng)期看，失去銷售機(jī)會(huì)的可能性為9.19%。

第n周的平均銷售量為：

因此，從長(zhǎng)期看，該設(shè)備每周的平均銷售量為0.8783套。

(二)敏感性分析

在建立模型的過程中，假設(shè)平均每周僅售出1套該風(fēng)機(jī)凈化器設(shè)備。事實(shí)上，這個(gè)數(shù)值在實(shí)際情況中會(huì)有波動(dòng)。當(dāng)該設(shè)備的周平均需求量在1附近波動(dòng)時(shí)，即周平均需求量發(fā)生變化時(shí)，失去銷售機(jī)會(huì)的可能性也會(huì)有不同的變化。按照建立的馬爾可夫鏈模型，Dn服從均值為λ的泊松分布，其中周平均需求量λ在1附近波動(dòng)。對(duì)于策略一，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣[2]為:

記失去銷售機(jī)會(huì)的概率(即需求量大于庫(kù)存量的概率)為P=P(Dn>Sn)。對(duì)于不同的周平均需求量λ(在1附近波動(dòng))，可計(jì)算當(dāng)需求量λ發(fā)生變化時(shí)失去銷售機(jī)會(huì)的概率變化。三種庫(kù)存策略失去銷售機(jī)會(huì)的概率結(jié)果如表1所示。

表1 三種庫(kù)存策略失去銷售機(jī)會(huì)的概率

從表1中可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于策略一，若該風(fēng)機(jī)凈化器設(shè)備每周的平均需求量增長(zhǎng)(或減少)10%，則失去銷售機(jī)會(huì)的概率將增大(或減小)約16%；對(duì)于策略二，若該設(shè)備每周的平均需求量增長(zhǎng)(或減少)10%，則失去銷售機(jī)會(huì)的概率將增大(或減小)約10%；對(duì)于策略三，若該設(shè)備每周的平均需求量增長(zhǎng)(或減少)10%時(shí)，則失去銷售機(jī)會(huì)的概率將增大(或減小)約9%。

(三)模型結(jié)論

根據(jù)風(fēng)機(jī)凈化器的銷售規(guī)律，本文利用馬爾可夫鏈模型制定了三種庫(kù)存策略，并分析了這三種策略失去銷售機(jī)會(huì)的概率，發(fā)現(xiàn)這些概率各不相同，分別為10.49%、4.16%、9.19%。此結(jié)論說明，從長(zhǎng)期看，策略二在穩(wěn)態(tài)情況下失去銷售機(jī)會(huì)的可能性最小，這時(shí)每周的平均銷售量為0.9471套，這個(gè)數(shù)據(jù)最接近原始數(shù)據(jù)。由此可見，策略二的兩個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)都為最優(yōu)。

在敏感性分析中，計(jì)算得到三種庫(kù)存策略在不同的平均需求量下失去銷售機(jī)會(huì)的概率。對(duì)于這三種策略，在穩(wěn)態(tài)情況下，當(dāng)設(shè)備的平均需求量都增長(zhǎng)(或減少)10%時(shí)，其失去銷售機(jī)會(huì)的概率將分別增大(或減小)16%、10%、9%?？梢钥吹?，策略三失去銷售機(jī)會(huì)的概率最小，而策略二失去銷售機(jī)會(huì)的概率為10%。事實(shí)上，要使失去銷售機(jī)會(huì)的概率較小，且不占用銷售公司大量資金，可以認(rèn)為策略二“每周末檢查庫(kù)存量，當(dāng)庫(kù)存量為0或者1時(shí)訂購(gòu)設(shè)備，使下周的庫(kù)存量達(dá)到3套；否則，不訂購(gòu)”為貴重機(jī)械設(shè)備的最優(yōu)庫(kù)存策略。

三、結(jié)語

動(dòng)態(tài)隨機(jī)庫(kù)存策略是馬爾可夫鏈的典型應(yīng)用，關(guān)鍵之一是在無后效性的前提下恰當(dāng)?shù)囟x系統(tǒng)的狀態(tài)[5]。本文以風(fēng)機(jī)凈化器的庫(kù)存為例，根據(jù)貴重機(jī)械設(shè)備銷售庫(kù)存的特點(diǎn)，對(duì)已經(jīng)制定的庫(kù)存策略，構(gòu)建了馬爾可夫鏈庫(kù)存模型，以每周初的庫(kù)存量為狀態(tài)變量進(jìn)行分析，用失去銷售機(jī)會(huì)的概率和周平均銷售量這兩個(gè)指標(biāo)來評(píng)價(jià)三種庫(kù)存策略的效果，并進(jìn)行敏感性分析，研究了各庫(kù)存策略的優(yōu)劣。通過對(duì)模型進(jìn)行敏感性分析可知，此模型是有效、合理的。模型得出的結(jié)論能夠指導(dǎo)決策者改進(jìn)庫(kù)存方案，使得庫(kù)存決策更準(zhǔn)確、更有利于實(shí)現(xiàn)資金利用最大化。馬爾可夫鏈的庫(kù)存模型并不直接使用數(shù)據(jù)作為影響因子來建模，本文所用的唯一一個(gè)原始數(shù)據(jù)是該風(fēng)機(jī)凈化器設(shè)備每周的平均銷售量，所以相對(duì)于其他的庫(kù)存模型，本文對(duì)數(shù)據(jù)的依賴性更小，因而此模型的結(jié)果更具有參考價(jià)值。

馬爾可夫鏈在應(yīng)用時(shí)需要一個(gè)基本假設(shè)：狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率具有一定的穩(wěn)定性[6]。然而，實(shí)際情況是客觀事物很難長(zhǎng)期保持穩(wěn)定的轉(zhuǎn)移概率。在制定庫(kù)存策略時(shí)不僅要考慮本周的銷售量，還要考慮上周甚至更上一周的銷售情況，所以狀態(tài)變量要加以擴(kuò)充，這時(shí)就要修正轉(zhuǎn)移概率矩陣。