楊 揚(yáng)， 張 萌

(1.西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院，西安710072； 2.長(zhǎng)安大學(xué) 理學(xué)院，西安710064)

1 引 言

《線性代數(shù)》是高等院校理工科各類(lèi)專(zhuān)業(yè)的公共必修課程之一，其中涉及逆矩陣、最大線性無(wú)關(guān)組、特征值與特征向量、方陣的相似對(duì)角化等眾多重要但抽象的概念.教學(xué)中發(fā)現(xiàn)：關(guān)于上述概念的典型例題，大部分學(xué)生在求解時(shí)大方向是可以把握的.而一旦題目巧妙變動(dòng)，錯(cuò)誤率便會(huì)明顯升高，甚至有些學(xué)生毫無(wú)思路，無(wú)從下手.之所以出現(xiàn)這種情況，其關(guān)鍵在于學(xué)生對(duì)基本概念的理解不夠透徹，在相關(guān)概念的辨析和邏輯關(guān)系梳理上存在漏洞.為了便于學(xué)生理解，許多學(xué)者在概念的講解上進(jìn)行了大量有益的探索，如從線性變換的角度引入特征值與特征向量的概念[1-2]，通過(guò)概念類(lèi)比和內(nèi)容重構(gòu)的方法講解線性代數(shù)中向量組的線性相關(guān)性、克拉姆法則、線性空間等知識(shí)點(diǎn)[3-6]，通過(guò)案例化教學(xué)穿插引入方陣的相似對(duì)角化知識(shí)[7-8]等.這些探索在幫助學(xué)生理解概念上有一定的幫助，但實(shí)踐發(fā)現(xiàn)：相比于這種用一個(gè)抽象概念來(lái)解釋另一個(gè)抽象概念的教學(xué)方法，對(duì)抽象概念進(jìn)行形象化的類(lèi)比，更能幫助學(xué)生理解，同時(shí)也能加深學(xué)生的印象.

利用現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)物或例子，借助數(shù)形結(jié)合的思想，是幫助學(xué)生深入理解基本概念和相關(guān)性質(zhì)的一個(gè)有效渠道.實(shí)際上，這樣的例子在教學(xué)中多有存在，如“箭形”行列式、“階梯形”矩陣等概念，就是借助幾何形狀和生活實(shí)物的類(lèi)比來(lái)直觀地描述行列式和矩陣的特點(diǎn).這些來(lái)自于生活的形似化類(lèi)比可以幫助學(xué)生更好地理解知識(shí)[9].

本文將針對(duì)向量組最大無(wú)關(guān)組、特征值與特征向量、方陣的相似對(duì)角化這三個(gè)《線性代數(shù)》中的重要知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)生活中的實(shí)例開(kāi)展形似化教學(xué)設(shè)計(jì)，以便學(xué)生更加深入透徹地理解相關(guān)知識(shí).

2 典型的形似化教學(xué)設(shè)計(jì)案例

2.1 基于任務(wù)完成度分析的向量組最大無(wú)關(guān)組的形似化教學(xué)

向量組的最大無(wú)關(guān)組是線性代數(shù)課程《向量組的線性相關(guān)性》章節(jié)中，在線性表示、線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)等基本概念講解完成后引入的一個(gè)極其重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)后續(xù)齊次線性方程組基礎(chǔ)解系、線性空間的基等概念的理解至關(guān)重要，其定義如下[10]：

設(shè)A為一個(gè)向量組，若A中存在r個(gè)向量α1，α2，…，αr，滿(mǎn)足：

(i)A0:α1，α2，…，αr線性無(wú)關(guān)；

(ii)A中任意r+1向量(如果有的話)都線性相關(guān)，

那么稱(chēng)部分組A0為向量組A的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組，r稱(chēng)為向量組A的秩.

依據(jù)定義，可以看出最大無(wú)關(guān)組A0是由向量組A中的r個(gè)向量構(gòu)成的，是A的一個(gè)子集，但是這個(gè)子集對(duì)原向量組A的意義重大.由定義出發(fā)，教師通常會(huì)引導(dǎo)學(xué)生重點(diǎn)關(guān)注最大無(wú)關(guān)組的以下兩點(diǎn)基本性質(zhì)：

(i) 向量組A與最大無(wú)關(guān)組A0是等價(jià)的；

(ii) 向量組的最大無(wú)關(guān)組A0未必唯一.

與之前的線性表示、線性相關(guān)等概念簡(jiǎn)單明確不同，最大無(wú)關(guān)組的概念在定義上給出了“存在”、“任意”等邏輯詞，學(xué)生理解起來(lái)會(huì)存在一定的模糊，需要教師重點(diǎn)辨析.此時(shí)，如果在對(duì)概念尚不十分清晰的狀態(tài)下，進(jìn)一步講解上述性質(zhì)，有些同學(xué)理解起來(lái)就更加困難了.

如果將向量組A看作是如下圖1所示的一個(gè)10人團(tuán)隊(duì)，那么最大無(wú)關(guān)組A0則可以看作是這個(gè)團(tuán)隊(duì)中的一個(gè)小組(如2/5/9組成的灰色小組或3/6/8組成的黑色小組)，這個(gè)小組是整個(gè)團(tuán)隊(duì)中的核心，它當(dāng)中每個(gè)成員都非常優(yōu)秀、不可或缺，是整個(gè)團(tuán)隊(duì)中的精英小組.現(xiàn)在有一項(xiàng)任務(wù)安排給這個(gè)10人團(tuán)隊(duì)完成，通過(guò)對(duì)任務(wù)的完成度進(jìn)行分析，可以構(gòu)建一套形似化教學(xué)方案，幫助學(xué)生更加清晰地理解最大無(wú)關(guān)組的上述2條性質(zhì)：

① 雖然任務(wù)是安排給整個(gè)團(tuán)隊(duì)的，但是往往由于團(tuán)隊(duì)中某些成員能力欠缺或態(tài)度消極(如圖中1/4/7/10號(hào))，使得應(yīng)當(dāng)由他們來(lái)承擔(dān)的部分工作不得不由精英小組代為完成.這樣一來(lái)，精英小組可以完全代表整個(gè)團(tuán)隊(duì)來(lái)完成任務(wù)，他們的作用與整個(gè)團(tuán)隊(duì)的作用是相同的.因此，也就可以理解為向量組A與最大無(wú)關(guān)組A0是等價(jià)的；

② 在一個(gè)團(tuán)隊(duì)中，這樣的精英小組可能不只一個(gè)，如圖1中的灰色小組和黑色小組他們能力相當(dāng)，都可以獨(dú)立完成分配給整個(gè)團(tuán)隊(duì)的任務(wù)，也都可以作為整個(gè)團(tuán)隊(duì)的代言.因此，這也就可以理解為向量組的最大無(wú)關(guān)組A0未必唯一.

圖1 向量組最大無(wú)關(guān)組形似化教學(xué)設(shè)計(jì)示意圖

2.2 基于樹(shù)枝分叉結(jié)構(gòu)的特征值與特征向量的形似化教學(xué)

特征值與特征向量是線性代數(shù)中《矩陣的相似變換》章節(jié)中的重要基礎(chǔ)概念，其定義如下[10]：

設(shè)A=(aij)是n階方陣，若存在數(shù)λ和n維非零列向量x，使得

Ax=λx，

則稱(chēng)數(shù)λ為方陣A的特征值，非零向量x為方陣A對(duì)應(yīng)于特征值λ的特征向量.

依據(jù)定義可以得到特征值和特征向量的計(jì)算方法，即A的全部特征值是其特征方程|A-λE|=0的所有根，而A對(duì)應(yīng)于特征值λi的全部特征向量即為齊次線性方程組(A-λiE)x=0的全部非零解.

上述定義和求解過(guò)程可以用圖2中示意圖進(jìn)行描述，同時(shí)也明確了特征值和特征向量的兩條性質(zhì)：

(i) 若某個(gè)非零向量x是A的對(duì)應(yīng)于某一特征值的特征向量，那么它只能對(duì)應(yīng)于這一個(gè)特征值；

(ii) 方陣A對(duì)應(yīng)于同一特征值的特征向量有無(wú)窮多個(gè)(圖2中用虛線表示集合含有無(wú)窮個(gè)元素).

圖2 特征值與特征向量求解過(guò)程及隸屬關(guān)系示意圖

除了根據(jù)定義和求解過(guò)程得到上述兩條性質(zhì)之外，事實(shí)上，《線性代數(shù)》中還證明了關(guān)于特征值和特征向量的另外一條重要性質(zhì)[10]：

(iii) 屬于不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān).

上述三條性質(zhì)雖然字面上較易讀懂，但學(xué)生很難有直觀的認(rèn)識(shí)和深入的理解，因此當(dāng)題目靈活變通時(shí)會(huì)給他們的解題帶來(lái)障礙.

為了幫助學(xué)生更好地理解，觀察圖2中的結(jié)構(gòu)：“從方陣A出發(fā)——求特征值——求基礎(chǔ)解系——求全部特征向量”，這個(gè)過(guò)程就像一棵樹(shù)，一級(jí)一級(jí)地，最終生長(zhǎng)為枝繁葉茂的參天大樹(shù).因此，我們將圖2中的知識(shí)邏輯結(jié)構(gòu)形似化為圖3所示的樹(shù)枝分叉圖形.圖3中的大樹(shù)，由樹(shù)干、一級(jí)樹(shù)枝、二級(jí)樹(shù)枝及樹(shù)葉組成.其中，樹(shù)干就像是圖2中的方陣A，所有一級(jí)樹(shù)枝就是由方陣A這個(gè)樹(shù)干求出的全部特征值，而第i個(gè)一級(jí)樹(shù)枝上長(zhǎng)出來(lái)的二級(jí)樹(shù)枝就可以看作是齊次線性方程組(A-λiE)x=0的基礎(chǔ)解系，這些二級(jí)樹(shù)枝及其上的所有樹(shù)葉便是對(duì)應(yīng)于特征值λi的全部特征向量.在上述形似化類(lèi)比之下，可以用圖3來(lái)更加清晰地解釋特征向量和特征向量的隸屬關(guān)系及上述三條性質(zhì)：

圖3 特征值與特征向量形似化教學(xué)設(shè)計(jì)示意圖

① 在一棵樹(shù)上，同一片樹(shù)葉永遠(yuǎn)不會(huì)隸屬于兩根一級(jí)樹(shù)枝.類(lèi)比之下，同一個(gè)非零特征向量也永遠(yuǎn)不會(huì)對(duì)應(yīng)于兩個(gè)不同的特征值，因此A的任一特征向量都只能對(duì)應(yīng)于一個(gè)特征值，即性質(zhì)(i)；

② 對(duì)于特征值λi，即第i個(gè)一級(jí)樹(shù)枝來(lái)說(shuō)，隸屬于它的全部樹(shù)枝及樹(shù)葉均由λi的所有二級(jí)樹(shù)枝衍生而來(lái)，可類(lèi)比為：屬于同一特征值的全部特征向量是齊次線性方程組(A-λiE)x=0的全部非零解，均由(A-λiE)x=0基礎(chǔ)解系(即其全部二級(jí)樹(shù)枝)線性組合而來(lái)，因而有無(wú)窮多個(gè)，此即性質(zhì)(ii)(當(dāng)然，由于特征向量不能為零向量，因此在教學(xué)中要給學(xué)生強(qiáng)調(diào)這個(gè)線性組合的系數(shù)不全為零)；

③ 此外，可將這棵樹(shù)想得更夸張一點(diǎn)，它的所有一級(jí)樹(shù)枝之間都距離很遠(yuǎn)，遠(yuǎn)到隸屬于不同一級(jí)樹(shù)枝上的樹(shù)葉都不可能接觸到，則可類(lèi)比為“屬于不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān)”，此即性質(zhì)(iii).

樹(shù)木是我們生活中處處可見(jiàn)的事物，它的“干-枝-葉”結(jié)構(gòu)不僅可以幫助學(xué)生形象地理解特征值和特征向量的邏輯關(guān)系和重要性質(zhì)，同時(shí)也使學(xué)生對(duì)知識(shí)有非常深刻的印象，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)大有助益.

2.3 基于分地產(chǎn)糧模型的方陣相似對(duì)角化的形似化教學(xué)

方陣的相似對(duì)角化問(wèn)題是線性代數(shù)課程《矩陣的相似變換》章節(jié)中的核心內(nèi)容.方陣的相似對(duì)角化主要包括兩個(gè)環(huán)節(jié)：首先，判斷該方陣能否相似對(duì)角化；其次，在可對(duì)角化的前提下，求解相似變換矩陣，完成對(duì)該方陣的對(duì)角化.實(shí)際中，這兩個(gè)環(huán)節(jié)是在同一個(gè)核心過(guò)程中完成的，相關(guān)定理如下：

定理n階方陣A能夠相似對(duì)角化的充要條件是A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.

由定理及其證明過(guò)程可知[10]，判斷一個(gè)n階方陣能否相似對(duì)角化，實(shí)際上就是判斷它是否有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量：如果沒(méi)有，則其不能相似對(duì)角化；如果有，則可以相似對(duì)角化，并且相似變換矩陣就是由這n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量為列所組成的矩陣.這個(gè)結(jié)論簡(jiǎn)潔清晰，但問(wèn)題隨即轉(zhuǎn)化為：什么情況下n階方陣能有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量呢？

事實(shí)上，關(guān)于這一問(wèn)題有幾個(gè)重要結(jié)論：

(i)n階方陣A的全部互異特征值λ1，λ2，…，λt可由特征方程求出，其作為特征方程的根的重?cái)?shù)ni(i=1，2，…，t)稱(chēng)為該特征值的代數(shù)重?cái)?shù).由于特征方程在復(fù)數(shù)域內(nèi)恰好有n個(gè)根(重根按重?cái)?shù)計(jì)算)，因此n階方陣A的所有特征值的代數(shù)重?cái)?shù)之和必為n，即n1+n2+…+nt=n；

(ii) 齊次線性方程組(A-λiE)x=0的解空間的維數(shù)mi，稱(chēng)為特征值λi的幾何重?cái)?shù)，也是該特征值可以貢獻(xiàn)的線性無(wú)關(guān)特征向量的最大個(gè)數(shù).對(duì)于方陣A來(lái)說(shuō)，它的每個(gè)特征值能貢獻(xiàn)的線性無(wú)關(guān)特征向量的最大個(gè)數(shù)mi至少為一個(gè)，至多則不會(huì)超過(guò)其代數(shù)重?cái)?shù)ni，即1≤mi≤ni(i=1，2，…，t)[11]；

(iii)n階方陣A能否找到n個(gè)線性無(wú)關(guān)特征向量的關(guān)鍵在于其所有特征值的幾何重?cái)?shù)之和是否為n.結(jié)合(i)和(ii)，這可等價(jià)地轉(zhuǎn)述為A的每個(gè)特征值的幾何重?cái)?shù)是否都和其代數(shù)重?cái)?shù)相等，即是否有mi=ni(i=1，2，…，t).顯然，代數(shù)重?cái)?shù)為1的特征值對(duì)該問(wèn)題的答案并無(wú)影響，這是因?yàn)楦鶕?jù)(i)和(ii)的結(jié)論，其代數(shù)重?cái)?shù)跟幾何重?cái)?shù)必然相等.因此，決定因素在于A的每個(gè)代數(shù)重?cái)?shù)大于1的特征值；

(iv) 如果n階方陣A的每個(gè)特征值的幾何重?cái)?shù)都等于其代數(shù)重?cái)?shù)，即mi=ni(i=1，2，…，t)，由于屬于不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān)，因此把所有特征值能貢獻(xiàn)的所有線性無(wú)關(guān)的特征向量合在一起，恰為n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，即m1+m2+…+mt=n，此時(shí)n階方陣A便可以相似對(duì)角化；反之，只要有一個(gè)特征值的幾何重?cái)?shù)小于它的代數(shù)重?cái)?shù)，那么把A的全部特征值能貢獻(xiàn)的線性無(wú)關(guān)的特征向量合在一起，其總數(shù)一定小于n，此時(shí)A便不能相似對(duì)角化.

上述內(nèi)容結(jié)構(gòu)比較清晰，但邏輯比較抽象，因此一些同學(xué)會(huì)感覺(jué)比較繞，或者感覺(jué)結(jié)論較多記不住.為了便于學(xué)生形象地理解和加深記憶，采用富人分地—產(chǎn)糧這一生活化的例子對(duì)其進(jìn)行了形似化教學(xué)設(shè)計(jì).如圖4，把n階方陣A看作是一位年老力衰的富人，他有n塊大小相同的土地.因?yàn)槟晔乱迅?，他把這n塊土地全部分給他的t(t≤n)個(gè)孩子λ1，λ2，…，λt去經(jīng)營(yíng).但是富人對(duì)這t個(gè)孩子的偏愛(ài)程度有所不同，因此他在分地的時(shí)候并非平均分配，而是分別分給他們n1，n2，…，nt塊土地(n1+n2+…+nt=n).接下來(lái)，可以通過(guò)討論這t個(gè)孩子管理所得土地的產(chǎn)出，來(lái)判斷富人的家族財(cái)富能否得以延續(xù).

圖4 方陣的相似對(duì)角化教學(xué)設(shè)計(jì)示意圖

在這個(gè)形似化案例中，擁有n塊土地的富人代表n階方陣A，而他的t個(gè)孩子則代表A的t個(gè)互異特征值λ1，λ2，…，λt，每個(gè)孩子所分得的土地塊數(shù)n1，n2，…，nt則代表A的每個(gè)特征值的代數(shù)重?cái)?shù)，而這些土地所產(chǎn)出的糧食份數(shù)m1，m2，…，mt可看作是相應(yīng)的幾何重?cái)?shù).那么，根據(jù)代數(shù)重?cái)?shù)和幾何重?cái)?shù)的關(guān)系，做出以下兩點(diǎn)假設(shè)：

① 每塊土地不會(huì)產(chǎn)出超過(guò)1份糧食，因此ni塊土地產(chǎn)出的糧食總數(shù)mi不會(huì)超過(guò)ni.這類(lèi)比于每個(gè)特征值的幾何重?cái)?shù)不會(huì)超過(guò)其代數(shù)重?cái)?shù)；

② 僅分得1塊土地的孩子都非常勤勞，他們可以保證自己的1塊土地能產(chǎn)出1份糧食，而不會(huì)更少.這類(lèi)比于代數(shù)重?cái)?shù)為1的特征值的幾何重?cái)?shù)也一定為1.

如此，可以很形象地通過(guò)土地的產(chǎn)出來(lái)判斷富人的家族財(cái)富能否延續(xù).顯然，如果所有那些被他偏愛(ài)的孩子(分得多于1塊土地的孩子，亦即代數(shù)重?cái)?shù)大于1的特征值)沒(méi)有好吃懶做，都非常努力，其所分得的土地都可以產(chǎn)出相應(yīng)份數(shù)的糧食(代數(shù)重?cái)?shù)等于幾何重?cái)?shù)，即mi=ni(i=1，2，…，t))，那么所有孩子產(chǎn)出的糧食合在一起恰好是n份(n階方陣A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量).此時(shí)，總產(chǎn)出與土地的總塊數(shù)吻合，即m1+m2+…+mt=n，因此富人的家族財(cái)富可得以延續(xù)(A可以相似對(duì)角化).但是，如果有任何一個(gè)被偏愛(ài)的孩子所貢獻(xiàn)的糧食數(shù)量少于他所分得的土地?cái)?shù)量(幾何重?cái)?shù)小于代數(shù)重?cái)?shù))，那么糧食總數(shù)也一定達(dá)不到所有土地應(yīng)該產(chǎn)出的數(shù)量n(A不存在n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量)，此時(shí)富人的家族財(cái)富顯然有所縮水，而不能得以延續(xù)(A不能相似對(duì)角化).

進(jìn)一步，圖4還可以推廣到實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角化問(wèn)題.不同于普通方陣能否相似對(duì)角化是有條件的，實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的相似對(duì)角化是無(wú)條件的，也就是說(shuō)，實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣一定可以相似對(duì)角化.在圖4的框架下，可以形象地將實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣看作一位所有孩子都很有能力、很爭(zhēng)氣的富人，他的每一個(gè)孩子都能讓手里的土地產(chǎn)出相應(yīng)數(shù)量的糧食.因此實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣這位富人，不必像普通富人一樣，擔(dān)心家族財(cái)富縮水，也就是一定可以相似對(duì)角化.

富人分地-產(chǎn)糧這種生活化的例子，可以幫助學(xué)生更加形象地理解方陣相似對(duì)角化的條件，同時(shí)能夠特別加深學(xué)生的印象，使學(xué)生對(duì)知識(shí)的記憶更加牢固，從而提高教學(xué)質(zhì)量.

3 形似化教學(xué)設(shè)計(jì)實(shí)踐效果

形似化教學(xué)在幫助學(xué)生理解和固化知識(shí)方面有非常大的作用.為了能夠定量地展現(xiàn)其優(yōu)勢(shì)，在教學(xué)中采用上述形似化教學(xué)范例時(shí)，均設(shè)計(jì)了相關(guān)試驗(yàn).試驗(yàn)的基本過(guò)程如下：首先，在往年練習(xí)和考試的題庫(kù)中提前選擇了10道相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的題目，其中1-8題難度接近，屬一般難度，9-10題難度接近且難度稍高.將10道題目隨機(jī)分為A、B兩組，每組5道題，其中均包括一道難度稍高的題；其次，在已傳授知識(shí)點(diǎn)但未引入形似化案例時(shí)，將A組題目發(fā)布給學(xué)生進(jìn)行解答；再次，在引入形似化案例之后，將B組題目發(fā)布給同一批學(xué)生進(jìn)行解答；最后，對(duì)A、B組題目的答題情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析.統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖5所示，其中范例1表示特征值與特征向量教學(xué)試驗(yàn)，范例2表示方陣的相似對(duì)角化教學(xué)試驗(yàn).經(jīng)統(tǒng)計(jì)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，使用了范例1和范例2進(jìn)行形似化教學(xué)后，學(xué)生5道題目的平均錯(cuò)誤率均明顯降低，分別由21%和28%下降到9%和12%，尤其對(duì)于難度較大的題目，錯(cuò)誤率下降更加明顯，分別由27%和32%下降到12%和14%，這說(shuō)明形似化范例的引入使得學(xué)生更能厘清知識(shí)的深層邏輯結(jié)構(gòu)，能幫助學(xué)生從本質(zhì)上理解和記憶知識(shí)，因此相對(duì)于引入形似化案例之前，學(xué)生更能應(yīng)對(duì)題目難度的增加，解答也更有把握.

圖5 形似化教學(xué)試驗(yàn)結(jié)果

此外，作者自2018年開(kāi)始對(duì)形似化教學(xué)進(jìn)行系統(tǒng)性、規(guī)范性研究，形成了若干形似化教學(xué)范例，并將之應(yīng)用于《線性代數(shù)》教學(xué)中，取得了良好的實(shí)踐效果.圖6列出了2017-2019年的學(xué)生成績(jī)，可以看出引入了形似化教學(xué)設(shè)計(jì)后，學(xué)生的整體成績(jī)得到明顯改善：優(yōu)秀學(xué)生(90分以上)的比例由2017年的13.1%增長(zhǎng)至2019年的29.3%，2019學(xué)年80分以上的學(xué)生比例接近60%；同時(shí)，自引入形似化教學(xué)設(shè)計(jì)后，不及格學(xué)生的比例明顯下降，由2017年的21.2%下降至2018和2019年的12%左右.這些數(shù)據(jù)證明了形似化教學(xué)設(shè)計(jì)對(duì)學(xué)生理解《線性代數(shù)》課程中抽象復(fù)雜的內(nèi)容具有積極有益的作用.

圖6 2017-2019年分?jǐn)?shù)段統(tǒng)計(jì)圖

4 結(jié) 論

形似化教學(xué)設(shè)計(jì)可以幫助學(xué)生更加深入透徹地理解知識(shí)，同時(shí)加深印象、強(qiáng)化記憶，促進(jìn)知識(shí)內(nèi)化.本文給出了《線性代數(shù)》中三個(gè)形似化教學(xué)范例，實(shí)踐表明這種形似化教學(xué)范例可以有效地幫助學(xué)生明晰概念的內(nèi)涵和邏輯關(guān)系，提高教學(xué)質(zhì)量.此外，形似化教學(xué)設(shè)計(jì)思想也具有良好的可復(fù)制性，可以在其他課程當(dāng)中予以應(yīng)用和發(fā)展.

致謝感謝參考文獻(xiàn)給予本文的有益啟發(fā)及審稿專(zhuān)家們的寶貴意見(jiàn).