羅志剛

(湖北工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院， 武漢430068)

1 引 言

下文提到的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)都滿(mǎn)足問(wèn)題所需要的連續(xù)性，所說(shuō)的“多元積分”包括平面區(qū)域上的二重積分、空間區(qū)域上的三重積分、第二類(lèi)曲面積分以及這些概念向更高維空間中的推廣.

湊微分法、換元法和分部積分法是計(jì)算一元函數(shù)積分的重要手段.但是，對(duì)于多元函數(shù)的積分，這些方法卻難以在重積分號(hào)下直接應(yīng)用，除非事先用Fubini定理將多元積分化成累次積分，然后去計(jì)算一元函數(shù)的積分.以平面區(qū)域D上的二重積分

(1)

為例，如果將二重微分號(hào)“dxdy”理解成微分元dx與dy的普通乘積，那么在作變量替換x=x(u，v)，y=y(u，v)后，換元公式

2 解決方案

2.1 普通積分和外積分

解決上述問(wèn)題的關(guān)鍵是將二重微分符號(hào)“dxdy”解釋成滿(mǎn)足反交換性的外積(實(shí)質(zhì)上就是對(duì)積分區(qū)域規(guī)定了方向)

dx∧dy=-dy∧dx，

并且去考慮積分

(2)

這種積分的被積式其實(shí)是一個(gè)外微分形式.外微分形式是可以作形式運(yùn)算的對(duì)象：它可以自由進(jìn)行變量替換，也能進(jìn)行湊微分(湊微分實(shí)際上是第一類(lèi)變量替換)和分部積分.因此，討論多元積分的湊微分和分部積分問(wèn)題的正確出發(fā)點(diǎn)不是(1)式而是(2)式.為了相區(qū)別，本文將(1)稱(chēng)為普通積分，(2)稱(chēng)為外積分(注意，“外積分”不是一個(gè)已經(jīng)被大家采用的標(biāo)準(zhǔn)術(shù)語(yǔ)，僅僅在本文中使用).通常的微積分課程中定義的二重積分和三重積分就是普通積分.

盡管如此，普通積分與外積分之間還是有聯(lián)系的.如果對(duì)積分區(qū)域取合適的定向(右手定向)，就可以使得外積分正好與普通積分相等

(3)

計(jì)算普通積分時(shí)，為了能用上外積分和外微分形式帶給我們的便利，要先作這一步轉(zhuǎn)換，即將普通積分與一個(gè)外積分相關(guān)聯(lián)起來(lái)，然后去計(jì)算這個(gè)外積分.

2.2 外微分形式及其運(yùn)算

高維空間中的外微分形式的一般理論可以參考文獻(xiàn)[1-3].為了避免過(guò)于抽象和形式化，這里只以二維空間和三維空間的情形為例子來(lái)說(shuō)明其計(jì)算規(guī)則.

二維空間的外微分形式有三種：

ω0=φ(x，y)，
ω1=P(x，y)dx+Q(x，y)dy，
ω2=f(x，y)dx∧dy.

(4)

它們分別稱(chēng)為0-形式，1-形式和2-形式.0-形式就是普通函數(shù)，1-形式是dx和dy的線(xiàn)性式，2-形式是dx∧dy的線(xiàn)性式.三維空間的外微分形式有四種：

(5)

由于∧運(yùn)算滿(mǎn)足反交換性，兩個(gè)相同的微分元間作外積運(yùn)算(比如dx∧dx)將得到零，所以二維空間的外微分形式不高于二次，三維空間的外微分形式不高于三次.

同一空間上的兩個(gè)外微分形式之間可以作外積，也可以對(duì)外微分形式再作微分(外微分).一般地，可以證明(當(dāng)然，對(duì)上述二維空間和三維空間中的外微分形式可以通過(guò)直接計(jì)算來(lái)驗(yàn)證)：

引理1[1](i)對(duì)任意兩個(gè)外微分形式的外積求微分的規(guī)則：

d(ω1∧ω2)=dω1∧ω2+(-1)pω1∧dω2，

(6)

其中ω1是p-形式；

(ii) (Poincare引理) 對(duì)任意外微分形式連續(xù)作兩次微分的結(jié)果為零：

d2ω=0.

(7)

對(duì)外微分形式作變量替換是直截了當(dāng)?shù)?例如，假定要對(duì)(4)中的ω2作第一類(lèi)換元

ξ=φ1(x，y)，η=φ2(x，y).

根據(jù)外微分和外積的計(jì)算規(guī)則，有

(8)

括號(hào)內(nèi)其實(shí)就是Jacobi行列式.所以

(9)

如果將式(8)寫(xiě)成

(10)

則換元后的結(jié)果(9)可以用如下的形式化計(jì)算直接得到

這正是一元函數(shù)中的“微分形式不變性”向多元函數(shù)的推廣.這種推廣也意味著在計(jì)算多元積分時(shí)，如果將被積分式看作外微分形式，換元法和湊微分法將可以直接在積分號(hào)下應(yīng)用.

2.3 對(duì)外微分形式的積分(外積分)

如2.1小節(jié)所述，外微分形式還可以作積分.普通微積分課中討論的第二類(lèi)曲線(xiàn)積分和第二類(lèi)曲面積分便是不同次數(shù)的外微分形式在流形(如曲線(xiàn)和曲面)上積分的具體例子.關(guān)于這些積分，有一個(gè)十分重要的定理：

引理2(廣義Stokes公式) 在任何流形S及其邊界?S上，對(duì)于外微分形式ω，有

(11)

這個(gè)定理的一般情形證明較復(fù)雜，讀者可以參考專(zhuān)著[3]，但它在二維空間以及三維空間的特例就是大家熟知的Green公式、Stoke公式和Gauss公式.廣義Stokes公式的作用如同Newton-Leibniz公式一樣：它們都將流形上的積分與流形邊界上的積分聯(lián)系了起來(lái)[2].

2.4 計(jì)算多元積分的降維法

算出積分的關(guān)鍵在于“降維”，Newton-Leibniz公式如此，化累次積分的方法也如此.廣義Stokes公式(11)左邊的被積式是比右邊高一次的外微分式，因此該公式也實(shí)現(xiàn)了“降維”，原則上它也可以作為計(jì)算多元積分的基礎(chǔ).然而，通常情況下，(11)左邊為諸如(2)的形式，很難立刻找出ω使得dω=f(x，y)dx∧dy，這導(dǎo)致利用(11)實(shí)現(xiàn)“降維”比較困難.所以，在普通微積分課程中，幾乎總是只從右邊向左邊用(11)式而不是反過(guò)來(lái)用，畢竟求一個(gè)已知外微分形式的外微分很容易.

有了外微分的計(jì)算規(guī)則以及前面討論過(guò)的積分號(hào)下湊微分和變量替換的技巧，就可以使用這些規(guī)則和技巧一步步去找到符合要求的ω.下面寫(xiě)出這個(gè)計(jì)算方案中的關(guān)鍵定理.

如果被積式能化成dω1∧dω2，其中ω1，ω2是兩個(gè)外微分形式，則有

定理1降維公式

(12)

證由(6)和(7)有

d(ω1∧dω2)=dω1∧dω2+(-1)pω1∧d2ω2=dω1∧dω2，

然后兩邊積分，應(yīng)用一次廣義Stokes公式(11)即證.

很多時(shí)候，被積式可能難以立即湊成dω1∧dω2這種形式，這種情況下可以用分部積分法：

定理2分部積分公式

(13)

證將(6)式兩邊積分，然后應(yīng)用廣義Stokes公式(11)即得.

上述定理1和定理2給出的公式并不見(jiàn)于其他文獻(xiàn)或書(shū)籍，其名字是本文作者所取，是否合適還有待商榷.作為定理2的特例，對(duì)積分(2)，有

推論

(14)

證在(13)中取ω1=x，ω2=f(x，y)dy，然后注意到

以及ω1=x是0-形式，即證第一式.第二式

然后使用第一式已證明的結(jié)論，即得.類(lèi)似的結(jié)論也能應(yīng)用到三重積分.

文獻(xiàn)[4-5]也研究過(guò)重積分的分部積分問(wèn)題，得到的結(jié)果與這里的推論相當(dāng).由于沒(méi)有采用外微分方法，他們的結(jié)果不容易記住，也難以推廣到更高維的空間中去.

初等微積分課本一般不介紹外微分.即使介紹，也僅止于用來(lái)說(shuō)明怎樣將幾個(gè)基本公式統(tǒng)一到廣義的Stokes公式下[2]，很少注意到外微分運(yùn)算實(shí)際上可以用來(lái)對(duì)被積式作湊微分以及分部積分等各種變換，更沒(méi)有注意到廣義Stokes公式(或降維公式)可以為多元積分的計(jì)算提供一種不同于化累次積分的新方案.這正是本文所特別要強(qiáng)調(diào)的內(nèi)容.

3 計(jì)算示例

這一節(jié)舉若干計(jì)算實(shí)例來(lái)具體說(shuō)明上節(jié)中所闡述的方法.

第一個(gè)例子計(jì)算二維空間中的2-形式的外積分，所選擇的問(wèn)題的是求普通二重積分，因此第一步總是要將普通積分與適當(dāng)定向了的平面區(qū)域上的外積分相關(guān)聯(lián)起來(lái)，然后去計(jì)算相應(yīng)的外積分.

解為了詳細(xì)說(shuō)明本文的方法，采用多種方法來(lái)計(jì)算.首先有

其中積分區(qū)域取正側(cè)(即正z軸的那一側(cè))定向.之后，可以用前一節(jié)的方法來(lái)處理被積分式.

法1湊微分法. 按照外微分法則，可以得到

其中最后一步使用了降維公式(12)，將積分轉(zhuǎn)化到邊界?D上.完成邊界上的積分，有

注意，其中的σ和?σ要正確定向.

法3分部積分法. 應(yīng)用上一節(jié)中的推論(14)，得到

右邊第二項(xiàng)

所以

下面的例子是計(jì)算三維空間中的2-形式在曲面上的積分.這種類(lèi)型的積分實(shí)質(zhì)上就是普通微積分課程中所討論過(guò)的第二類(lèi)曲面積分.

解考慮到曲面的定向，有

其中ω=(z2+x)dy∧dz-zdx∧dy，對(duì)ω的外積分在曲面S的上側(cè)面作.

法1將積分分成兩項(xiàng)，分別湊微分，然后轉(zhuǎn)化到曲面邊界上積分.第一項(xiàng)積分

上式右邊第一項(xiàng)用降維公式(12)后算得

第二項(xiàng)使用公式(14)，得到

所以

其中D={(x，y)|x2+y2≤4}.故原式=8π.

法2參數(shù)法(即換元法).用柱坐標(biāo)系

x=ρcosθ，y=ρsinθ，z=ρ2/2，

參數(shù)所在的區(qū)域?yàn)棣?{(ρ，θ)|0≤θ≤2π，0≤ρ≤2}，所以

從而

故原式=8π.其中考慮到問(wèn)題的對(duì)稱(chēng)性，事先將明顯為零的項(xiàng)省去了.當(dāng)然，這個(gè)例子還有其他更簡(jiǎn)單的方法，此處不討論.

關(guān)于怎樣將一般形式的第二類(lèi)曲面積分轉(zhuǎn)換到對(duì)邊界的積分，文獻(xiàn)[6-7]給出了若干定理.例如，文獻(xiàn)[6]中的定理3中的結(jié)論，用本文的方法可以這樣得到

之后將最后一個(gè)積分中的被積式當(dāng)作W(x，y，z)，反過(guò)來(lái)求積分可以得出P(x，y，z)，從而實(shí)現(xiàn)了“降維”，與文獻(xiàn)[6]殊途同歸.但本文的方法更簡(jiǎn)潔、更普遍、更易于應(yīng)用.

最后，計(jì)算三維空間中的3-形式在區(qū)域V(已定向)上的外積分

時(shí)，可以先利用降維方法轉(zhuǎn)化成區(qū)域邊界?V上的第二類(lèi)曲面積分，將?V分片參數(shù)化之后按例2的方法作出其上的積分.我們選取文獻(xiàn)[5]中的例子，用本文的方法來(lái)演示一遍.

解首先

這里V的定向是使得?V的定向沿著外法向.

作柱坐標(biāo)變換得dx∧dy∧dz=d(ρcosθ)∧d(ρsinθ)∧dz=ρdρ∧dθ∧dz，所以

其中，參數(shù)區(qū)域

σ={(ρ，θ，z)|0≤ρ≤1，0≤θ≤2π，0≤z≤ρ+1}.

又ρdρ∧dθ∧dz=ρdρ∧dθ∧d(z+ρ+1)=d(z+ρ+1)∧ρdρ∧dθ，分部積分后得到

第一項(xiàng)

第二項(xiàng)求出被積式中的外微分，之后作分部積分(或湊微分后直接使用降維公式(12))得

其中的參數(shù)區(qū)域

δ={(ρ，θ)|0≤ρ≤1，0≤θ≤2π}.

最后，將結(jié)果收集起來(lái)，有

這個(gè)例子綜合使用了變量替換、湊微分、分部積分、降維等方法.值得注意的是，有了外微分的計(jì)算方法，這些技巧都可以在積分號(hào)下直接完成，無(wú)需記住太多的定理和公式.

此方案對(duì)于更高維空間中的各種外微分形式的積分仍然成立，在此無(wú)需舉更多的例子.

4 結(jié) 論

只有考慮外微分形式的積分，多元積分的被積式才能自由地進(jìn)行換元、湊微分和分部積分.結(jié)合廣義Stokes公式，問(wèn)題可以不斷“降維”，從而得到一種無(wú)需化累次積分計(jì)算出多元積分的方法，其精神與使用Newton-Leibniz公式計(jì)算一元函數(shù)的積分相一致.文中列舉了一些例子，說(shuō)明這些方法都切實(shí)可行.

致謝感謝相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專(zhuān)家提出的寶貴意見(jiàn).