王 慶， 周建偉

(1.蘇州市職業(yè)大學 數理部，江蘇 蘇州215104； 2.蘇州大學 數學科學學院， 江蘇 蘇州215006)

1 引 言

近來，作者用射影幾何的方法研究直角雙曲線，在《直角雙曲線內接三角形的垂心問題》一文中，證明了直角雙曲線也可以由它的內接三角形的垂心生成[1].本文在此基礎上，進一步給出一些直角雙曲線的性質，說明它們可以用除了內接三角形的垂心生成外的其它方法生成.討論的工具主要是射影幾何，可參看文獻[2-4]或其它高等幾何書籍.

2 主要結果與證明

用射影幾何方法研究即是把討論的對象看作拓廣平面上的問題. 雙曲線上有兩個無窮遠點，這兩點的切線是雙曲線的漸近線.雙曲線是直角雙曲線的條件是過這兩個無窮遠點的直線互相垂直.下面討論的問題有些來源于文獻[3].

證如圖1，設PA交AB的中垂線ξ于Q，φ1是線束A，B之間以ξ為軸的透視，φ1(AQ)=BQ； 設φ2是線束B以θ0為旋轉角的旋轉，φ2(BQ)=BP.φ1，φ2都是射影映射，由Steiner定理，線束A到B的射影映射φ=φ2°φ1的對應直線的交點給出一條二次曲線，此曲線過A，B.不難證明ξ與AB的交點O是此二次曲線的對稱中心.

圖1 圖2

性質1給出的軌跡有兩條分別對應于旋轉角θ0與-θ0，它們關于直線ξ對稱.

以AB為x軸，ξ為y軸，設A(-a，0)，B(a，0)，y軸上動點Q(0，t)，則BQ方向是 (-a，t)，BP的方向由BQ旋轉-θ0得到，可算得BP的方向是(-acosθ0+tsinθ0，tcosθ0+asinθ0).直線AP，BP的方程分別是

消去t得直角雙曲線：x2-y2-2xycotθ0=a2.

由此性質可得

下面的兩個性質可以用Steiner定理討論，也可作為性質1的特例.

性質2設動直線平行于圓內接△ABC的邊AC，分別交AB與C處切線于P，Q，則X=BQ×CP的軌跡是一條直角雙曲線.

性質3設AB是圓的直徑，P是圓上動點，Q在直線PB上使PA，QA與AB的夾角相等，則Q的軌跡是直角雙曲線.

下面給出直角雙曲線的另一種生成方法.

性質4在一族具有相同焦點的橢圓上，平行于定方向的切線上切點在直角雙曲線上.

證設定方向不平行也不垂直于焦點的連線，否則軌跡退化為直線.設P∞是定方向給出的的無窮遠點，如圖3，對于一個以定點F1，F(xiàn)2為焦點的橢圓，設過點P的切線平行于給定方向，即此切線過P∞. 過焦點F2作此切線的垂線，垂足是X，與F1P交于X′，則F2X′=2F2X.設Q∞是直線F2X上無窮遠點，P∞，Q∞都是定點，過它們的直線垂直.在定直線F2Q∞上，XX′給出一個射影映射，F(xiàn)2，Q∞是此映射的兩個不動點.因此有下列射影映射，

圖3

P∞(P∞X，…)→F2Q∞(X，…)→F2Q∞(X′，…)→F1(F1X′，…).

首尾兩個映射是線束與直線間透視，它們合成射影映射φ∶P∞(P∞X，…)→F1(F1X′，…).易知，φ(P∞F1)≠P∞F1，φ不是透視.由Steiner定理，φ的對應直線交點是一條二次曲線，此曲線過P∞與F1，F(xiàn)2(φ(P∞F2)=F1F2).由映射φ的構造，不難知道，φ(P∞Q∞)=F1Q∞.因此曲線過P∞，Q∞是一條直角雙曲線.

對于φ給出的曲線上一點P，確定一個以F1，F(xiàn)2為焦點過P的橢圓.由橢圓焦點的光學性質及φ的構造，P∞P是此橢圓在P處的切線.φ給出的曲線是所求軌跡.設F1(-a，0)，F(xiàn)2(a，0)，下面推導新曲線的方程.

設PX的方向是cost0∶sint0，它的垂直方向是-sint0∶cost0.設X(a+tcost0，-tsint0)是F2Q∞上點，則X′(a+2tcost0，-2tsint0)，于是

它們的交點是新曲線上點.從前一式可得t=sint0(x-ycost0-a)，代入后一式得新曲線的方程

x2-y2-2xycos2t0-a2=0.

另法如圖3，設過P的切線與橢圓對稱軸的夾角是θ0=π-t0，PX與PF1夾角是α.易知，∠PF1F2=α-θ0， ∠PF2F1=α+θ0，它們的差是2θ0.反之，由∠PF2F-∠PF1F2=2θ0確定的P是此題軌跡中點，因此可以用上面性質1的方法討論.

證拋物線在拓廣平面上與無窮遠直線相切，其對稱軸(及所有的直徑)過這一切點.取定一條性質中拋物線，圖4畫出了無窮遠直線，設切點為C∞，這族拋物線的直徑都過C∞.設P是拋物線上點，它的切線垂直于AB，P∞是此切線上無窮遠點，C∞與P∞是相異兩定點.設X=AP×BC∞，Y=BP×AC∞，對PPAC∞C∞B用 Pascal定理可得X，Y，P∞共線.因此，直線BC∞，AC∞之間以P∞為中心的透視把X變成Y.因而線束A，B之間把AX變成BY的映射φ是射影映射.易知，φ(AB)=BP∞≠AB，φ不是透視.由Steiner定理，φ的對應直線交點的軌跡是過A，B的二次曲線.

圖4

另一方面，對于新曲線上的點P=AX×φ(AX)=AX×BY，過A，B，P與無窮遠直線切于C∞確定一條拋物線.對此拋物線的退化內接六邊形C∞C∞BPPA用Pascal定理可知，PP∞是P處切線，它垂直于AB.這證明新曲線是所求軌跡.

從上面討論知道，由BC∞上點X可以作出新曲線上點P，下證新曲線是雙曲線.易知，AC∞在φ下的像是BC∞，因此C∞是新曲線上點.設Q∞是AB上無窮遠定點，如圖 5可以作出P∞，Q∞，C∞的第四調和點T∞，R(P∞Q∞，C∞T∞)=-1.設X′=AT∞×BC∞，Y′=AC∞×BT∞，由第四調和點的作法可得X′，Y′，P∞共線.這說明φ(AT∞)=BT∞，T∞也是新曲線上點，這說明軌跡是雙曲線.直線BC∞上點與雙曲線上點有一一對應，圖5上X′，C∞對應于雙曲線上無窮遠點T∞，C∞.

圖5 圖6

性質6設A，B是直角雙曲線的兩個頂點，P是直角雙曲線上動點，則AP關于AB對稱的直線與BP的交點在一個圓上.

證設P∞，Q∞是直角雙曲線漸近線上的無窮遠定點，過P∞，Q∞的直線互相垂直.如圖7，設AP關于AB對稱的直線與BP的交點是X.由Steiner定理，AXAPBP給出線束A，B間一個射影映射ψ∶AXBX，它的對應直線與無窮遠直線的交點給出無窮遠直線上一個射影映射φ.易知，ψ(AP∞)=BQ∞，ψ(AQ∞)=BP∞，因此，φ交換點P∞與Q∞， 這說明φ是一個對合.射影映射ψ把AA映射為BA，這里AA是A處切線.這證明對合φ有兩對對應點給出的直線方向垂直，由[2] §4.4習題8，過對合φ的每一對對應點的直線垂直，因此射影映射ψ的對應直線都垂直.

圖7

這證明線束A，B間射影映射ψ的對應直線BX與AX的交點X在一個圓上.由Steiner定理，A，B也在這個圓上，這是一個以AB為直徑的圓.

易知，XP給出了圓與直角雙曲線的一一對應，圓與直角雙曲線虛軸的交點分別對應于直角雙曲線上無窮遠點P∞，Q∞.

由 ∠PAB-∠PBA=∠AXB可知性質6可以看作性質1的一種特例.

下面的問題都可以用射影幾何的方法解決，有興趣的讀者可以試試.

1. 設△ACB是銳角三角形，過邊AB上點X向CA，CB作垂線垂足是Q，P.試求△CPQ垂心的軌跡.

3. 設TP，TQ是圓錐曲線過P，Q的切線，一直線平行于TP交圓錐曲線于R，S，交TQ，PQ分別于L，D，則有LD2=LR·LS.

4. 設TP，TQ是圓錐曲線的切線，過切點P，Q的垂線交對稱軸分別于D，E，則∠PTD=∠QTE.

5. 設AB，CD是二次曲線的平行弦，弦AC，BD所對曲線上點P，Q處切線分別平行于AC，BD， 則PQ也平行于AB，CD.

6. 設△ABC內接于橢圓，A與橢圓中心O的連線交橢圓于另一點Q，BC與Q處切線交于P，PO交△ABC的另兩邊于E，S，則EO=OS.

把題中橢圓改為雙曲線，命題也成立.

7. 設△ABC與△A′B′C′內接于橢圓(或雙曲線)，點E=AB×A′C′，S=AC×A′B′的連線與BC的交點P在A′處切線上，證明

(i) 下面六條直線交于一點：

AA′，BB′，CC′，ES， (B′C′×AB)×(BC×A′B′)， (B′C′×AC)×(BC×A′C′) ；

(ii) 六點A′B×AB′，A′C×AC′，BC′×B′C，BC×B′C′，AB×A′B′，AC×A′C′ 共線；

(iii) 直線B′C′，ES與A處切線交于一點.

8. 設圓內接△ABC的角A的平分線交圓于另一點D，對圓上任一點P，X=BP×AD，Y=AC×PD，證明XY平行于BC.

3 結 論

本文在直角雙曲線可以由它的內接三角形的垂心生成的基礎上，用射影幾何的方法，借助Pascal定理、Steiner 定理，進一步給出一些直角雙曲線的性質，說明它們可以用除了內接三角形的垂心生成外的其它方法生成.最后給讀者列舉一些有趣的幾何問題，其用射影幾何的方法比用平面幾何方法處理更自然、條理更清楚.

致謝審稿人對本文的文字、公式以及排版提出了寶貴的修改意見，特別是摘要的修改更能體現(xiàn)本文的結論，在此表示衷心感謝.