邱晨旭

[摘? ?要]數(shù)學實驗不僅能培養(yǎng)學生的實驗意識和創(chuàng)新意識，而且能提升學生的數(shù)學素養(yǎng).

[關鍵詞]數(shù)學實驗;數(shù)學素養(yǎng);函數(shù)圖像

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）17-0010-02

數(shù)學是一門很嚴謹?shù)膶W科.當需要計算的數(shù)據(jù)非常大、非常多的時候，可以借助計算機程序來完成.高中數(shù)學課本中就有“程序框圖”內(nèi)容，我們可以編一些小程序來實際操作一下.對于概率統(tǒng)計還有數(shù)形結合的問題，也可以直接利用網(wǎng)絡上專門的數(shù)學軟件來處理.

數(shù)學實驗不能僅存在于課本附頁上，它需要學生親自動手參與操作.操作的過程也是整理書面知識的過程.一些中學使用圖形計算器，利用手持計算器的繪圖、計算功能做一些數(shù)學實驗.網(wǎng)絡上有很多數(shù)學軟件可以替代圖形計算器，比如數(shù)學軟件GeoGebra.它是一個集代數(shù)與幾何于一體，兼有計算與繪圖功能的免費的開源軟件.它占用內(nèi)存小，適應性很強，電腦、手機和平板都可以安裝，方便學生課后練習與探索.數(shù)學實驗強調(diào)學生的參與，在實踐中認識和發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識.數(shù)學實驗能幫助學生對數(shù)學的理解和掌握，讓學生學會對數(shù)學的應用，提高學生學習數(shù)學的興趣，提升學生的數(shù)學素養(yǎng).下面我來舉幾個例子.

一、畫函數(shù)圖像

1.畫任意函數(shù)的圖像

把函數(shù)圖像作為數(shù)學實驗的第一節(jié)課，是為了讓學生盡快熟悉軟件的操作，同時也是為了建立學生的自信心.操作方式很簡單，直接在指令欄中輸入函數(shù)表達式，然后按Enter鍵即可.例如，輸入“[f（x）=x3-2x+1]”，然后按Enter鍵，即可繪制“[f（x）=x3-2x+1]”的圖像.這節(jié)課從繪制簡單的初等函數(shù)圖像開始，到分段函數(shù)及復合函數(shù)，最后由學生自己隨意發(fā)揮，隨意寫出函數(shù)解析式，繪制它的圖像.這種模式突破了對函數(shù)的刻板印象，使得學生的信心和好奇心大增，加深了對函數(shù)的理解.

2.畫動態(tài)函數(shù)圖像

我們經(jīng)常研究二次函數(shù)“[f（x）=ax2+bx+c]”中，參數(shù)[a， b， c]對函數(shù)圖像的影響，所以這節(jié)課主要通過制作動態(tài)滑桿的方式，來討論參數(shù)對函數(shù)圖像的影響.操作方式：先制作動態(tài)滑桿[a， b， c]，范圍均為[-5， 5]，[a≠0].然后在輸入框中輸入“[f（x）=ax2+bx+c]”，按Enter鍵即可.如圖1所示，拖動滑桿[a， b， c]，觀察圖形變化.讓學生根據(jù)圖像總結，參數(shù)[a， b， c]對二次函數(shù)圖像的開口方向及大小、對稱軸、頂點坐標的影響.

接下來把這種方法平移到冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)上.根據(jù)函數(shù)解析式的特點，先制作動態(tài)滑桿，確定參數(shù)的取值范圍，輸入函數(shù)，然后拖動滑桿，觀察函數(shù)圖像變化，總結規(guī)律，與課本上的知識互相印證.底數(shù)相同時，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，它們的圖像關于直線[y=x]對稱，所以制作動態(tài)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)可以用同一個參數(shù).把這兩個函數(shù)圖像放在一起，它們的動態(tài)圖像始終關于直線[y=x]對稱（如圖2所示）.

再進一步，可以利用滑動條研究函數(shù)圖像的變換.如平移變換：上下平移[y=f（x）+a]，左右平移[y=f（x+a）]，伸縮變換：[y=f（ax）]、[y=af（x）].拖動滑動條可以看到函數(shù)圖像的變化過程.對稱變換：（1）關于[y]軸對稱[y=f（-x）]、關于[x]軸對稱[y=-f（x）]以及關于原點對稱[y=-f（-x）];（2）含有絕對值函數(shù)的部分對稱變換，如[y=f（x）]，[y=f（x）].三角函數(shù)圖像的變換是高中數(shù)學的重點內(nèi)容之一，所以函數(shù)圖像變換的重點操作對象是三角函數(shù)[f（x）=Asin（ωx+?）+B]（如圖3所示）.

二、畫橢圓的圖像

平面內(nèi)到兩定點的距離之和（大于兩定點間的距離）等于定值的點的集合就是橢圓.實驗操作：先在繪圖區(qū)選定圓心[F1]和一點畫一個圓，在圓上取一點[A]，圓內(nèi)取一點[F2]（不同于圓心），連接[AF2]、[AF1]，作[AF2]的中垂線交[AF1]于點[P]，連接[PF2].

實驗操作與探究：

（1）用鼠標按住點[A]，沿著圓周拖動，觀察[P]點的軌跡.任意拖動繪圖區(qū)中的點[F1]和點[F2]，觀察點[P]的軌跡（如圖4所示）.

（2）點[F1]、點[F2]不動，僅拖動點[A]，度量線段[PF1 ，? PF2]，[F1F2]的長度，計算[PF1+PF2].問：[P]點的軌跡是什么形狀？與橢圓的定義有什么樣的關系？拖動點[F1]對橢圓形狀有什么影響？線段[PF1]的長度最大值是多少，此時[P]點在橢圓的什么位置上？

結論：通過上面的操作可以看出[P]點的軌跡就是橢圓，符合橢圓的定義.除了這種方法外，橢圓的制作方法有很多種.比如利用工具欄中的橢圓工具，或者直接在指令框中輸入“[x2a2+y2b2=1]”也可以畫出橢圓.橢圓以點[F1]和點[F2]為焦點，[PF1+PF2=2a].拖動點[F1]會改變橢圓的圓扁程度.這些都是橢圓中的基本量，大家可以通過GeoGebra來研究基本量之間的數(shù)量關系.

下面我們進一步探討橢圓的有關內(nèi)容.

（3）在指令框中輸入“面積（橢圓c）”按Enter即可得到橢圓的面積.計算[πab]的值與橢圓的面積進行比較.

結論：由上述計算的結果得到橢圓的面積等于[πab].當[a=b]時，點[P]的軌跡就是半徑為[a]的圓，圓的面積[πr2=πa2].

我們發(fā)現(xiàn)橢圓的面積公式與圓的面積公式是類似的.這個結論非常有意思，但是要等到大學學了高等數(shù)學之后才能給大家解釋清楚.通過GeoGebra軟件，我們可以驗證許多猜想.比如大家知道圓的切割線定理，而橢圓與圓有許多相似的地方，那么橢圓中是否也有這樣的結論呢？大家可以通過實驗操作來判斷這個結論是不成立的，如圖5所示.

（4）橢圓的光學性質(zhì).從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線會經(jīng)過橢圓的另一個焦點.讓學生通過GeoGebra軟件來驗證這個性質(zhì).操作方式：利用橢圓工具，取兩個焦點[F1]、[F2]及橢圓上一點[P]作出一個橢圓，連接[PF1]，[PF2].過點[P]作橢圓的切線，度量[PF1]，[PF2]與切線所成的角度（如圖6所示）.探究結論：[PF1]，[PF2]與切線所成的角度相等，即反射角入射角與相等，從而證明了橢圓的光學性質(zhì).

由上面實驗操作，學生掌握了如何利用GeoGebra探討橢圓性質(zhì).橢圓的焦點三角形問題、橢圓的切線方程等問題留給學生課下自主探索.

通過使用GeoGebra軟件，學生深入理解所學的數(shù)學知識.在實驗過程中，學生注意到了一些平時容易忽視的細節(jié)，梳理了知識點的聯(lián)系，完善了自己的知識系統(tǒng).學生還領略到了科技帶給我們的便利.數(shù)學實驗要讓學生自己動手，運用計算機解決具體問題.關鍵環(huán)節(jié)是上機操作，強調(diào)學生的參與性，學生在實踐中認識和發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律.整個操作過程并不是完全模仿教師的操作過程，有一些環(huán)節(jié)需要學生自己思考操作.

數(shù)學實驗培養(yǎng)了學生的實驗意識.學生可以通過實驗來驗證自己的猜想是否正確.數(shù)學實驗為解決問題提供了一種途徑.實驗的過程也是學生輸出自己想象的過程.或許想象的內(nèi)容不正確，關鍵是這些想法有了輸出的空間，他們可以反復實驗，不斷地去偽存真.這個過程培養(yǎng)了學生的動手操作能力、獨立思考能力、探索精神和創(chuàng)新意識.

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

[1]? 沈翔.身邊的數(shù)學輔導員：用GeoGebra領悟平面幾何[M].北京：高等教育出版社，2017.

[2]? 王貴軍.GeoGebra與數(shù)學實驗[M].北京：清華大學出版社，2017.

（責任編輯 黃桂堅）