郭瑞科，胡 軍，李毛毛，張 濤

（北京控制工程研究所，北京 100190）

0 引言

航天器技術(shù)的發(fā)展和航天任務(wù)復(fù)雜度的提高對(duì)控制能力提出了更高的要求，然而航天器姿態(tài)控制中執(zhí)行器所能輸出的控制力矩存在一定限制，也就是存在飽和非線性。如果設(shè)計(jì)控制器不考慮執(zhí)行器存在飽和非線性，當(dāng)執(zhí)行器發(fā)生飽和時(shí)，控制器的輸出和被控對(duì)象的輸入值不相等，可能會(huì)導(dǎo)致航天器姿態(tài)控制精度變差或閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。通過設(shè)計(jì)抗飽和補(bǔ)償器恢復(fù)閉環(huán)系統(tǒng)性能或者穩(wěn)定性，是解決執(zhí)行器飽和影響控制性能或閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的一種途徑［1］。

目前，航天器姿態(tài)控制抗飽和研究取得一些進(jìn)展［2-8］。MARCO 等［9］提出了基于線性矩陣不等式（LMI）的線性離散系統(tǒng)抗飽和設(shè)計(jì)方法，給出了靜態(tài)和動(dòng)態(tài)抗飽和補(bǔ)償器的構(gòu)造算法，尤其是對(duì)于靜態(tài)或者被控對(duì)象同階的抗飽和補(bǔ)償器構(gòu)造條件可以轉(zhuǎn)化為凸約束的LMI 條件。于海祥等［10］針對(duì)大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)衛(wèi)星存在控制輸入飽和問題，在建立被控對(duì)象特征模型的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了基于特征模型的低增益反饋控制器，使得復(fù)雜被控對(duì)象也可以用低增益的設(shè)計(jì)方法解決控制輸入飽和問題。王明釗等［11］將LQG 控制方法和基于LMI 抗飽和補(bǔ)償器相結(jié)合，保證了控制輸入受限航天器閉環(huán)穩(wěn)定，且滿足最優(yōu)的L2 指標(biāo)。李德婷等［12］針對(duì)單框架控制力矩陀螺的力矩輸出具有奇異飽和性能的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了基于平坦微分理論的快速參考軌跡規(guī)劃方法和滑?？刂破飨嘟Y(jié)合的控制方法，避免出現(xiàn)奇異飽和失效現(xiàn)象。文獻(xiàn)［13］考慮了一類具有狀態(tài)獨(dú)立的輸入飽和非線性系統(tǒng)，提出了新的控制策略，設(shè)計(jì)的非線性控制器使得系統(tǒng)是局部漸近穩(wěn)定的。WADA 等［14］對(duì)使用模型預(yù)測(cè)控制器的線性離散系統(tǒng)設(shè)計(jì)抗飽和補(bǔ)償器，將抗飽和補(bǔ)償器的求解轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)MI 優(yōu)化問題，保證了存在輸入飽和時(shí)的系統(tǒng)穩(wěn)定性并改善了瞬態(tài)響應(yīng)。然而這些方法都只適用于定常線性離散系統(tǒng)，對(duì)于非線性系統(tǒng)或者系統(tǒng)參數(shù)不確定時(shí)，該方法應(yīng)用受到限制。

吳宏鑫等［15］提出了根據(jù)對(duì)象動(dòng)力學(xué)特性、環(huán)境特征和控制性能要求相結(jié)合來建模的特征建模思想，以期在滿足性能指標(biāo)的情況下設(shè)計(jì)出簡(jiǎn)單低階控制器。一般情況下，特征模型用慢時(shí)變低階差分方程描述，工程和應(yīng)用研究中使用最廣泛的是二階差分特征模型?；谔卣鹘５狞S金分割控制能保證參數(shù)未知定常系統(tǒng)在過渡階段，參數(shù)估計(jì)未收斂情況下閉環(huán)穩(wěn)定，設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，參數(shù)魯棒性好。但基于特征模型的黃金分割控制器所針對(duì)的對(duì)象模型還沒有考慮過執(zhí)行器存在飽和的情況。當(dāng)不考慮執(zhí)行器飽和現(xiàn)象，常規(guī)設(shè)計(jì)的控制器在執(zhí)行器發(fā)生飽和時(shí)將不能保證控制性能或者閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

本文提出將黃金分割控制器和基于LMI 抗飽和設(shè)計(jì)相結(jié)合的控制方法，針對(duì)存在控制力矩飽和約束的衛(wèi)星姿態(tài)跟蹤控制問題，首先設(shè)計(jì)不考慮輸入飽和的定常黃金分割控制器；其次用特征模型取代原被控對(duì)象求解抗飽和補(bǔ)償器，將求解抗飽和補(bǔ)償器的約束條件轉(zhuǎn)化為凸約束的LMI 條件，設(shè)計(jì)過程保證了整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。數(shù)值仿真驗(yàn)證了所提出方法對(duì)控制力矩受限衛(wèi)星姿態(tài)跟蹤控制的有效性和魯棒性。

1 問題描述

1.1 撓性衛(wèi)星動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)描述

撓性衛(wèi)星俯仰軸動(dòng)力學(xué)的簡(jiǎn)化模型可以寫成如下形式：

式中：J為衛(wèi)星轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；ω為俯仰角速度；T為控制力矩；G=[g1g2]T為撓性模態(tài)與衛(wèi)星俯仰運(yùn)動(dòng)的耦合系數(shù)矩陣；q=[q1q2]T為模態(tài)坐標(biāo)；Λ=diag(Λ1Λ2)為約束模態(tài)頻率。

參考文獻(xiàn)［10］，上述撓性衛(wèi)星俯仰軸動(dòng)力學(xué)模型的特征模型可以用如下形式的二階差分方程表示：

式中：α1(k)、α2(k)、β0(k) 未知，但在已知閉凸集之內(nèi)［15］。

參考文獻(xiàn)［15］中定理5.1，對(duì)式（3）中α1(k)、α2(k)、β0(k)取穩(wěn)態(tài)值，得到

對(duì)式（4）設(shè)計(jì)定常黃金分割控制器，作為系統(tǒng)控制輸入未受限時(shí)的標(biāo)稱控制器，可以保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定并滿足性能，即

式中：l1=0.382；l2=0.618；為特征模型辨識(shí)參數(shù)，此處取穩(wěn)態(tài)值。

當(dāng)被控對(duì)象的控制輸入存在飽和非線性時(shí)，也就是控制輸入滿足

需要設(shè)計(jì)線性抗飽和補(bǔ)償器，保證參考輸入w和輸出性能z之間l2增益滿足控制要求。假設(shè)設(shè)計(jì)naw階的抗飽和補(bǔ)償器，naw≥0，定 義q=u?sat(u)，

由被控對(duì)象、黃金分割控制器、抗飽和補(bǔ)償器組成的閉環(huán)系統(tǒng)示意圖如圖1 所示。

圖1 抗飽和閉環(huán)系統(tǒng)Fig.1 Anti?windup closed?loop system

1.2 控制律變換

為了便于設(shè)計(jì)抗飽和補(bǔ)償器，需要將定常黃金分割控制律寫成狀態(tài)空間形式?；谡`差的黃金分割控制律為

若被控對(duì)象存在控制輸入飽和，加入抗飽和補(bǔ)償器輸出的控制律為

1.3 閉環(huán)系統(tǒng)

為便于求解抗飽和補(bǔ)償器，將式（4）寫成狀態(tài)空間形式，得

2 抗飽和補(bǔ)償器構(gòu)造

2.1 抗飽和補(bǔ)償器存在性線性矩陣不等式條件

定理1給定被控對(duì)象（15）、控制器（13），當(dāng)且僅當(dāng)存在正定對(duì)稱的矩陣R11、S，矩陣Z，正數(shù)γ，使得下述線性矩陣不等式可行時(shí)，被控對(duì)象（15）、控制器（13）組成的閉環(huán)系統(tǒng)在控制輸入滿足式（7）飽和非線性約束時(shí)，使閉環(huán)系統(tǒng)適定且保證局部二次型l2性能的抗飽和補(bǔ)償器（7）存在［8］。

下文中對(duì)矩陣X，He(X)=X+XT，

2.2 抗飽和補(bǔ)償器的構(gòu)造方法

前述定理給出了與被控對(duì)象同階的抗飽和補(bǔ)償器可行性線性矩陣不等式條件。然而在抗飽和設(shè)計(jì)中，需要求解出抗飽和補(bǔ)償器的系數(shù)矩陣，因而下面給出具體的構(gòu)造方法［16］：

3 實(shí)驗(yàn)仿真

考慮文獻(xiàn)［10］中的對(duì)象，對(duì)稱撓性帆板衛(wèi)星的俯仰軸動(dòng)力學(xué)，采樣時(shí)間Ts=0.1 s，模型參數(shù)如下：

控制輸入u限制為±30，可以設(shè)計(jì)被控對(duì)象同階的抗飽和補(bǔ)償器，通過固定參考輸入yr的l2增益s，求得最優(yōu)γ，以實(shí)現(xiàn)閉環(huán)穩(wěn)定和局部的性能指標(biāo)。

抗飽和補(bǔ)償器與被控對(duì)象同階（naw=2），取s=0.29，可求得γ=349.06，抗飽和補(bǔ)償器系數(shù)矩陣為

控制輸入未受限時(shí)，所設(shè)計(jì)的控制律可以很好地跟蹤參考輸入，控制量最大值為978.9。當(dāng)控制輸入的幅值限值在±30 時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)受到飽和影響，可以看到控制性能明顯變差，輸出難以跟蹤參考輸入，控制輸入在±30 多次振蕩，如圖2 和圖3所示。

圖2 不存在與存在輸入飽和時(shí)的閉環(huán)響應(yīng)Fig.2 Closed-loop responses without and with input saturation

圖3 不存在與存在輸入飽和時(shí)的控制量Fig.3 Control inputs without and with input saturation

3.1 被控對(duì)象同階抗飽和補(bǔ)償器(naw=np=2)

根據(jù)2.2 節(jié)步驟設(shè)計(jì)的被控對(duì)象同階抗飽和補(bǔ)償器控制結(jié)果如圖4 所示。圖中可見，采用被控對(duì)象同階抗飽和補(bǔ)償器之后，閉環(huán)系統(tǒng)的輸出能較好地跟蹤參考輸入，相比較與飽和系統(tǒng)控制效果有明顯提升。通過圖5 所示的幾拍bang-bang 控制能夠很快地恢復(fù)不受限的閉環(huán)響應(yīng)，說明這種動(dòng)態(tài)抗飽和補(bǔ)償器是有效的。需要注意的是，在初始跟蹤階段，跟蹤性能還是有較小的損失，這也是抗飽和補(bǔ)償器在保證飽和性能同時(shí)，不可避免地?fù)p失小信號(hào)時(shí)的閉環(huán)響應(yīng)性能。

圖4 采用動(dòng)態(tài)抗飽和補(bǔ)償器的閉環(huán)響應(yīng)Fig.4 Closed-loop responses with dynamic anti-windup compensator

圖5 采用動(dòng)態(tài)抗飽和補(bǔ)償器時(shí)的控制量Fig.5 Control input with dynamic anti-windup compensator

3.2 黃金分割控制器與低增益飽和控制器對(duì)比仿真

此處進(jìn)一步對(duì)比了定常黃金分割控制律和文獻(xiàn)［10］中所采用低增益控制律時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)和控制量的不同。如圖6 所示，控制輸入受限時(shí)，采用兩種控制器的閉環(huán)系統(tǒng)都在瞬態(tài)響應(yīng)有輕微的性能損失，但采用動(dòng)態(tài)抗飽和補(bǔ)償器的黃金分割控制相比低增益飽和控制器能更好地跟蹤參考信號(hào)，同時(shí)采用定常黃金分割控制的控制量只有較少的振蕩，變化較平滑，如圖7 所示。

圖6 采用動(dòng)態(tài)抗飽和補(bǔ)償器和低增益控制器的閉環(huán)響應(yīng)Fig.6 Closed-loop responses with dynamic anti-windup compensator and low-gain controller

圖7 采用動(dòng)態(tài)抗飽和補(bǔ)償器和低增益控制器的控制量Fig.7 Control input with dynamic anti-windup compensator and low-gain controller

4 結(jié)束語

本文將黃金分割控制器和基于LMI 抗飽和設(shè)計(jì)相結(jié)合，首先設(shè)計(jì)不考慮輸入飽和的定常黃金分割控制器；其次用特征模型取代原被控對(duì)象來求解抗飽和補(bǔ)償器，將求解抗飽和補(bǔ)償器的約束條件轉(zhuǎn)化為凸約束的LMI 條件。設(shè)計(jì)過程保證了整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，解決了存在控制力矩飽和約束的衛(wèi)星姿態(tài)跟蹤控制問題。數(shù)值仿真驗(yàn)證了所提出方法對(duì)控制力矩受限衛(wèi)星姿態(tài)跟蹤控制的有效性和魯棒性。