薛海琪

【摘要】高中階段的數(shù)學知識難度極大，并且需要證明的內(nèi)容較多，數(shù)學知識的邏輯性強，理論性強，而且部分知識在正向證明時所需的步驟煩瑣，計算量大，學生常常在聽講后仍然處于迷茫狀態(tài)，無法準確把握要學習的內(nèi)容，增加了學習的難度.此時就可以通過反例來反向證明，許多知識點在反向證明時反而計算量減小，能降低學生理解的難度.巧借反例能夠讓學生更好地掌握數(shù)學知識，提高學生運用知識解決問題的能力.

【關(guān)鍵詞】反例;高中;數(shù)學教學

引 言

借助反例證明，就是指教師在教學時要證明一個命題是假命題，可以舉出具備命題成立的條件但是不具備命題結(jié)論的例子.通過反例進行教學能夠使一些正向論證極為困難的問題在短時間內(nèi)被解決，當學生了解到反例能夠成立時自然也就意識到例子是錯誤命題.這種反例的說服力反而更強，能夠有效培養(yǎng)學生的逆向思維能力，活躍學生的思維，讓學生體驗數(shù)學的奧妙，降低高中生學習數(shù)學的心理負擔.基于此，本文將從反例在高中數(shù)學教學中的應用方法入手展開探討.

一、借助反例引導學生理解數(shù)學定理及公式

高中數(shù)學中的定理和公式一般采用的是準確精練的形式，一個大概念往往就用最準確的幾個數(shù)學符號或者漢字作為定理的解釋，這樣看起來的確比較便利，但是學生在理解起來卻較為困難，尤其是多個知識點相結(jié)合的教學內(nèi)容，更是增加了學生理解的難度，很容易使學生產(chǎn)生混淆感，從而使學生在學習時遇到重重困難，影響課程教學質(zhì)量.[1]

以《曲線和方程》的教學為例，

這一單元的概念較抽象，且需要學生思考的內(nèi)容多，對于高中生來說理解難度不小.為了讓學生能夠更好地掌握此節(jié)課的內(nèi)容，教師可以先利用原先學過的知識來引入新的知識，可以先提出問題：（1）求圖1中AB的垂直平分線的方程;（2）畫出方程x+y=0所表示的直線和方程y=x2所表示的曲線.可以得出圖1的直線方程是y=x，第二問的直線、曲線如圖2.

在此基礎上教師可以提出新的問題：方程f（x，y）的解與曲線的坐標應該具備怎樣的關(guān)系才叫方程的曲線或曲線的方程？學生能夠總結(jié)出“曲線上的點的坐標都是方程的解”和“以方程的解為坐標的點都在曲線上”后，教師不要急于直接給出曲線方程的定義.為了加深學生的印象，教師可以采用反例法進行教學，如舉出三個比較具有代表性的反例公式，分別是 x-y=0，x2-y2=0，|x|-y=0，然后給出如圖3所示的直線c，詢問學生以上方程可以表示直線c嗎，待學生得到不能的結(jié)論后，教師就可以與學生一起分析這三個方程式，最后帶領(lǐng)學生根據(jù)這三個方程得出曲線的方程、方程的曲線的具體概念.

二、利用反例幫助學生復習以前學習的知識

數(shù)學知識的內(nèi)在聯(lián)系性很強，同時由于高中數(shù)學難度較大，這也使得教師很少有時間帶領(lǐng)學生復習前面的知識，但是教師可以利用反例來幫助學生鞏固以前學習的知識，這樣做比正向帶領(lǐng)學生復習一遍速度要快得多.[2]例如，教師先給出方程4x+a×2x+4=0有解，求a的取值范圍.既然是已經(jīng)學過的知識，那么學生必然能夠想到先去設一個未知數(shù)m來幫助解題，令m=2x ，然后方程就變成了 m2+am+4=0.一般情況下學生都能夠做到這一步，但是再往后對于m的取值范圍會有部分學生混淆，此時教師可以提出問題：m<0是否正確？這樣學生就會主動回憶概念，翻筆記，翻書，然后他們發(fā)現(xiàn)教師剛才給出的結(jié)論是錯誤的，m肯定大于0，而且不會等于0，到這里甚至會有發(fā)散思維：底數(shù)小于1時會怎樣？小于0時會怎樣？這樣他們對指數(shù)函數(shù)的概念就印象深刻了.

三、根據(jù)反例培養(yǎng)學生思維的發(fā)散性及靈活性

通過反例進行教學是培養(yǎng)學生逆向思維的有效途徑.高中生要學習的知識十分多，且高中數(shù)學知識的聯(lián)系性較為緊密，如果學生的思維能夠具備發(fā)散性及靈活性，那么能夠促使學生學會靈活運用知識.

例如，在講解完指數(shù)函數(shù) y=ax、對數(shù)函數(shù)y=logax 和冪函數(shù)y=xa后，學生會對這三個函數(shù)之間的聯(lián)系以及約束條件產(chǎn)生混淆，常會出現(xiàn)錯用的情況，教師在教學時就可以采用反例法幫助學生更好地理解概念，區(qū)分這三個函數(shù)之間的約束條件.首先，教師可以提出問題“假如a<0，這三個函數(shù)會產(chǎn)生什么樣的結(jié)果”，讓學生進行驗證，然后舉例x<0，讓學生將之代入函數(shù)，得出結(jié)論，并讓學生觀察結(jié)論，通過這種方式學生就可以把這三個函數(shù)的圖像和約束條件分開了.又如，在學完正余弦函數(shù)的和差公式后也有很多學生分不清，我們也可以采用類似的方法，這里比較簡單的方法是直接舉一個特例——直角、平角或0°.這樣的方法能夠引導學生更好地記憶公式，也利于實際應用.

四、巧借反例，扎實基礎

若想提高數(shù)學學習水平，那么一定要具備扎實的數(shù)學基礎，這是學好數(shù)學的根本所在，也是高中數(shù)學教師開展教學工作的一項最為基本的內(nèi)容，而學生解題水平的高與低也會受到基礎知識夯實程度的影響.由此可見，數(shù)學學習基礎對于高中生的數(shù)學學習來說是至關(guān)重要的.但以實際教學情況來看，由于許多學生在初中階段的數(shù)學學習基礎就不夠扎實，所以在高中階段學習數(shù)學知識時會因此而遇到一些問題，致使高中生的數(shù)學學習基礎缺乏扎實性.針對上述問題，在現(xiàn)階段高中數(shù)學教學中，教師應做到巧借反例來扎實學生的數(shù)學學習基礎，使整個高中數(shù)學教學能夠獲得活化，彰顯出新的生機與活力.具體來說，一方面教師應把控好數(shù)學基礎知識所具備的教育價值，另一方面應以探析與嘗試的方式，借助反例來實施科學性的變通，以便深化學生思維的拓展教學，防范大量的認知錯誤以及記憶混淆等方面的問題侵蝕到高中生的思維，促使學生能夠正確認知與理解數(shù)學知識，真正做到扎實學生的數(shù)學學習基礎，促進學生對于數(shù)學知識的有效性學習.這樣做不但能夠提高學生的數(shù)學學習水平及數(shù)學學習成績，也能夠明顯提高數(shù)學課堂的教學質(zhì)量與效率，達到新課改之后對于高中數(shù)學教學的重要要求.

五、巧借反例，發(fā)現(xiàn)問題

以往在開展高中數(shù)學教學工作時，教師普遍習慣于采用直接講述的方式來促進學生理解數(shù)學知識，也會在課堂中向?qū)W生提出相關(guān)的問題，這種問題往往是教師根據(jù)高中數(shù)學教材中的內(nèi)容來確定的，未能對問題進行精心的設計，而學生解答問題的欲望則通常較差，且在此過程中也未能積極引導學生去主動發(fā)現(xiàn)問題、思考問題以及解決問題，進而致使學生發(fā)現(xiàn)問題的能力及解決實際問題的能力均有所不足.然而，一旦產(chǎn)生這種情況，則會致使學生在高中數(shù)學課堂的學習中僅僅能夠獲得較為淺顯的進步，難以獲得深層次的進步.所以，針對上述情況，在當前的高中數(shù)學教學中，教師還應巧借反例來引導學生主動去發(fā)現(xiàn)問題.

由于高中數(shù)學知識本身就具備一定的抽象性以及復雜性，而高中生的理解能力及學習水平等方面又有著明顯的差異性，所以會致使某些學生在學習、理解數(shù)學知識的過程中遇到相關(guān)的問題，這不但會影響到學生的數(shù)學學習興趣，也會嚴重消耗學生的數(shù)學學習信心.若能夠應用反例教學方法，則能夠使教師發(fā)現(xiàn)高中生在學習階段存在的問題，并指導與引導學生主動去發(fā)現(xiàn)問題，借助良好的方式去解決問題，這樣利于深化學生對于數(shù)學知識的理解，而且能夠提升學生對于自身的正確認知，從而使學生在高中數(shù)學課堂的學習中獲得諸多層面的進步.

六、巧借反例，高效解題

以往在解題時，許多學生都會直接提出解題思路，導致某些習題的解題方向存在偏差，最終會直接影響到學生的解題質(zhì)量以及數(shù)學成績.針對上述情況，對于高中數(shù)學教師而言，應做到巧借反例，促進學生進行高效性、正確性的解題，盡可能防范學生在解題期間產(chǎn)生偏差性的問題.巧借反例，則能夠以反例作為重要的載體，指導學生參與辨識性的數(shù)學習題訓練，而在此過程中則能夠讓學生了解到數(shù)學問題的另外一個層面，這樣做不但能夠提高學生的辨別與辨識能力，而且能夠強化學生的解題能力，使學生能夠在較短的時間內(nèi)對數(shù)學問題進行正確解答，節(jié)約學生的解題時間，提高學生的解題效率，進而勢必能夠提高學生的數(shù)學學習成績，同時能夠提高學生的數(shù)學學習水平，最終使高中生能夠在數(shù)學課堂的學習中獲得十分深遠的進步.因此，在高中數(shù)學教學中，巧借反例是尤為關(guān)鍵與必要的，教師應對此予以關(guān)注和重視.

結(jié) 語

綜上所述，將反例運用在高中數(shù)學教學之中能夠提高課堂教學效果與質(zhì)量，教師在教學時要懂得變通，結(jié)合教學內(nèi)容適當?shù)剡x擇反例進行教學.教師可以借助反例引導學生更加深入地理解數(shù)學定理及公式，幫助學生復習以前學習過的知識，加深學生對知識的印象，激發(fā)學生的學習興趣.同時，教師應該借助反例培養(yǎng)學生思維的發(fā)散性及靈活性，讓學生的思維活躍起來，從而使課堂教學質(zhì)量得到提高.

【參考文獻】

[1]張鵬.巧借反例 活化高中數(shù)學教學[J].中學數(shù)學，2020（09）：74-75.

[2]孫慶括.高中數(shù)學中反例的教學功能與構(gòu)造方法[J].高中數(shù)學教與學，2017（12）：34-36.