嵇紹春, 李 剛

(1. 淮陰工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院,江蘇 淮安 223003; 2. 揚州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,江蘇 揚州 225002)

本研究在實Banach空間X中討論如下具有非局部條件的分?jǐn)?shù)階微分包含的初值問題:

Dαx(t)∈Ax(t)+F(t,x(t)),t∈J；

(1)

(2)

分?jǐn)?shù)階微分包含作為整數(shù)階微分包含的推廣,由于其在物理學(xué)、工程學(xué)和控制理論中的廣泛應(yīng)用,受到許多學(xué)者的關(guān)注,關(guān)于分?jǐn)?shù)階微分方程和微分包含解的存在性與可控性理論已取得一些結(jié)果[1-4]。在一階微分方程研究中算子A通常會假定生成強連續(xù)半群，對應(yīng)到分?jǐn)?shù)階微分方程，可以通過構(gòu)造分?jǐn)?shù)階預(yù)解算子來討論，以更好地分析分?jǐn)?shù)階微分方程解的代數(shù)結(jié)構(gòu)。在0<α<1情形下,Wang等[5-6]和Ji[7]利用Laplace變換和概率密度函數(shù)討論了分?jǐn)?shù)階微分方程解的合適定義、存在性和可控性；陳麗珍等[8]利用逼近解討論了一類非局部微分包含解的存在性。但當(dāng)1<α<2時,分?jǐn)?shù)階微分包含不同的預(yù)解算子和解算子形式,相關(guān)性質(zhì)的研究還很不充分,Li等[9]、Lian等[10]利用預(yù)解算子討論了單值情形下一類非局部分?jǐn)?shù)階微分方程的解。本研究利用集值映射不動點定理,將文獻[9-10]的研究結(jié)果推廣到多值的微分包含情形,并在非局部項g具有連續(xù)性的條件下討論分?jǐn)?shù)階非局部微分方程,減弱了非局部問題研究中對非局部項緊性和Lipschitz連續(xù)性的較強要求，改進和推廣了文獻[6-8]的相關(guān)結(jié)果。

1 預(yù)備知識

令X,Y是拓撲空間,R是實數(shù)集。記P(X)={A?X:A是非空的},Pkv(X)={A?X:A是非空的凸閉集},Pcp,v(X)={A?X:A是緊凸集}。對算子F:X→P(Y),若算子F的圖graph(F)={(x,y):y∈F(x),x∈X}是X×Y的閉子集,則稱F是閉算子。記集合

SF(x)={f∈L1([0,b];X):f(t)∈F(t,x(t)),a.e.t∈[0,b]}。

若存在x∈X,使得x∈F(x),則稱x是集值映射F的不動點。分?jǐn)?shù)階微積分的相關(guān)定義和性質(zhì)可見Kilbas等的論著[1]和文獻[5-8],當(dāng)函數(shù)取值于一般的Banach空間時,定義中的積分為Bochner意義下的積分。

定義1函數(shù)h∈L1(J,X)的α階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分定義為：

其中Γ(·)為Gamma函數(shù)。

定義2函數(shù)h∈L1(J,X)的α階Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為：

其中，h(t)有從1到(n-1)階的絕對連續(xù)導(dǎo)數(shù),n=[α]+1。

定義3[9]一族算子{Cα(t),t≥0}?B(X)稱為A生成的分?jǐn)?shù)階預(yù)解算子(也稱為α階cosine算子族)，如果滿足下列條件:

1)t≥0時,Cα(t):X→X是連續(xù)算子,且Cα(0)=I,I是恒等算子;

2)Cα(t)D(A)?D(A),且當(dāng)x∈D(A),t≥0時,ACα(t)x=Cα(t)Ax;

此時應(yīng)注意分?jǐn)?shù)階預(yù)解算子Cα(t)不具有半群性質(zhì)。文獻[9]基于預(yù)解算子,利用Laplace變換得出單值情形分?jǐn)?shù)階微分方程的解,類似給出微分包含式(1)～(2)的解。

定義4若函數(shù)x∈C(J,X),且滿足積分方程

本研究作出如下假設(shè):

(H1) 當(dāng)t>0時,Cα(t)是緊算子且按算子范數(shù)連續(xù),令M=supt∈J‖Cα(t)‖<∞。

(H2)F:[0,b]×X→Pcp,v(X)滿足：①F是Caratheodory上半連續(xù)的,即?x∈X,映射F(·,x):[0,b]→Pcp,v(X)決定一個強可測選擇;對幾乎處處t∈[0,b],集值映射F(t,·):X→Pcp,v(x)是上半連續(xù)的;②存在N∈R+和遞增函數(shù)q:R+→R+,使得

‖F(xiàn)(t,x)‖:=sup{‖y‖:y∈F(t,x)}≤Nq(‖x‖),?t∈[0,b],x∈X。

可見t∈J時,Sα(t),Pα(t)是有界線性算子。

引理1[10]令1<α<2,若假設(shè)(H1)成立，則

3) 當(dāng)t≥0時,Sα(t),Pα(t)是緊算子;

4)Sα(t),Pα(t)在[0,b]上按算子范數(shù)連續(xù)。

引理2[11]令X是Banach空間,設(shè)F:[0,b]×X→Pcp,v(X)是一個Caratheodory集值映射且Γ:L1(J,X)→C(J,X)是線性連續(xù)映射,則算子

?！鉙F:C(J,X)→Pcp,v(C(J,X)),x→Γ(SF(x))

是C(J,X)×C(J,X)上的閉圖算子。

引理3令Yr={x∈C(J,X):‖x(t)‖≤r,t∈J}。若假設(shè)(H1)(H2)成立,則算子

Q:Yr→P(C(J,X)),

證明:只需證明QYr是C(J,X)上的相對緊集。首先對任意t∈J,x∈Yr,(Qx)(t)在X中相對緊。若t=0,(Qx)(0)=0顯然成立。對t∈(0,b],ε∈(0,t),定義

因為Cα(ε),ε>0是緊算子,所以(Qεx)(t)是X中相對緊集。同時注意到

由Cα(t)的連續(xù)性,引理1(4)和ε的任意性可得,當(dāng)ε→0+時,(Qεx)(t)→(Qx)(t)。此時可知有一列相對緊集逼近集合(Qx)(t),于是(Qx)(t)也是X中相對緊集。

接下來說明QYr的等度連續(xù)性。令0≤t1

引理4[12]設(shè)X是局部凸的Hausdorff空間,D是X中的非空閉凸子集。若集值映射F:D→P(D)是上半連續(xù)的緊算子,且對任意x∈D,F(x)是D中的非空閉凸子集,則存在y∈D,使得y∈F(y)。

2 主要結(jié)果

為討論分?jǐn)?shù)階非局部微分包含式(1)～(2)的解,在C(J,X)上定義算子G,G1,G2,

顯然G=G1+G2,若G存在不動點,此不動點就是方程(1)～(2)的適度解。對非局部項g給出如下假設(shè)：

注1假設(shè)(H3)不要求g是緊算子或者Lipschitz連續(xù),所用條件比文獻[6-8]更弱,下面會給出滿足此要求的g的函數(shù)形式。

利用引理4來證明算子G存在一個不動點,此不動點就是微分系統(tǒng)式(1)～(2)的適度解。

定理1若假設(shè)(H1)(H2)(H3)成立,則分?jǐn)?shù)階非局部微分包含式(1)～(2),在條件成立時,在[0,b]上至少有一個適度解。

(3)

證明:證明過程分為4步。

第1步,存在r>0,使得G映射Yr到它自身。對t∈J,f∈SF(x),x∈Yr,由式(3)可得:

第2步,構(gòu)造Y?Yr使得G:Y→P(Y)具有非空凸閉值。因為SF(x)是凸集,易見對任意x∈C(J,X),G(x)具有凸值。為說明G是閉算子，令{xm}m∈N,{ym}m∈N?C(J,X),且滿足xm→x,ym∈G(xm),ym→y,則存在{fm}m∈N?L1(J,X),fm∈SF(xm),使得

第3步,證明G是緊算子。對t∈(0,b],因為Cα(t),Sα(t)是緊算子,故

最后,由引理4的不動點定理可得,G至少存在一個不動點,此不動點即為分?jǐn)?shù)階微分包含式(1)～(2)的適度解。證明結(jié)束。

下面給出滿足條件(H3)的函數(shù)g的一些情形,其完全去掉之前關(guān)于非局部微分方程討論中對非局部項緊性和Lipschitz連續(xù)性的要求。

(H4)g:C(J,X)→X是一個映射Yr到有界集的連續(xù)算子,且存在δ=δ(r)∈(0,b),使得對x,y∈Yr,滿足x(t)=y(t),t∈[δ,b]時,有g(shù)(x)=g(y)。

推論1若假設(shè)(H1)(H2)(H4)成立,則分?jǐn)?shù)階非局部微分包含式(1)～(2)在條件(3)成立時,在[0,b]上至少有一個適度解。

證明:令

(GYr)δ={u∈C(J,X):u(t)=v(t),當(dāng)t∈[δ,b];u(t)=v(δ),當(dāng)t∈[0,δ]，其中v∈GYr}。

注2假設(shè)(H4)描述了系統(tǒng)狀態(tài)x(t)在零點處的小擾動不影響非局部項g(x)的取值,Ji等[7],Lian等[10]利用逼近解的方法討論了單值情形下非局部分?jǐn)?shù)階微分方程在假設(shè)(H4)下解的存在性和可控性,這里從定理1的結(jié)論可以直接得到相關(guān)結(jié)果。進一步，本研究方法同樣適用于非局部微分方程和微分包含解的可控性問題的研究。

在考查非局部初值問題時,非局部項常具有表達式:

此時初值條件不僅可以考慮t=0的狀態(tài)，而且可以納入t=t1,…,tp時的狀態(tài)[13],從而得到系統(tǒng)更多的信息,顯然此時非局部項g滿足條件(H4)。

推論2若假設(shè)(H1)(H2)(H5)成立,則分?jǐn)?shù)階非局部微分包含式(1)～(2)在條件(3)成立時,在[0,b]上至少有一個適度解。

下面舉例說明本研究的主要結(jié)果。

例:考察如下偏微分方程

(4)

此時假設(shè)(H1)和(H5)成立,如果假設(shè)(H2)和(3)式成立,則由定理1的推論2可得,偏微分方程(4)至少存在一個適度解。

3 總結(jié)

利用分?jǐn)?shù)階預(yù)解算子研究了一類Caputo分?jǐn)?shù)階微分包含解的存在性,分?jǐn)?shù)階預(yù)解算子作為線性算子半群(對應(yīng)α=1)的推廣,其緊性和等度連續(xù)性等性質(zhì)在分?jǐn)?shù)階微分方程和微分包含解的討論中發(fā)揮著重要作用。本研究將分?jǐn)?shù)階微分方程的討論由單值情形拓展到多值情形,通過對非局部項作新的假設(shè),降低對非局部項緊性條件的限制,拓展了結(jié)論的適用范圍。在分?jǐn)?shù)階微分方程可控性的研究中,一定條件下預(yù)解算子族的緊性會導(dǎo)致研究空間退化為有限維空間,而緊性條件在微分方程的討論中發(fā)揮重要作用,所以在下一步的工作中將關(guān)注如何減弱預(yù)解算子的緊性條件,將研究方法擴展到無窮維空間分?jǐn)?shù)階微分方程的可控性。