吳鴻雁 王玉琦 李香飛

1天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)工程實(shí)訓(xùn)中心 天津 300222

2天津工業(yè)大學(xué)天津市現(xiàn)代機(jī)電裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 天津 300387

0 引言

諧波傳動(dòng)是20世紀(jì)50年代發(fā)展起來的一種新型傳動(dòng)技術(shù)。具有傳動(dòng)比大、傳動(dòng)精度高、質(zhì)量輕和承載能力大等諸多優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于航空航天[1]、機(jī)器人關(guān)節(jié)和柔性傳動(dòng)機(jī)構(gòu)[2,3]等眾多領(lǐng)域。隨著社會(huì)發(fā)展，機(jī)器人被大量應(yīng)用于物料搬運(yùn)、工廠自動(dòng)化生產(chǎn)線等用以代替人的繁重勞動(dòng)，諧波減速器作為機(jī)器人中的核心部件越來越受到重視和關(guān)注，相關(guān)高校和企業(yè)對(duì)其的研發(fā)、制造投入也越來越大。諧波減速器主要包括3個(gè)構(gòu)件：柔輪、剛輪和波發(fā)生器。在裝配前柔輪的剖面是圓形，裝配后在波發(fā)生器的強(qiáng)制作用下，迫使柔輪變?yōu)榉菆A形。波發(fā)生器對(duì)于柔輪的變形狀態(tài)非常重要，雙圓盤波發(fā)生器作為一種結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、包角區(qū)間大以及承載能力強(qiáng)的波發(fā)生器類型，受到眾多學(xué)者的關(guān)注，對(duì)其作出了很多有價(jià)值的研究。

陳曉霞等[4]基于力學(xué)方法，計(jì)算了雙圓盤波發(fā)生器作用下柔輪的周向伸長(zhǎng)量，并建立有限元模型驗(yàn)證了理論方法的可行性。周清華[5]采用有限元方法研究了柔輪在不同波發(fā)生器作用下的應(yīng)力和變形，提出了采用雙圓盤波發(fā)生器來改善柔輪應(yīng)力分布和提高承載能力的設(shè)計(jì)方案。付軍鋒等[6]通過有限元手段對(duì)比分析了不同波發(fā)生器作用下柔輪空載時(shí)的應(yīng)力分布狀態(tài)，研究結(jié)果表明，采用雙圓盤波發(fā)生器時(shí)，柔輪殼體上應(yīng)力最小。蔣素清[7]建立了橢圓和雙圓盤波發(fā)生器分別與柔輪接觸分析的有限元模型，得出雙圓盤波發(fā)生器作用下柔輪應(yīng)力較小，更適用于重載傳動(dòng)。Ianici S and Ianici D[8,9]分析了雙圓盤波發(fā)生器對(duì)柔性輪壁特征點(diǎn)應(yīng)力分布和位移變化的影響。由于波發(fā)生器結(jié)構(gòu)特性，兩個(gè)圓盤軸向位置并非處在同一個(gè)平面，從而造成柔輪變形存在差異[10]。為了減小這種影響，伊萬諾夫[11]提出取圓盤計(jì)算半徑的0.1倍值作為圓盤與柔輪內(nèi)壁的接觸寬度bc。沈允文[12]則提出取圓盤厚度1/3作為接觸寬度bc。伊和沈的解決方案雖然都能在一定程度減小圓盤波發(fā)生器作用下柔輪變形差異，但是依舊未能完全消除。

本文基于直母線假定，區(qū)別于傳統(tǒng)波發(fā)生器兩圓盤完全相同，在前者的基礎(chǔ)上對(duì)雙圓盤波發(fā)生器的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)進(jìn)一步改進(jìn)，提出對(duì)波發(fā)生器兩個(gè)圓盤結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行獨(dú)立設(shè)計(jì)計(jì)算。基于HD公司產(chǎn)品算例，計(jì)算改進(jìn)前、后兩組波發(fā)生器參數(shù)，建立參數(shù)化雙圓盤波發(fā)生器與柔輪接觸分析有限元模型，對(duì)比分析柔輪的變形特征和應(yīng)力分布狀態(tài)。

1 圓盤波發(fā)生器計(jì)算理論

1.1 雙圓盤波發(fā)生器結(jié)構(gòu)

如圖1所示，α1為前盤作用下柔輪變形產(chǎn)生錐角，α2為后盤作用下柔輪變形產(chǎn)生錐角，bc為波發(fā)生器與柔輪接觸寬度。

圖1 雙圓盤波發(fā)生器作用下柔輪變形示意圖

由于波發(fā)生器結(jié)構(gòu)特性，前、后圓盤軸向位置并非同一平面內(nèi)，當(dāng)波發(fā)生器裝入柔輪時(shí)，筒體產(chǎn)生的錐角α1≠α2，導(dǎo)致上、下兩部分柔輪變形特征存在差異，影響傳動(dòng)精度和嚙合性能。因此，下文將以計(jì)算截面達(dá)到給定徑向變形量為目標(biāo)，對(duì)波發(fā)生器前、后圓盤參數(shù)分別進(jìn)行設(shè)計(jì)計(jì)算。

1.2 波發(fā)生器前圓盤計(jì)算

如圖2所示，R1為前圓盤的計(jì)算半徑，e1為前盤軸線相對(duì)于波發(fā)生器軸線的偏心距，γ為柔輪對(duì)圓盤的包角，w0為柔輪最大徑向變形量。裝配變形前，柔輪的中面為圓形，在波發(fā)生器作用下，變?yōu)槭笍綖棣训姆菆A形。

圖2 柔輪中性層變形剖面

中性層任意位置φ角位置處的矢徑

式中：rm為變形前柔輪中性層曲線的半徑，w(φ)為中性層任意φ角位置處的徑向位移。

對(duì)前圓盤結(jié)構(gòu)參數(shù)計(jì)算

通常情況下，w0和rm是已知的。故只要給定包角γ就能夠求出圓盤計(jì)算半徑R。

又根據(jù)圖中變形關(guān)系，可得前盤偏心距

前文介紹關(guān)于波發(fā)生器圓盤與柔輪的接觸寬度bc的取值，參考文獻(xiàn)[11]和[12]各自都提出了一種方法，由于二者方法的差別非常小，因此本文只采用參考文獻(xiàn)[11]的方法，即取

1.3 波發(fā)生器后圓盤計(jì)算

區(qū)別于傳動(dòng)雙圓盤波發(fā)生器，根據(jù)柔輪直母線假定，對(duì)后圓盤結(jié)構(gòu)參數(shù)獨(dú)立計(jì)算，如圖3所示。l1為中截面到柔輪杯底距離，R2為波發(fā)生器后盤計(jì)算半徑，e2為后盤偏心距，δ為筒環(huán)寬度。

圖3 后圓盤作用下柔輪變形示意圖

根據(jù)圖中幾何關(guān)系，柔輪與后圓盤接觸位置的處徑向變形量

后圓盤計(jì)算半徑

后圓盤軸線偏心距

根據(jù)上述改進(jìn)后圓盤波發(fā)生器設(shè)計(jì)理論，前、后圓盤結(jié)構(gòu)參數(shù)都可以被確定下來，將通過實(shí)際算例，利用有限元方法對(duì)比分析改進(jìn)前、后波發(fā)生器作用下，柔輪的變形和應(yīng)力分布。

2 計(jì)算實(shí)例

2.1 算例參數(shù)

本文算例選自日本HD公司組件型CSF-90型號(hào)諧波齒輪減速器。其杯形柔輪剖面如圖4所示，主要參數(shù)如表1所示。

圖4 柔輪結(jié)構(gòu)剖面圖

表1 CSF-90型號(hào)減速器主要參數(shù)

基于表1所示參數(shù)，根據(jù)1.2、1.3節(jié)理論分別計(jì)算出改進(jìn)前、改進(jìn)后兩組波發(fā)生器結(jié)構(gòu)參數(shù)。改進(jìn)前圓盤計(jì)算半徑R1= R2=118.006 m，偏心距e1= e2= 4.23 mm，波發(fā)生器與柔輪接觸寬度bc為11.8 mm。改進(jìn)后前盤計(jì)算半徑R1=118.006 mm，偏心距e1=4.23 mm，后盤計(jì)算半徑R2=118.50 mm，偏心距e2=3.51 mm，波發(fā)生器與柔輪接觸寬度bc為11.8mm。

2.2 有限元模型建立

為提高工作效率和模型計(jì)算精度，本文選擇基于APDL語言在Ansys環(huán)境中進(jìn)行參數(shù)化建模，柔輪齒體部分選用Beam 44梁?jiǎn)卧ㄟ^定義實(shí)常數(shù)的形式來表現(xiàn)漸開線齒廓特征。建立柔輪筒體部分時(shí)，由于杯底圓臺(tái)結(jié)構(gòu)變形可以忽略，且對(duì)于柔輪變形幾乎不產(chǎn)生影響，將其簡(jiǎn)化為筒體部分的邊界條件。建立雙圓盤波發(fā)生器時(shí)，由于本文暫不考慮柔性軸承的作用，將波發(fā)生器簡(jiǎn)化為2個(gè)對(duì)稱的剛性圓面。波發(fā)生器及柔輪筒體均選用Shell 63殼體單元，該單元既具有彎曲能力又具有膜力，可以承受平面內(nèi)載荷和法向載荷。

2.3 定義接觸和施加約束

基于實(shí)際工況，定義波發(fā)生器與柔輪之間的面-面接觸關(guān)系，波發(fā)生器外表面作為剛性目標(biāo)面，定義Target 174單元，柔輪內(nèi)壁作為柔性接觸面，定義Contact 170單元。最后對(duì)有限元模型施加位移邊界條件，選擇波發(fā)生器外表面與柔輪杯底圓盤內(nèi)孔的全部節(jié)點(diǎn)，對(duì)所選節(jié)點(diǎn)施加全約束。有限元裝配模型如圖5所示。

圖5 有限元裝配模型

2.4 模型有效性驗(yàn)證

將建立的有限元裝配模型求解完成之后，對(duì)結(jié)果進(jìn)行處理，顯示柔輪整體徑向位移分布如圖6所示。柔輪整體徑向位移云圖呈對(duì)稱分布，最大值出現(xiàn)在長(zhǎng)軸齒圈前截面位置處，最小值出現(xiàn)在短軸位置，與柔輪的實(shí)際變形特征相一致。

圖6 柔輪徑向位移分布云圖

3 變形結(jié)果分析

基于求解后的兩組有限元裝配模型，定義路徑分別提取前、后圓盤作用區(qū)間內(nèi)柔輪中截面的變形結(jié)果，對(duì)比改進(jìn)前與改進(jìn)后的變形差異。

3.1 徑向位移結(jié)果對(duì)比

圖7所示為提取的兩組有限元模型徑向位移結(jié)果。橫坐標(biāo)表示極角坐標(biāo)，φ=0°為長(zhǎng)軸位置，順時(shí)針為正，縱坐標(biāo)表示徑向位移量。 觀察圖7a可知，φ∈(0°，40°)區(qū)間內(nèi)，兩條徑向位移曲線重合度較低，在φ=0°長(zhǎng)軸位置處二者偏差最大，隨著極角坐標(biāo)增大，偏差逐漸減小。對(duì)比觀察圖7b，改進(jìn)后波發(fā)生器作用下，兩條徑向位移曲線在整個(gè)區(qū)間范圍內(nèi)基本完全重合。對(duì)上述圖7a、7b中前、后圓盤作用下徑向位移曲線分別作差并進(jìn)行對(duì)比分析，如圖8所示。

圖7 徑向位移結(jié)果對(duì)比

圖8所示為兩組徑向位移差值對(duì)比結(jié)果?？芍倪M(jìn)前最大徑向位移差值出現(xiàn)在長(zhǎng)軸位置處，其值為236 um，相當(dāng)于最大徑向位移的19.2%，隨著φ不斷增大，差值呈現(xiàn)減小-增大-減小的趨勢(shì)，變形特征不穩(wěn)定。對(duì)于改進(jìn)后，在整個(gè)區(qū)間范圍內(nèi)，徑向位移差值曲線平穩(wěn)，處于零線附近，最大差值出現(xiàn)在長(zhǎng)軸位置處，其值為最大徑向位移的1.2%。

圖8 徑向位移差值結(jié)果對(duì)比

3.2 周向位移結(jié)果對(duì)比

圖9a、9b為提取的兩組有限元模型周向位移結(jié)果。觀察圖9a，柔輪在波發(fā)生器作用下產(chǎn)生變形時(shí)，由于后圓盤作用錐角較大，所以在整個(gè)區(qū)間內(nèi)，后盤周向位移值大于前盤，且在φ∈(86°，90°)區(qū)間內(nèi)，前盤周向位移為負(fù)值。對(duì)比觀察圖9b，在整個(gè)區(qū)間范圍內(nèi)，兩條曲線非常重合，前、后圓盤作用下柔輪周向位移值基本完全相等，表明柔輪變形特征基本一致。

圖9 周向位移結(jié)果對(duì)比

綜上所述，通過對(duì)兩組有限元模型徑向位移和周向位移結(jié)果對(duì)比分析可得，在改進(jìn)后雙圓盤波發(fā)生器作用下，柔輪變形偏差相比改進(jìn)前減小，一致性較高。

4 應(yīng)力結(jié)果分析

柔輪在發(fā)生變形時(shí)，其包角位置處會(huì)出現(xiàn)應(yīng)力集中現(xiàn)象，較高的應(yīng)力會(huì)影響諧波減速器的承載能力和使用壽命。因此，定義路徑提取第一、四象限范圍內(nèi)兩組有限元模型等效應(yīng)力和周向應(yīng)力，對(duì)比結(jié)果如圖10、圖11所示。

如圖10所示，φ=0°為坐標(biāo)Y軸正向柔輪長(zhǎng)軸位置，順時(shí)針為正。在整個(gè)區(qū)間內(nèi)，改進(jìn)后柔輪筒體等效應(yīng)力曲線低于改進(jìn)前，在φ∈(90°，180°)后圓盤作用區(qū)間內(nèi)，應(yīng)力集中現(xiàn)象明顯改善，其中在φ=150°位置處，改進(jìn)后的應(yīng)力值從102.11 MPa降低為87.16 MPa，降低了14.6%。

圖10 等效應(yīng)力結(jié)果對(duì)比

圖11所示為周向應(yīng)力結(jié)果對(duì)比圖，從圖中可以觀察到，在φ∈(90°，180°)區(qū)間內(nèi)，應(yīng)力改善最為明顯，其中，在φ∈(90°，135°)壓應(yīng)力區(qū)內(nèi)，最大應(yīng)力從-88.50 MPa降為-80.11 MPa，降低了9.5%。在φ∈(135°，180°)拉應(yīng)力區(qū)間內(nèi)，最大應(yīng)力從89.39 MPa降為73.82 MPa，降低了17.4%。

圖11 周向應(yīng)力結(jié)果對(duì)比

綜上所述，在改進(jìn)后雙圓盤波發(fā)生器作用下，柔輪齒圈最大應(yīng)力相比改進(jìn)前降低，其中，后圓盤作用區(qū)間內(nèi)應(yīng)力降低較為明顯。

5 結(jié)論

1)基于柔輪直母線假定，以計(jì)算截面達(dá)到理論徑向變形量為目標(biāo)，提出了獨(dú)立計(jì)算雙圓盤波發(fā)生器前、后圓盤結(jié)構(gòu)參數(shù)的方法。

2)相比于改進(jìn)前，改進(jìn)后波發(fā)生器前、后圓盤作用區(qū)間內(nèi)，柔輪齒圈中截面徑向和周向變形特征基本完全一致。

3)通過比較，改進(jìn)后波發(fā)生器作用下，柔輪殼體上應(yīng)力均存在降低，其中，后圓盤作用區(qū)間內(nèi)，應(yīng)力值降低最為明顯，有助于提高柔輪的使用壽命。