申海燕，周?chē)?guó)立

（重慶大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400044）

在對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型中，公司的盈余過(guò)程主要由兩部分組成：一是以固定速率的連續(xù)支出，二是服從復(fù)合Poisson過(guò)程的隨機(jī)收入。1955年，Cramér首次提出了此模型[1]。近年來(lái)，對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型也一直備受關(guān)注，如Ng討論了對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型的最優(yōu)分紅問(wèn)題[2]。在一般的對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型中，更新一發(fā)生隨機(jī)收益就立即到達(dá)，但是，許多因素會(huì)導(dǎo)致收益存在延遲，因此，一般的對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型在實(shí)際應(yīng)用中很受限制。

延遲首先被引進(jìn)了經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型中主要是因?yàn)樵趯?shí)際中可能會(huì)存在索賠發(fā)生了但沒(méi)有被報(bào)道或者索賠被報(bào)道了但沒(méi)有立即執(zhí)行等情況，例如，Trufin和Waters討論了有索賠延遲的離散時(shí)間的風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程[3-4]。隨著延遲在經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型中的深入研究，帶延遲的對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型也受到了大量重視。對(duì)偶模型主要適用于模擬有隨機(jī)收益的公司的盈余過(guò)程，但是在更新轉(zhuǎn)變?yōu)槭找媲巴ǔ?huì)存在延遲，例如專(zhuān)利申請(qǐng)中的延遲，在USPTO申請(qǐng)專(zhuān)利的平均等待時(shí)間大概是27個(gè)月，因此很多公司的隨機(jī)收益會(huì)存在延遲。

然而，一些公司的隨機(jī)收益不僅會(huì)有延遲，它的盈余過(guò)程也會(huì)由于某些因素（比如期望、利率、通貨膨脹等）而存在波動(dòng)，一般地，將這種波動(dòng)稱(chēng)為擾動(dòng)。例如，石油公司的隨機(jī)收益由于開(kāi)采過(guò)程會(huì)有一定的延遲時(shí)間，并且石油公司的盈余會(huì)因國(guó)家政策或者市場(chǎng)調(diào)控而上下波動(dòng)。由此可見(jiàn)，延遲對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型或者帶擾動(dòng)的對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型不足以模擬一些公司的盈余過(guò)程。1991年，帶擾動(dòng)的經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型首次被Dufresne提出[5]，隨后，許多學(xué)者將擾動(dòng)引入對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型中[6-9]。目前，已經(jīng)有一部分學(xué)者研究過(guò)帶擾動(dòng)的延遲風(fēng)險(xiǎn)模型[10-11]，但很少有學(xué)者研究過(guò)帶擾動(dòng)的延遲對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型。

所以，本研究主要考慮將延遲和擾動(dòng)同時(shí)引入對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型中，此模型不僅是眾多學(xué)者研究的帶擾動(dòng)的對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型的推廣，還是Zhu所研究的延遲對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型的推廣[12]。本研究主要目的是推導(dǎo)出破產(chǎn)概率和相關(guān)破產(chǎn)時(shí)間的漸近解。在以往的研究中，一般的方法是運(yùn)用拉普拉斯變換找到一個(gè)二階積分-微分方程的解，但由于后者是一個(gè)二階積分-偏微分方程，所以此方法并不適用于本研究提出的模型。因此，在文獻(xiàn)[12]方法的基礎(chǔ)上，本研究運(yùn)用了另一種新方法解決這個(gè)難題，即結(jié)合Ito?公式，通過(guò)構(gòu)造幾類(lèi)特殊函數(shù)同時(shí)從放縮法的角度求解漸近解，最后，將結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析。

本研究的結(jié)構(gòu)如下：第一節(jié)介紹了帶擾動(dòng)的延遲對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程。第二節(jié)推導(dǎo)出了最終生存概率滿足的積分-偏微分方程，同時(shí)計(jì)算出了破產(chǎn)概率的漸近解。第三節(jié)主要得到了有關(guān)破產(chǎn)時(shí)間的漸近解。第四節(jié)主要討論了在延遲時(shí)間是有界的條件下的顯示解。第五節(jié)主要是數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)和比較分析。第六節(jié)給出了一些結(jié)論。

1 帶擾動(dòng)的延遲對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程

首先考慮一個(gè)帶布朗運(yùn)動(dòng)擾動(dòng)的對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型，其盈余過(guò)程定義如下：

定義τ為盈余過(guò)程第一次到達(dá)0的時(shí)間，即：τ= inf{t> :Xt≤0}，假設(shè)此盈余過(guò)程滿足正電荷條件：

文獻(xiàn)[7]中給出了有限區(qū)間內(nèi)的破產(chǎn)概率為：P(τ < ∞|X0=x)=e-αx，其中，α是下列方程的唯一正根：

當(dāng)隨機(jī)收益沒(méi)有延遲時(shí)，假設(shè){Tk-Tk-1}k≥1是獨(dú)立同分布的參數(shù)為λ的指數(shù)分布，則收益的過(guò)程是一個(gè)參數(shù)為λ的泊松過(guò)程。然而當(dāng)收入存在延遲時(shí)，假設(shè)是Lk獨(dú)立同分布的非負(fù)隨機(jī)變量，累積分布函數(shù)為L(zhǎng)(t)，并且定義(t)= 1-L(t)。

在上述的帶擾動(dòng)的延遲對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型中，時(shí)刻t≥0之后的破產(chǎn)時(shí)間仍定義為盈余過(guò)程首次到達(dá)0的時(shí)刻，即τt= inf(s:s≥t,Xs≤0)。若破產(chǎn)沒(méi)有發(fā)生，則τt= ∞，相應(yīng)地在時(shí)刻t的最終破產(chǎn)概率為ψ(x,t)=P(τt<∞|Xt=x)，以及在時(shí)刻t的最終生存概率為φ(x,t)= 1-ψ(x,t)。

我們注意到，一個(gè)帶延遲的泊松過(guò)程仍然是一個(gè)泊松過(guò)程，文獻(xiàn)[14]中證明了這一結(jié)論。并且文獻(xiàn)[13]也更為詳細(xì)地指出了帶延遲的Nt在t時(shí)刻是一個(gè)參數(shù)為λL(t)的泊松過(guò)程。

2 破產(chǎn)概率的漸近解

本節(jié)首先推導(dǎo)出了最終破產(chǎn)概率滿足的積分-偏微分方程，然后利用Ito?公式得到了破產(chǎn)概率的上、下界以及漸近解。除此之外還將此模型中破產(chǎn)概率的結(jié)果與延遲對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型中的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。

引理2.1 假設(shè)λE[Y1]>ρ，則最終生存概率φ(x,t)滿足方程

證明 首先考慮時(shí)間t之后的非常小的一段時(shí)間Δt。假設(shè)Xt=x，則有：

（i）無(wú)隨機(jī)收益發(fā)生的概率為1- λL(t)Δt，且Xt+Δt=x- ρΔt+ σBΔt；

（ii）由（i）可以計(jì)算出隨機(jī)收益Y發(fā)生的概率為λL(t)Δt，且Xt+Δt=x-ρΔt+Y+σBΔt。

再根據(jù)馬氏鏈的性質(zhì)，有

然后利用Ito?公式可以得到

最后將上兩式相加并令Δt→0可得到式（4）。

注2.1 如果初始盈余為0，則φ(x,t) ≡0。

其中，α為滿足式（3）的唯一正根。特別地，當(dāng)x→∞時(shí)，

當(dāng)τt< ∞時(shí)，破產(chǎn)一定會(huì)發(fā)生，即Xτt= 0，所以有

再由式（7）和式（8）得

顯然，

另一方面，

然后，有

將式（12）代入式（11）得

再根據(jù)式（9）和式（13）可得

從式（14）可以推出

由式（9）、式（10）和式（12）可得

再由式（16）可得

最后根據(jù)式（15）和式（17）可得到式（5），再令式（5）中的x→∞可得到式（6）。

注2.2 本研究將擾動(dòng)引入了延遲對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型中，再由文獻(xiàn)[1]方法的啟發(fā)，構(gòu)造了函數(shù)w(x,t)和Ltw來(lái)解決由擾動(dòng)帶來(lái)的困難，發(fā)現(xiàn)本研究模型下的破產(chǎn)概率的漸近解與文獻(xiàn)[1]中的結(jié)果不同。

下面通過(guò)一些具體的例子來(lái)說(shuō)明兩個(gè)漸近解的不同之處。

注2.3 假設(shè)p(y)=ve-vy，根據(jù)式（3），可以得到

所以上式對(duì)λ求導(dǎo)可得

3 破產(chǎn)時(shí)間的漸近解

本節(jié)的目標(biāo)是獲得破產(chǎn)時(shí)間期望值的上下界以及它的漸近解。但是，如果滿足式（2）的條件，那么破產(chǎn)就有可能不會(huì)發(fā)生，即τt可以為∞，則EXt=x[τt]是無(wú)限的。為了使得估計(jì)破產(chǎn)時(shí)間的期望值有意義，下面假設(shè)λE[Y1]<ρ，并且令v(x,t)=EXt=x[τt-t]。在得到這些結(jié)果之前，可以做類(lèi)似于引理2.1的討論，從而得到v(x,t)滿足的積分-偏微分方程。

引理3.1 假設(shè)λE[Y1]<ρ，則v(x,t)滿足

其中v(0,t)≡0。

證明 令q(x,t)=EXt=x[τt]，再做類(lèi)似于引理2.1的討論，可得到

然后利用Ito?公式可以得到

將上兩式相加并令Δt→0可得

因?yàn)関(x,t)=q(x,t) -t，所以有

最后，得到

并且，如果x= 0，則τt=t，即v(0,t)=EXt=x[t-t]= 0。

接下來(lái)主要通過(guò)構(gòu)造函數(shù)h(x,t)和Lth來(lái)推導(dǎo)出破產(chǎn)時(shí)間期望值的漸近解，與第二小節(jié)不同的是，它的漸近解不受到擾動(dòng)項(xiàng)的影響。

定理3.1 假設(shè)E[Y1]<ρ，則有

并且當(dāng)x→∞時(shí)，

再通過(guò)做與文獻(xiàn)[1]中的定理2.3的類(lèi)似討論可證明式（19）和式（20）。

注3.1 在帶擾動(dòng)的延遲對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型中的破產(chǎn)時(shí)間期望值的漸近解與延遲對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型中的結(jié)果一樣。此現(xiàn)象表明在初始盈余非常大的情況下，盈余的小波動(dòng)不會(huì)影響破產(chǎn)時(shí)間的期望值。

4 具體可解決的模型

第二節(jié)和第三節(jié)分別得到了破產(chǎn)概率和與破產(chǎn)時(shí)間相關(guān)的漸近解。雖然對(duì)于得到式（4）的具體解很難，但是在某些特殊模型下可以求出具體解。當(dāng)延遲時(shí)間為有界時(shí)，此模型可以求得具體解。假設(shè)延遲時(shí)間比固定時(shí)間l短，即

定理4.1 假設(shè)延遲時(shí)間滿足式（21），則ψ(x,t)滿足

證明 （i）首先考慮t

再利用Ito?公式可以得到

結(jié)合上兩式并令Δt→0可得式（22）。

（ii）接下來(lái)考慮t≥l時(shí)的情況。此時(shí)，在時(shí)間[t,Δt]內(nèi)，有收益的概率為λLΔt，無(wú)收益的概率為1-λLΔt。類(lèi)似引理2.1，由馬氏鏈的性質(zhì)可得

最后將上兩式相加并令Δt→0可得到式（23）。

注4.1 當(dāng)x= 0時(shí)，ψ(0,t)= 1。

定理4.2 假設(shè)延遲時(shí)間滿足式（21），則有

其中，α為滿足式（3）的唯一正解。

證明 在此條件下，破產(chǎn)概率滿足式（22）和式（23）。當(dāng)t≥l時(shí)，在時(shí)刻t沒(méi)有延遲發(fā)生。即為一般的對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率，ψ(x,t)=e-αx，具體求解步驟可參考文獻(xiàn)[6]。如果tρ(l-t) -σBl，在時(shí)間[t,l]內(nèi)暫時(shí)不會(huì)發(fā)生破產(chǎn)，假設(shè)Xl=x，則破產(chǎn)概率為e-αx，因此，當(dāng)tρ(l-t) -σBl時(shí)，有ψ(x,t)=EXt=x[e-αXl]。

令f(x)=e-αx，并且定義

再根據(jù)Dynkin′s公式可得

即

將式（25）中的l取值為t，則有g(shù)(t)=e-αx，再令g(l)對(duì)l求導(dǎo)有

注4.2 當(dāng)t

5 數(shù)值實(shí)例

本節(jié)主要進(jìn)行數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)，并且根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果來(lái)說(shuō)明擾動(dòng)對(duì)于延遲對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型中的破產(chǎn)概率的影響。

首先假設(shè)當(dāng)t< 1時(shí)，L(t)=t；t≥1時(shí)，L(t)= 1（即l= 1），p(y)=re-ry，由定理4.2得

然后令ρ=σ=r= 1，Bl= 0.05，λ= 2，最后得到在時(shí)間t= 0.35、t= 7、t= 1.05和t= 1.4時(shí)的給定不同初始盈余值（初始盈余值x=0.2、0.4、0.6、0.8、1.0、1.2）下的破產(chǎn)概率（詳細(xì)結(jié)果見(jiàn)表1）以及相關(guān)圖形（見(jiàn)圖1）。同時(shí)，還將本節(jié)中的破產(chǎn)概率與延遲對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型下的破產(chǎn)概率進(jìn)行了比較(參數(shù)的取值都相同)。延遲對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型下的破產(chǎn)概率解的形式可參見(jiàn)文獻(xiàn)[1]，最后模擬的具體結(jié)果見(jiàn)表2和圖2。

表1 帶擾動(dòng)的延遲對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型下的破產(chǎn)概率Table 1 The ruin probability under the delayed dual risk model with diffusion

表2 延遲對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型下的破產(chǎn)概率Table 2 The ruin probability under the delayed dual risk model

圖1 帶擾動(dòng)的延遲對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型Figure 1 The delayed dual risk model with diffusion

圖2 延遲對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型Figure 2 The delayed dual risk model

注意：表1與表2中的NA并不意味著破產(chǎn)概率不存在，而是目前沒(méi)有具體解的形式。根據(jù)表1、2和圖1、2，我們發(fā)現(xiàn)帶擾動(dòng)的對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型和延遲對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率在t>l時(shí)僅依賴(lài)于初始盈余值x，并且隨著初始盈余值的增加而減小。除此之外，在tρ(1-t) -σBl時(shí)，延遲對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型中的破產(chǎn)概率隨著時(shí)間的增加而減小，但帶擾動(dòng)的對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型中的破產(chǎn)概率隨著時(shí)間的增加而變大，并且，帶擾動(dòng)的對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型中的破產(chǎn)概率比延遲對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型中的破產(chǎn)概率大，因此，也說(shuō)明了擾動(dòng)的加入會(huì)使得破產(chǎn)概率變大，增加公司盈余過(guò)程的風(fēng)險(xiǎn)。

6 結(jié)論

本研究基于文獻(xiàn)[1]中的延遲對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型構(gòu)建了帶擾動(dòng)的延遲對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型，通過(guò)構(gòu)造幾類(lèi)特殊函數(shù)，并結(jié)合Ito?公式和積分-偏微分方程推導(dǎo)出破產(chǎn)概率和有關(guān)破產(chǎn)時(shí)間的漸近解，然后在某些特定條件下求得了破產(chǎn)概率的顯示解，最后通過(guò)數(shù)值實(shí)例說(shuō)明了擾動(dòng)會(huì)使得延遲對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型下的破產(chǎn)概率變大，并且在時(shí)間t小于延遲時(shí)間時(shí)，帶擾動(dòng)的延遲對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型下的破產(chǎn)概率隨時(shí)間的增長(zhǎng)而變大，延遲對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型下的破產(chǎn)概率隨時(shí)間的增長(zhǎng)而減小。這對(duì)某些公司降低破產(chǎn)概率有參考價(jià)值。此模型還可以拓展為隨機(jī)收益為Erlang分布、增加跳或者Le?vy過(guò)程以及擾動(dòng)是隨機(jī)的情況，這需要更深入的研究。