林慶澤

（中山大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510275）

歐式空間Rn（n≥1）上的乘積理論涉及到多參數(shù)的收縮變換，因此導(dǎo)致了關(guān)于強(qiáng)極大算子的有界性的研究[1]：

其中在求上確界時(shí)，R取遍Rn上的所有邊平行于坐標(biāo)軸的n維矩形并滿足x∈R。通過沿坐標(biāo)軸方向的一維情形的Hardy-Littlewood 極大算子的有界性以及對強(qiáng)極大算子Mn的迭代控制，容易證明強(qiáng)極大算子Mn:Lp(Rn)→Lp(Rn)是有界的，其中1 1，則強(qiáng)極大算子Mn一般不再具有弱（1，1）有界性[1]，取而代之的是強(qiáng)極大算子Mn具有以下形式的弱有界性：對于?α> 0，都有

其中，An表示一個(gè)只與維數(shù)n有關(guān)的常數(shù)，|E|表示集合E?Rn的Lebesgue測度，即強(qiáng)極大算子Mn是從Orlicz空間L(1+(log+L)n-1)到L1,∞上的有界算子[3]。

另一方面，Cordoba和Fefferman利用Rn上有界開集族的覆蓋性質(zhì)首次給出了關(guān)于強(qiáng)極大定理的一個(gè)深刻的幾何證明，其證明的主要思路依賴于強(qiáng)極大算子Mn的有界性與覆蓋性質(zhì)之間的某種等價(jià)關(guān)系[4-5]，他們的工作啟發(fā)了大量后續(xù)的研究[6-9]。本研究將證明Rn上具有有界Lebesgue 測度的開集族具有Cordoba-Fefferman覆蓋性質(zhì)當(dāng)且僅當(dāng)它具有有限覆蓋性質(zhì).

1 極大算子與覆蓋性質(zhì)的定義

為了研究強(qiáng)極大算子Mn的有界性，Cordoba和Fefferman考慮了更一般的集合，將Rn上的邊平行于坐標(biāo)軸的n維矩形族替換為由某些具有有界Lebesgue測度的開集所組成的族?，據(jù)此構(gòu)造更一般的極大算子[4-5]：

利用定義1的覆蓋性質(zhì)，Cordoba和Fefferman證明了：

容易看出，若由Rn上某些具有有界Lebesgue 測度的開集所組成的族?具有覆蓋性質(zhì)Vq，則該族?具有有限覆蓋性質(zhì)Wq。同時(shí)可以看出，有限覆蓋性質(zhì)Wq要比覆蓋性質(zhì)Vq更容易驗(yàn)證。接下來將證明上述蘊(yùn)含關(guān)系反過來也成立，這也是本研究最主要的結(jié)論。

2 覆蓋性質(zhì)Vq與有限覆蓋性質(zhì)Wq的等價(jià)性

由于假定極大算子M?是弱（p,p）有界的，因此可以得到

由此證明了有限覆蓋性質(zhì)Wq中的條件（1）。

記T*為線性算子T的伴隨算子，則對于任意的f∈Lp,g∈(Lp,∞)*，都有

因此伴隨算子T*具有如下表達(dá)式：

因此得到

反過來，假定族?具有有限覆蓋性質(zhì)Wq，下面證明極大算子M?是弱（p,p）有界的。

如果q= 1，則此時(shí)p= ∞，極大算子M?是強(qiáng)（∞,∞）有界的，因此也自然是弱（p,p）有界的。以下證明當(dāng)1

容易看出

由于該不等式對于任意的緊子集K?Oα都一致成立，因此由Lebesgue測度的內(nèi)正則性可以得到[10]

即

從而得到了極大算子M?的弱（p,p）有界性，證畢。

結(jié)合定理1和定理2，可以得到關(guān)于Cordoba和Fefferman所定義的覆蓋性質(zhì)Vq與本研究所定義的有限覆蓋性質(zhì)Wq的等價(jià)性：

定理3 給定由Rn上某些具有有界Lebesgue測度的開集所組成的族?且1 ≤q< ∞，則族?具有覆蓋性質(zhì)Vq當(dāng)且僅當(dāng)它具有有限覆蓋性質(zhì)Wq。

由于極大算子M?都是強(qiáng)（∞,∞）有界的，因此可以得到推論：

推論1 給定由Rn上某些具有有界Lebesgue 測度的開集所組成的族?，則族?不僅具有有限覆蓋性質(zhì)W1，而且也具有覆蓋性質(zhì)V1。

已知強(qiáng)極大算子Mn:Lp(Rn)→Lp(Rn)是有界的，其中1

推論2 Rn上的所有所有邊平行于坐標(biāo)軸的n維矩形所組成的集族不僅具有有限覆蓋性質(zhì)Wq，同時(shí)也具有覆蓋性質(zhì)Vq，其中1 ≤q< ∞。