梁星亮 趙憲鐘 任苗苗

(1. 西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院, 陜西 西安 710127; 2. 陜西科技大學(xué)文理學(xué)院, 陜西 西安 710021)

1 引言

半群的分類問題是半群理論中的核心問題之一, 其中半群的S- 系理論是研究半群同調(diào)分類的一種有效方法. 20 世紀(jì)60 年代, 很多學(xué)者致力于幺半群同調(diào)分類問題的研究, 利用幺半群上系范疇中對象的性質(zhì)刻畫幺半群, 已有許多重要研究成果面世[1-10].幺半群上S- 系的正則性作為半群的von Neumann 正則性的一種重要推廣, 從20 世紀(jì)80 年代開始備受學(xué)者們的關(guān)注. 1985 年, 文獻(xiàn)[11] 首次在幺半群的S- 系范疇中引入了正則系的概念, 并利用S- 系的正則性給出了幺半群是群以及可消幺半群的刻畫; 1995 年, 文獻(xiàn)[12] 給出了所有正則左S- 系是平坦的幺半群的特征刻畫; 2004 年,文獻(xiàn)[13] 在幺半群的S- 系范疇中引入了正則系的一個(gè)推廣, 稱之為C(P) 系, 研究了與C(P)系有關(guān)的同調(diào)分類問題,給出了所有S-系具有C(P)性質(zhì),以及S-系的C(P)性質(zhì)與其它平坦性質(zhì)一致的幺半群的刻畫; 2018 年, 文獻(xiàn)[14] 在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步做了推廣, 引入了C(P′) 系, 并給出了幺半群是C(P′) 幺半群以及正則幺半群的特征刻畫. 上述研究的主要對象是幺半群, 所考慮的范疇是幺半群上的系范疇. 眾所周知, 更多半群并無幺元, 且許多幺半群的經(jīng)典刻畫對于不含幺元的半群未必成立. 基于此, 本文將有局部單位半群理論與幺半群理論的同調(diào)分類方法有機(jī)結(jié)合, 在有局部單位半群上的酉系范疇中引入正則對象, 通過研究正則對象的性質(zhì)來刻畫有局部單位半群的特征, 為不含幺元半群的同調(diào)分類研究提供新的思路.

2 預(yù)備知識(shí)

本文假設(shè)S是半群(未必含有幺元1),E(S) 表示S的所有冪等元構(gòu)成的集合. 本節(jié)給出文中要用到的定義以及相關(guān)引理.

定義2.1[15]稱半群S有局部單位, 如果對任意的s ∈S, 存在冪等元e,f ∈S使得es=s=sf, 同時(shí)稱e是S的一個(gè)左單位元,f是S的一個(gè)右單位元.

顯然, 幺半群、正則半群和富足半群都是有局部單位半群.

定義2.2[15]設(shè)S是半群,A是非空集合. 若有S×A到A的映射f:S×A →A滿足

則稱(A,f) 是左S- 系, 或稱S左作用于A上. 為了方便起見, 記f(s,a)=sa, 于是上式變?yōu)?/p>

此時(shí), 左S- 系(A,f) 簡記為A或SA. 特別地, 當(dāng)S是幺半群時(shí), 如果映射f在條件(1) 基礎(chǔ)上又滿足1a=a, ?a ∈A, 則稱A是單式左S- 系.

定義2.3[15]設(shè)A,B都是左S- 系. 稱映射f:A →B為從A到B的左S- 同態(tài), 如果f(sa) =sf(a), ?s ∈S, ?a ∈A. 所有左S- 系以及左S- 系之間的S- 同態(tài)構(gòu)成一個(gè)范疇, 稱為左S- 系范疇.

定義2.4[15]設(shè)S是半群,A是左S- 系. 稱A是酉S- 系, 如果SA=A. 所有的酉左S- 系和它們之間的S- 系同態(tài)構(gòu)成左S- 系范疇的一個(gè)全子范疇, 稱為酉左S- 系范疇.

下面給出有局部單位半群上酉系的一個(gè)重要性質(zhì).

引理2.1設(shè)S是有局部單位半群,A是酉左S- 系. 則對于任意元素a ∈A, 存在e ∈E(S), 使得a=ea.

證明對于任意元素a ∈A, 由A的酉性可知, 存在s ∈S,a′∈A使得a=sa′. 因?yàn)镾是有局部單位半群, 所以存在e ∈E(S), 使得s=es. 因此,a=sa′=esa′=ea.

定義2.5[15]設(shè)A是右S- 系,B是左S- 系, 作卡氏積A×B, 令

記ρ=ρ(H) 為由H生成的A×B上的最小等價(jià)關(guān)系. 稱商集A×B/ρ為A和B的張量積, 記為A ?B, (a,b) 所在的等價(jià)類記為a ?b.

由定義2.5 以及等價(jià)關(guān)系的定義可得到A ?B中兩個(gè)元素相等的具體刻畫.

引理2.2設(shè)A是酉右S- 系,B是酉左S- 系,a,a′∈A,b,b′∈B, 則在A ?B中a?b=a′?b′的充要條件是存在a1,··· ,an ∈A,b1,··· ,bn ∈B,s1,t1,··· ,sn,tn ∈S,使得

證明規(guī)定A×B上的關(guān)系σ如下: 對任意的a,a′∈A,b,b′∈B, (a,b)σ(a′,b′)?存在a1,··· ,an ∈A,b1,··· ,bn ∈B,s1,t1,··· ,sn,tn ∈S, 使得等式組(2) 成立. 下證σ是A×B上的等價(jià)關(guān)系.

因?yàn)镾是有局部單位半群, 且A是酉S- 系, 所以對于a ∈A, 存在e ∈E(S), 使得a=a·e. 從而有a=a·e, a·e=a, e·b=b, 即(a,b)σ(a,b), 故反身性成立. 對稱性顯然. 下證傳遞性.

設(shè)(a,b)σ(a′,b′),(a′,b′)σ(a′′,b′′), 則對于a′∈A, 存在f ∈E(S), 使得a′=a′f. 從而有如下等式組:即(a,b)σ(a′′,b′′). 因此σ是等價(jià)關(guān)系.

對于任意((as,b),(a,sb))∈H, 由于a ∈A, 所以存在e ∈E(S), 使得a=ae. 從而有

所以(as,b)σ(a,sb), 從而ρ ?σ.

設(shè)(a,b)σ(a′,b′). 則有

即(a,b)ρ(a′,b′), 所以σ ?ρ. 故由定義即得結(jié)論.

由文獻(xiàn)[2] 知, 張量函子??B把單同態(tài)不一定變?yōu)閱斡成? 因此, 引入了

定義2.6稱左S- 系A(chǔ)是主弱平坦的, 如果對于S的任意主右理想I, 映射I ?A →S ?A是單的.

定義2.7[15]設(shè)S是半群, 稱S- 系P是投射的, 如果對于任意S- 滿同態(tài)φ:A →B, 任意S- 同態(tài)f:P →B, 存在S- 同態(tài)g:P →A使得f=φ°g.

如果半群S的任意主左理想是投射左S- 系, 則稱S是左PP半群.

下面給出投射系的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)刻畫.

引理2.3[15]設(shè)S是有局部單位半群, 則左S- 系Se,e ∈E(S), 是投射的.

引理2.4[15]設(shè)S是有局部單位半群, 循環(huán)S- 系Sx是投射的當(dāng)且僅當(dāng)存在S的冪等元e, 使得Sx ?Se.

下文除特殊聲明以外, 半群均指有局部單位半群,S- 系均是酉左S- 系.

3 正則系

本節(jié)在酉系范疇中引入正則對象, 探討它的基本性質(zhì), 給出正則對象中元素的等價(jià)描述, 揭示正則性與余直積以及正合序列之間的關(guān)系.

定義3.1設(shè)A是S- 系,a ∈A, 稱a是A中的正則元, 如果存在S- 同態(tài)f:Sa →S, 使得f(a)a=a.

設(shè)S是正則半群,s ∈S, 則存在s′∈S, 使得ss′s=s, 作映射f:Ss →S為f(ts)=tss′. 容易驗(yàn)證f是左S- 同態(tài), 且f(s)s=ss′s=s, 所以S是左S- 系中的正則元.

注3.1半群S中的正則元和左S- 系中的正則元是不一致的, 前者是指von Neumann 正則, 而后者是指定義2.1 意義下的正則.

下面給出S- 系中正則元的基本性質(zhì).

命題3.1設(shè)A是S- 系,a ∈A, 以下三條等價(jià):

(1)a是A中的正則元;

(2) 存在e ∈E(S), 使得ea=a, 并且對于任意p,q ∈S, 若pa=qa, 則pe=qe;

(3)Sa是投射S- 系.

證明(1)?(2) 設(shè)Sa →S是S- 同態(tài)且滿足f(a)a=a, 記e=f(a)∈S. 則

這說明e ∈E(S), 且ea=a. 假設(shè)p,q ∈S, 使得pa=qa. 則

(2)?(3) 定義映射φ:Sa →Se如下:

則由條件(2) 易知φ是有定義的. 若se=te, 則sa=sea=tea=ta, 這說明φ是單的. 易證φ也是S- 滿同態(tài), 因此φ:Sa →Se就是同構(gòu). 再由引理2.3 知,Sa是投射的.

(3)?(1) 設(shè)Sa是投射的, 根據(jù)引理2.4, 存在S- 同構(gòu)g:Sa →Se, 其中e ∈E(S).設(shè)g(a)=s,g(ta)=e, 其中t ∈S, 則有

所以setset=seet=set, 即set ∈E(S). 令e′=set. 作映射h:Sa →Se′為h(xa)=xe′,x ∈S. 若xa=ya, 則xs=ys, 從而xe′=ye′, 說明h有定義. 而且對于任意的z ∈S, 有

這說明h是S- 同態(tài), 并且h(a)=e′, 這是因?yàn)閷τ赼 ∈A, 存在v ∈E(S) 使得a=va,從而有

設(shè)xe′=ye′, 則

所以h是單的, 從而h是S- 同構(gòu). 由

可推出h(a)a=a, 故a是A中的正則元.

定義3.2設(shè)A是S- 系. 如果A中的所有元素都是A的正則元, 則稱A是正則S- 系.

命題3.1 的一個(gè)直接推論是

推論3.1S- 系A(chǔ)是正則的當(dāng)且僅當(dāng)A的任意循環(huán)子系都是投射的.

下面給出正則S- 系的例子.

例3.1(1) 若S是正則半群, 則S作為左S- 系SS是正則的.

(2) 設(shè)S是右可消半群, 則由命題3.1 的條件(2) 可知S是正則S- 系. 事實(shí)上, 由下面的命題3.2 可知此時(shí)任意投射S- 系都是正則的.

下面刻畫S- 系的正則性與子系以及余直積之間的關(guān)系.命題3.2設(shè)S是有局部單位的半群. 則

(1) 正則S- 系的任意子系仍是正則系;

(2) 正則S- 系的余直積仍是正則系.

證明(1) 由正則系的定義以及命題3.1 可得.

下面命題說明S- 系的滿同態(tài)保持正則性質(zhì).

命題3.3設(shè)S是有局部單位的半群, 是左S- 滿同態(tài), 若B是正則S- 系, 則A也是正則S- 系.

證明設(shè)a ∈A. 根據(jù)命題3.1, 存在e ∈E(S), 使得a=ea. 對任意p,q ∈S,若pa=qa, 則有pg(a) =g(pa) =g(qa) =qg(a). 因?yàn)锽是正則的,g(a)∈B,且g(a)=g(ea)=eg(a), 所以由命題3.2 知pe=qe. 這說明a是正則元, 因此,A是正則S- 系.

根據(jù)命題3.3 和S- 系Rees 短正合序列的定義, 易得

4 正則系對有局部單位半群的刻畫

本節(jié)利用S- 系的正則性質(zhì)對有局部單位半群進(jìn)行同調(diào)分類, 給出所有正則系是主弱平坦的和投射的有局部單位半群的特征刻畫. 為此, 首先給出

命題4.1若存在正則S- 系, 則S- 系中有一個(gè)最大的正則左理想.

證明設(shè)A是正則S-系,a ∈A, 則由命題3.1 知Sa是投射的. 根據(jù)引理2.4 有S-同構(gòu)Sa →Se,e ∈E(S). 再由命題3.2 知Sa是正則S- 系, 所以Se也是正則S- 系,這說明S中有正則左理想.

令T為S的所有正則左理想的并, 則由命題3.2 也知T是正則的. 顯然T是最大的正則左理想.

以下總是以T(S) 表示S的最大正則左理想.

下面通過研究S- 系的正則性與主弱平坦性之間的關(guān)系, 給出有局部單位半群的特征刻畫.

定理4.1對于有局部單位半群S, 以下兩條等價(jià):

(1) 所有正則S- 系是主弱平坦的;

(2) 對于任意s ∈S, 任意的e2=e ∈T(S),se是S的von Neumann 正則元.

證明(1)?(2) 設(shè)s ∈S,e2=e ∈T(S). 如果Sse=Se, 則存在t ∈S, 使得tse=e, 所以se=setse, 即se是von Neumann 正則元. 下設(shè)Sse ?=Se. 構(gòu)造S-系M如下:

這里x,y,z是三個(gè)符號(hào), 規(guī)定S在M上的作用為

容易驗(yàn)證M按照上述定義構(gòu)成一個(gè)左S- 系. 顯然有S- 系同構(gòu)S(e,x)?Se ?S(e,y).由于Se ≤T(S), 所以由命題3.2 知Se是正則系, 從而S(e,x) 和S(e,y) 是正則系. 再根據(jù)命題3.2,M=S(e,x)∪S(e,y) 是正則系, 從而由條件知M是主弱平坦的.

因?yàn)閟e(e,x)=(se,z)=se(e,y), 由M的主弱平坦性知在seS ?M中有

所以存在s1,t1,··· ,sn,tn ∈S,a1,a2,··· ,an ∈M,u2,··· ,un ∈seS, 使得設(shè)ai=(pi,wi),其中pi ∈S,wi ∈x,y,z. 由上述等式組可知存在某個(gè)i,使得tipi ∈Sse,從而有

又因?yàn)閡i+1∈seS, 所以se=seSse, 即se是von Neumann 正則元.

(2)?(1) 設(shè)A是正則S- 系,a,a′∈A,s ∈S, 在S ?A中有s ?a=s ?a′. 則由引理2.2 知, 存在a2,a3,··· ,an ∈A,s1,s2,··· ,sn ∈S,u1,v1,··· ,un,vn ∈S, 使得

記a1=a,an+1=a′. 因?yàn)閍1,··· ,an+1是A中的正則元, 所以由命題3.1 知, 存在e1,··· ,en+1∈E(S) 使得{a1,e1},{a2,e2},··· ,{an+1,en+1}是A的正則對. 因此有如下等式組

下面對n用數(shù)學(xué)歸納法, 證明在sS ?A中有s ?a=s ?a′.

設(shè)n= 1. 則有se1=s1u1e1, s1v1e2=se2, u1e1a=v1e2a′. 由命題3.2 的證明知Se1是正則左理想, 所以e1∈T(S). 由條件知u1e1是von Neumann 正則元, 故存在w1∈S, 使得u1e1=u1e1w1u1e1. 從而有

因?yàn)閧a′,e2}是正則對, 所以有v1e2=u1e1w1v1e2. 因此, 在sS ?A中有

設(shè)n≥2. 因?yàn)镾e1?Sa1是正則系, 所以e1∈T(S). 因此存在w1∈S, 使得u1e1=u1e1w1u1e1. 從而有

由于{a2,e2}是正則對, 所以有v1e2=u1e1w1v1e2. 因此,

利用歸納假定知, 在sS ?A中有

由于s2u2e2=s1v1e2∈SS, 再利用歸納假定可知, 在sS ?A中有

因此, 在sS ?A中有

故A是主弱平坦的.

推論4.1對于有局部單位半群S, 以下兩條等價(jià):

(1)S是正則半群;

(2)S是左PP半群, 并且所有正則S- 系是主弱平坦的.

證明S是左PP半群當(dāng)且僅當(dāng)sS是正則S- 系, 當(dāng)且僅當(dāng)T(S) =S, 所以由定理4.1 即得本推論.

接下來通過研究S- 系的正則性與投射性之間的關(guān)系, 給出有局部單位半群的特征刻畫. 為此, 先引入

命題4.2設(shè)A是有限生成S- 系. 若A是投射的, 則A是有限個(gè)循環(huán)子系的不交并.

又因?yàn)樗詉=j, 由A的結(jié)構(gòu)可知,f?1(ei)∈Sa1或者f?1(ei)∈Sa2. 若f?1(ei)∈Sa1,則a2∈Sa1, 所以A=Sa1. 若f?1(ei)∈Sa2, 則a1∈Sa2, 從而A=Sa2. 因此,A是循環(huán)子系的不交并.

設(shè)A=Sa1∪Sa2···∪San, 利用數(shù)學(xué)歸納法, 類似于上面的證明即可得出結(jié)論.

下面給出所有正則系是投射的等價(jià)刻畫:

定理4.2對于有局部單位半群S, 以下兩條等價(jià):

(1) 所有正則S- 系是投射的;

(2) 對任意e2=e ∈T(S),Se是S的極小左理想.

證明(1)?(2) 設(shè)e2=e ∈T(S). 則Se是S的左理想. 設(shè)I是S的左理想并且I ≤Se,I ?=Se. 類似于定理4.1 的證明構(gòu)造正則S- 系M, 由條件知M是投射的.由命題4.2 知M是循環(huán)子系的不交并. 但這是不可能的, 因?yàn)?/p>

所以Se是極小左理想.

(2)?(1) 設(shè)A是正則S- 系. 則對任意a ∈A, 有S- 系同構(gòu)Sa ?Se, 所以Se是正則的, 從而e2=e ∈T(S). 由條件即知Se是極小左理想, 因此Sa是單S- 系, 即中Sa沒有真子系. 容易證明A是若干個(gè)單子系的余直積, 而每個(gè)單子系是投射的, 所以A是投射的.