王 娟，趙均海，張建華，周 媛

(1. 長(zhǎng)安大學(xué)理學(xué)院，西安 710064；2. 長(zhǎng)安大學(xué)建筑工程學(xué)院，西安 710061)

空腔膨脹理論在彈靶撞擊領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用，許多學(xué)者運(yùn)用空腔膨脹理論對(duì)金屬材料、巖石、混凝土和土壤等材料的侵徹問題進(jìn)行了研究，得到了許多成果[1?11]，然而，此類研究多是建立在半無限靶體或者有限厚靶體(考慮靶背自由表面影響)的基礎(chǔ)上，對(duì)于有限平面尺寸靶體的系統(tǒng)研究還僅限于試驗(yàn)[12?13]，理論分析很少查到，即使有，也大都忽略了靶體側(cè)面邊界對(duì)侵徹的影響。Littlefield等[12]的研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)靶體尺寸較小時(shí)，這種假設(shè)帶來的結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)偏差明顯。鑒于此，2011年蔣志剛等[14]提出了有限柱形空腔膨脹理論，首次以系統(tǒng)的理論建立了長(zhǎng)桿彈侵徹有限直徑金屬厚靶的侵徹理論模型；隨后，宋殿義等[15]利用該理論建立了剛性尖頭(卵形)彈侵徹柱形金屬厚靶的侵徹模型。然而該模型由于僅針對(duì)單一彈頭形狀、采用的Mises準(zhǔn)則只適合于剪切屈服極限和拉壓屈服極限關(guān)系為τs=0.577σs的材料而有明顯缺陷。此外，工程中常用于拉壓強(qiáng)度相等材料的其他兩個(gè)屈服準(zhǔn)則：Tresca屈服準(zhǔn)則(未考慮中間主應(yīng)力的影響)和雙剪應(yīng)力屈服準(zhǔn)則，也都只能適用于τs=0.5σs和τs=0.667σs的材料，適用范圍有限。

統(tǒng)一強(qiáng)度理論考慮了作用于雙剪單元體上的全部應(yīng)力分量以及它們對(duì)材料破壞的不同影響，可以綜合反映各種不同靶體材料基本強(qiáng)度特性，還可以體現(xiàn)強(qiáng)度準(zhǔn)則差異的影響[9,16 ?17]，在國內(nèi)外得到廣泛的成功應(yīng)用，所得終點(diǎn)效應(yīng)計(jì)算公式與試驗(yàn)結(jié)果最為接近，是求解侵徹復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)問題更合理的新強(qiáng)度準(zhǔn)則[7?8]。由于材料強(qiáng)度準(zhǔn)則的建立和選用是研究靶材抗侵徹性能的重要環(huán)節(jié)，同時(shí)為了擴(kuò)展材料的適用范圍并充分發(fā)揮靶材潛能，本文采用統(tǒng)一強(qiáng)度理論，考慮中間主應(yīng)力和靶體側(cè)面自由邊界的影響，推導(dǎo)彈塑性階段和塑性階段的空腔壁徑向應(yīng)力，建立線性硬化靶材的統(tǒng)一侵徹模型，求出適用范圍更廣、精確度更高的中低速(v0≤1000 m/s)剛性彈在侵徹有限直徑金屬厚靶時(shí)的侵徹阻力和侵徹深度計(jì)算公式，對(duì)半無限金屬靶體的侵徹問題同樣適用；將本文理論公式計(jì)算結(jié)果與彈道試驗(yàn)結(jié)果、其他公式結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比驗(yàn)證，文獻(xiàn)[15]的結(jié)果僅是本文結(jié)論的一個(gè)特例；得到一系列基于不同強(qiáng)度準(zhǔn)則的解析解，有效地預(yù)測(cè)了拉壓強(qiáng)度相等的各類靶材在不同撞擊速度下侵徹深度區(qū)間；將所得卵形彈侵深公式擴(kuò)展至錐形彈和球形彈，研究了彈頭形狀對(duì)侵徹性能的影響；討論了強(qiáng)度參數(shù)、強(qiáng)度準(zhǔn)則差異、彈體撞擊速度以及靶體半徑對(duì)終點(diǎn)彈道性能的影響，可以為坦克、艦船等金屬裝甲防護(hù)設(shè)計(jì)及計(jì)算提供一定的參考和依據(jù)。

1 統(tǒng)一強(qiáng)度理論

統(tǒng)一強(qiáng)度理論是俞茂宏建立的一種全新的考慮中間主應(yīng)力 σ2影響的適用于各種不同材料的統(tǒng)一強(qiáng)度理論。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為[18]：

該準(zhǔn)則是以b為參數(shù)的隱含了無限多個(gè)屈服準(zhǔn)則的強(qiáng)度理論，因而也被稱為雙剪統(tǒng)一屈服準(zhǔn)則[18]。

2 有限柱形空腔膨脹

2.1 基于統(tǒng)一強(qiáng)度理論的計(jì)算模型

圖 1 有限柱形空腔膨脹模型Fig.1 Finite cylindrical cavity expansion model

式中： σeq和 εeq分別為統(tǒng)一強(qiáng)度理論等效應(yīng)力和等效應(yīng)變； σr和 εr分別為徑向應(yīng)力和徑向應(yīng)變；σθ和 εθ分別為環(huán)向應(yīng)力和環(huán)向應(yīng)變。

由于彈性區(qū)為小應(yīng)變，塑性區(qū)為大應(yīng)變，根據(jù)彈性區(qū)幾何關(guān)系式及質(zhì)點(diǎn)位移場(chǎng)表達(dá)式，可得[14]：

式中，r為t時(shí)刻空間坐標(biāo)。

將式(5)代入式(4)，可得線性硬化材料的有效應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系方程為：

柱形空腔膨脹理論的速度場(chǎng)為[14]：

在柱坐標(biāo)系下，靶體材料的動(dòng)量守恒方程為：

式(6)～式(8)共同構(gòu)成基于統(tǒng)一強(qiáng)度理論的不可壓縮線性硬化材料的有限柱形空腔膨脹的基本方程。

2.2 空腔膨脹應(yīng)力計(jì)算

2.2.1 彈塑性階段(rp

令rp=rt，此時(shí)第一階段結(jié)束時(shí)的空腔膨脹半徑rc1為：

在塑性區(qū)( σeq>σoy)，將式(6)和式(7)代入式(8)，整理可得：

對(duì)式(11)積分，可得：

式中，C1為一常數(shù)。

將式(13)代入式(12)，求得徑向應(yīng)力 σr為：

在彈性區(qū)( σeq≤σoy)，將式(6)和式(7)代入式(8)，可得：

將邊界條件

式中，rc2為第二階段結(jié)束時(shí)的空腔半徑。

基于Hill的塑性功假設(shè)[20 ? 21]和有限柱形空腔膨脹問題的應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)，有：

式中， εeq為統(tǒng)一強(qiáng)度理論的等效應(yīng)變，可由式(22)和式(23)聯(lián)合求解得到：

應(yīng)變分量表達(dá)式為[14]：

=εf條件，可確定α=1時(shí)，第二階段結(jié)束時(shí)的空腔半徑rc2為：

式中， εf為靶體材料的單向拉伸斷裂應(yīng)變。

2.3 剛性彈侵徹柱形金屬厚靶效應(yīng)

2.3.1 剛性彈侵徹模型分析

假設(shè)剛性卵形彈旋轉(zhuǎn)彈頭母線方程為y=y(x)；a表示彈體半徑，l表示彈頭長(zhǎng)度，如圖2所示。將彈丸的侵徹過程看成一系列空腔半徑為rc=y(x) 、靶體半徑為rt的有限柱形空腔膨脹模型來模擬[15]。假設(shè)彈丸初始速度和靶體初始侵深分別為v0和D0，t時(shí) 刻 彈 丸 速 度 和 靶 體 侵 深 分 別 為vt和Dt，那么t時(shí)刻靶體空腔半徑rc和空腔膨脹速度vt分別為[15]：

圖 2 侵徹模型尺寸Fig.2 Model dimension of penetration

2.3.2 侵徹阻力計(jì)算

忽略D

式中：φ為彈丸圓弧上一點(diǎn)的切線與彈丸軸線的夾角； σr(x)為根據(jù)本文有限柱形空腔膨脹理論計(jì)算所得的彈丸表面徑向應(yīng)力。

圖 3 不同彈頭形狀的剛性彈Fig.3 Rigid projectiles with different nose shapes

將式(20)和式(21)分別代入式(28)，可知：

假設(shè)當(dāng)y(x1)=rc1時(shí)，x1為靶體剛到達(dá)彈塑性階段末。當(dāng)x1≥l時(shí)，a≤rc1，有限柱形空腔膨脹體只經(jīng)歷彈塑性階段，侵徹阻力按式(29a)計(jì)算；當(dāng)x1rc1，有限柱形空腔膨脹體完全經(jīng)歷彈塑性階段和塑性階段，侵徹阻力按式(29)的兩個(gè)分式分段計(jì)算。

聯(lián)立式(27)和式(29)，整理可得滿足文獻(xiàn)[15]的公式形式：

式(30)和式(31)中各項(xiàng)系數(shù)經(jīng)計(jì)算整理得：

其中，Nd可以采用Simpson公式數(shù)值積分求得。

2.4 侵徹深度計(jì)算

假設(shè)彈丸質(zhì)量為m，根據(jù)文獻(xiàn)[15]可知，由牛頓第二定律以及初始條件可得，t時(shí)刻彈丸侵徹有限柱形金屬靶深度D為：

2.5 試驗(yàn)驗(yàn)證和結(jié)果分析

為了進(jìn)行對(duì)比，取文獻(xiàn)[13]中剛性卵形彈侵徹有限直徑鋁合金厚靶試驗(yàn)數(shù)據(jù)，代入本文公式進(jìn)行分析討論，彈體a=3.555mm ，l=11.8mm，L=59.3mm ，試驗(yàn)靶板為半徑rt=127mm的6061-T6511鋁合金，彈性模量為E=68.9GPa，切線模量為Ep=46MPa ，初始屈服應(yīng)力為σoy=365MPa，密度為 ρ=2710kg/m。其他材料參數(shù)、試驗(yàn)值和理論計(jì)算值匯總見表1。

表 1 卵形彈侵徹有限直徑金屬厚靶數(shù)據(jù)匯總Table 1 Data summarization of ogive-nose projectile penetration into metallic thick target finite in radial extent

圖4為根據(jù)文獻(xiàn)[18]、計(jì)算比較后取強(qiáng)度參數(shù)b=0.4 時(shí)本文理論公式最終侵徹深度計(jì)算值Dmax與試驗(yàn)侵徹深度數(shù)據(jù)Dshi[13]、Forrestal公式結(jié)果[15]的對(duì)比曲線。由圖4可以看出：本文理論公式計(jì)算值與試驗(yàn)值的平均相對(duì)誤差為0.0094，均方差為0.0427；Forrestal公式結(jié)果[15]與試驗(yàn)值的平均相對(duì)誤差為0.1469，均方差為0.0669。本文結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合的更好，比Forrestal公式誤差小了13.75%之多。由此驗(yàn)證了中低速(v0≤1000 m/s)彈侵徹有限直徑金屬厚靶時(shí)，本文理論計(jì)算模型具有一定的正確性和精確性。

圖 4 侵徹深度對(duì)比Fig.4 Comparison of penetration depth

圖5為文獻(xiàn)試驗(yàn)中構(gòu)件5(圖5(a))和其他兩個(gè)對(duì)比構(gòu)件(圖5(b)和圖5(c))的射線照片[13]，可以看到當(dāng)v0=966 m/s時(shí)，侵徹結(jié)束時(shí)彈道筆直，并保持與靶體中心線一致，彈體沒有明顯變形，與本文理論計(jì)算模型假設(shè)(當(dāng)彈體中低速(v0≤1000 m/s)撞擊靶體時(shí)可視其為剛性彈[23?24])一致。當(dāng)v0=1237 m/s時(shí)，彈道雖是直的，但與靶體中心線偏離了一定角度，彈體變形不太明顯；當(dāng)v0=1396 m/s時(shí)，彈道呈現(xiàn)曲線狀，彈體輕微彎曲，圖5(b)和圖5(c)不再適用于本文計(jì)算模型。

圖 5 侵徹彈道形態(tài)Fig.5 Radiographs of penetration craters

2.6 參數(shù)討論

對(duì)于不同的材料，b的取值各不相同，可以求得一系列不同侵徹深度和靶體阻力解，即統(tǒng)一強(qiáng)度理論可以適用于多種材料。圖6為不同b值時(shí)，所得侵徹深度Dmax與彈丸初速度v0的關(guān)系曲線。由圖可以看出：強(qiáng)度參數(shù)b對(duì)最終侵徹深度Dmax有較大的影響，b值越大，中間主應(yīng)力效應(yīng)越明顯，最終侵徹深度越小。這說明考慮中間主應(yīng)力 σ2的影響，可以更加客觀的表現(xiàn)出材料的強(qiáng)度潛能，使得構(gòu)件發(fā)揮自身抗侵徹能力，侵徹分析及計(jì)算中不宜忽略。

圖 6 不同 b值時(shí)侵徹深度對(duì)比Fig.6 Comparison of penetration depth with different b

同時(shí)，由于統(tǒng)一強(qiáng)度理論參數(shù)b還是選用不同強(qiáng)度準(zhǔn)則的參數(shù)，當(dāng)其取不同數(shù)值時(shí)，統(tǒng)一強(qiáng)度理論退化為不同的強(qiáng)度準(zhǔn)則，由此所得的計(jì)算結(jié)果差別很大，以彈體著靶速度v0=569m/s為例，采用Tresca屈服準(zhǔn)則(b=0)得到的侵深計(jì)算結(jié)果比采用雙剪屈服準(zhǔn)則(b=1)得到的侵深計(jì)算結(jié)果大22.45%，由此說明強(qiáng)度準(zhǔn)則的選用對(duì)侵徹終點(diǎn)效應(yīng)的預(yù)測(cè)也具有重要作用，實(shí)際工程應(yīng)用中應(yīng)選擇合適的強(qiáng)度準(zhǔn)則進(jìn)行計(jì)算，從而更好地進(jìn)行合理設(shè)計(jì)和節(jié)約材料。例如本文針對(duì)鋁合金靶材取強(qiáng)度參數(shù)b=0.4進(jìn)行計(jì)算，所得結(jié)果也代表了基于一種新的、針對(duì)此靶材更加合適的強(qiáng)度準(zhǔn)則的解；若為其他靶材，可采用相同的方法，通過試驗(yàn)驗(yàn)證，取得適合自身的b值進(jìn)行計(jì)算。

對(duì)于某一特定工況下有限直徑金屬厚靶侵徹問題，與其他計(jì)算方法只有唯一解不同，本文計(jì)算方法可以得到一系列解析解，文獻(xiàn)[15]所得結(jié)果(Mises屈服準(zhǔn)則結(jié)果)為本文b=0.366時(shí)的特例(只適合τs=0.577σs的材料)，并且彈體侵徹深度的試驗(yàn)值幾乎全部都會(huì)落在這一系列解析解范圍之內(nèi)。因此，采用本文理論計(jì)算方法可以得到某一特定工況下彈體侵深的上限值和下限值，有效地預(yù)測(cè)彈體侵徹深度的范圍，例如，將計(jì)算結(jié)果歸納總結(jié)見表2，得到不同撞擊速度下此類拉壓強(qiáng)度相等靶材侵徹深度的預(yù)測(cè)區(qū)間。

表 2 不同撞擊速度彈體侵徹深度預(yù)測(cè)區(qū)間Table 2 Penetration depth ranges for projectiles with different impact velocity

此外，由圖6也可看出：當(dāng)v0≤1147m/s時(shí)，彈體撞擊速度越大，所得最終侵徹深度也越大。

圖7為采用本文公式(b=0.4)所得不同撞擊速度侵徹模型的侵徹深度D與彈體侵徹速度vt的關(guān)系曲線，由圖可以看出：隨著侵徹的進(jìn)行，彈體速度不斷減小，侵徹深度增加，但是侵徹深度增加的速率減小。

圖 7 侵徹深度與彈體速度的關(guān)系Fig.7 Relationship between penetration depth and penetration velocity

其他條件均與試驗(yàn)數(shù)據(jù)一致，改變彈丸初始速度和靶體半徑(即不同rt/a值)，研究最終侵徹深度的變化情況，如圖8所示(b=0.4)。計(jì)算過程中，當(dāng)約rt/a≤10 時(shí)，a≤rc1，有限柱形空腔膨脹體完全經(jīng)歷彈塑性階段和塑性階段，侵徹阻力按式(29)兩分式分段計(jì)算。當(dāng)rt/a>10 時(shí)，a>rc1，有限柱形空腔膨脹體只經(jīng)歷彈塑性階段，侵徹阻力按式(29)第一分式計(jì)算。由圖8可以看出：隨著靶體半徑與彈丸半徑比rt/a值的增大，最終侵徹深度與彈丸半徑比Dmax/a值越來越?。划?dāng)rt/a≥16時(shí)，侵徹深度與彈丸半徑比減小的速度緩慢，rt/a=70 與rt/a=16相比，侵徹深度只減小了3.15%，但當(dāng)rt/a<16時(shí)，侵徹深度隨著靶彈半徑比變化的程度顯著，rt/a=4 與rt/a=16相比，侵徹深度增長(zhǎng)了40.76%，說明當(dāng)rt/a<16時(shí)，靶體邊界尺寸的影響不能忽略，不能繼續(xù)按照半無限靶體進(jìn)行計(jì)算，與文獻(xiàn)[13]試驗(yàn)結(jié)論相近。

圖 8 最終侵徹深度與靶體半徑的關(guān)系Fig.8 Relationship between final penetration depth and target radius

圖9比較了彈桿直徑相同的卵形彈頭、錐形彈頭和球形彈頭作用下的理論侵徹深度(b=0.4)，可以看出，彈頭形狀對(duì)侵徹深度的影響很大，錐形彈頭的侵徹深度大于卵形彈頭的侵徹深度，并且明顯大于球形彈頭的侵徹深度，當(dāng)撞擊速度小于570 m/s左右時(shí)，卵形彈頭和錐形彈頭所得侵徹深度基本相同。這是由于在保持彈桿直徑和彈體長(zhǎng)度相同的條件下，與錐形彈和卵形彈相比，球形彈的彈頭相對(duì)平坦，彈頭表面積相對(duì)更大，于是彈體在侵徹過程中受到的阻力也更大，進(jìn)而使得侵徹深度明顯較小，這說明了在相同彈桿直徑和彈體長(zhǎng)度的條件下，相比球形彈，錐形彈和卵形彈的穿透能力明顯要強(qiáng)得多，其中錐形彈的穿透能力最強(qiáng)，當(dāng)撞擊速度小于570 m/s左右時(shí)，錐形彈和卵形彈穿透能力差別不大。

圖 9 不同彈頭形狀侵徹深度比較Fig.9 Comparison of penetration depth with different projectile nose shapes

另外，由圖9還可看出，各類彈體的侵徹深度均隨著彈體著靶速度的增大而增大，只是相比球形彈，錐形彈和卵形彈的侵徹深度受彈體著靶速度的影響更為顯著。

3 結(jié)論

本文采用統(tǒng)一強(qiáng)度理論，研究了中低速剛性彈侵徹有限直徑金屬厚靶問題的侵徹機(jī)理和計(jì)算模型，并討論了彈道終點(diǎn)效應(yīng)的影響因素。主要結(jié)論如下：

(1)本文建立的基于統(tǒng)一強(qiáng)度理論的有限柱形空腔膨脹模型考慮了靶體側(cè)面自由邊界、中間主應(yīng)力效應(yīng)和強(qiáng)度準(zhǔn)則差異的影響，可以很好的描述整個(gè)侵徹過程中彈靶的動(dòng)態(tài)響應(yīng)；所得中低速彈體侵徹有限直徑金屬厚靶侵徹阻力和侵徹深度計(jì)算公式，適用于解決不同彈頭形狀的各類金屬靶材的復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)問題，對(duì)半無限金屬靶體的侵徹問題同樣適用。將本文理論計(jì)算結(jié)果與彈道試驗(yàn)、其他公式結(jié)果進(jìn)行比較，本文結(jié)果精度更高。

(2)采用本文理論計(jì)算方法可以得到一系列基于不同強(qiáng)度準(zhǔn)則的解析解，從而有效預(yù)測(cè)不同撞擊速度下拉壓強(qiáng)度相等的各類靶材侵徹深度的區(qū)間，文獻(xiàn)[15]所得結(jié)果僅為本文b=0.366時(shí)的特例。強(qiáng)度參數(shù)b對(duì)侵徹計(jì)算結(jié)果有非常大的影響，即考慮中間主應(yīng)力效應(yīng)，可以更加客觀的表現(xiàn)出材料的強(qiáng)度潛能，使得構(gòu)件發(fā)揮自身抗侵徹能力。

(3)彈體初速度和靶彈半徑比對(duì)侵徹計(jì)算結(jié)果的影響較大。rt/a≤10時(shí)，有限柱形空腔膨脹體完全經(jīng)歷彈塑性階段和塑性階段，而rt/a>10時(shí)，有限柱形空腔膨脹體只經(jīng)歷彈塑性階段；隨著rt/a值的減小，Dmax/a值不斷增大，當(dāng)rt/a<16時(shí)，Dmax/a值增大的程度顯著，此時(shí)靶體邊界尺寸對(duì)侵徹終點(diǎn)效應(yīng)的影響很大，不能繼續(xù)按照無限大靶體進(jìn)行分析計(jì)算。

(4)彈頭形狀對(duì)侵徹深度也有一定影響，就侵徹性能而言，錐形彈強(qiáng)于卵形彈，并且明顯強(qiáng)于球形彈。