孫小童 郭 戈 ,2,3 張鵬飛

多智能體一致性控制廣泛應(yīng)用于移動(dòng)機(jī)器人編隊(duì)任務(wù)[1]、集群航天器深空探測(cè)[2]等領(lǐng)域,是指通過(guò)設(shè)計(jì)基于信息交換的一致性協(xié)議,保證所有智能體的狀態(tài)達(dá)到一致[3?5].其主要問(wèn)題包括領(lǐng)導(dǎo)者跟隨一致性[6]與無(wú)領(lǐng)導(dǎo)一致性[7].領(lǐng)導(dǎo)者跟隨一致性即選擇一個(gè)或多個(gè)智能體作為領(lǐng)導(dǎo)者,以實(shí)現(xiàn)一致跟蹤[8].現(xiàn)有相關(guān)工作已取得部分成果,但多屬于漸近穩(wěn)定范疇.相比之下,有限時(shí)間一致性控制可得到有限的截止時(shí)間,且具有較強(qiáng)的抗干擾能力與較快的穩(wěn)定速度[9].

文獻(xiàn)[10]引入非奇異終端滑?？刂?建立一種能在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到多智能體系統(tǒng)一致的一致跟蹤算法.文獻(xiàn)[11]采用李雅普諾夫方法進(jìn)行一致性設(shè)計(jì),實(shí)現(xiàn)多智能體系統(tǒng)有限時(shí)間收斂.文獻(xiàn)[12]研究了具有有界擾動(dòng)的二階多智能體系統(tǒng)的自適應(yīng)有限時(shí)間一致性問(wèn)題,基于積分滑模面設(shè)計(jì)自適應(yīng)算法克服擾動(dòng),實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間一致性.

此外,文獻(xiàn)[13?15]通過(guò)輸出反饋對(duì)多智能體系統(tǒng)的有限時(shí)間一致性進(jìn)行了研究.但上述結(jié)果的收斂時(shí)間依賴于初始條件,即初始條件越大,斂時(shí)間越長(zhǎng),且隨著初始條件趨于無(wú)窮,收斂時(shí)間無(wú)限增長(zhǎng).為此,固定時(shí)間穩(wěn)定性的概念被提出[16],它要求在有限時(shí)間穩(wěn)定性的基礎(chǔ)上,在任意初始條件下收斂時(shí)間的上界都應(yīng)為常數(shù).文獻(xiàn)[17]研究了多智能體系統(tǒng)的固定時(shí)間一致性問(wèn)題,在固定時(shí)間一致性問(wèn)題中,收斂時(shí)間與初始狀態(tài)無(wú)關(guān).文獻(xiàn)[18?24]提出了幾種多智能體系統(tǒng)固定時(shí)間一致性算法,其中文獻(xiàn)[18]引入一種正弦補(bǔ)償函數(shù)來(lái)克服系統(tǒng)存在的奇異性.此外,由于擾動(dòng)的存在,在實(shí)際應(yīng)用中必須考慮存在內(nèi)部不確定性和外部擾動(dòng)的影響.固定時(shí)間一致性問(wèn)題中的抗干擾問(wèn)題得到廣泛關(guān)注.文獻(xiàn)[19]研究了具有輸入延時(shí)與不確定擾動(dòng)的多智能體系統(tǒng)固定時(shí)間一致性問(wèn)題.文獻(xiàn)[21]研究了具有不確定擾動(dòng)的非線性多智能體系統(tǒng)固定時(shí)間一致性問(wèn)題.文獻(xiàn)[22]考慮了具有外部擾動(dòng)的二階多智能體系統(tǒng)的一致性問(wèn)題,構(gòu)造了一個(gè)擾動(dòng)觀測(cè)器來(lái)估計(jì)外部擾動(dòng).早期工作中,多智能體系統(tǒng)分布式協(xié)同抗擾大都假設(shè)擾動(dòng)或不確定性存在于控制輸入的同一通道中,為匹配擾動(dòng),然而很少關(guān)注具有非匹配擾動(dòng)的多智能體系統(tǒng)的固定時(shí)間穩(wěn)定問(wèn)題.

針對(duì)具有非匹配擾動(dòng)的多智能體系統(tǒng)固定時(shí)間一致性問(wèn)題,文獻(xiàn)[25]考慮了具有擾動(dòng)的二階多智能體系統(tǒng)的固定時(shí)間一致問(wèn)題,提出了一種狀態(tài)觀測(cè)器.該觀測(cè)器只需要在固定時(shí)間內(nèi)利用輸出信息就可對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行估計(jì).每個(gè)智能體的動(dòng)力學(xué)分別由具有約束條件的匹配擾動(dòng)和非匹配擾動(dòng)組成.通過(guò)控制器和虛擬速度的設(shè)計(jì),克服了各智能體之間存在的干擾,使多智能體系統(tǒng)能夠達(dá)到固定時(shí)間一致.但是這篇文章存在奇異性,對(duì)不連續(xù)函數(shù)進(jìn)行了求導(dǎo).我們基于這種情況進(jìn)行了改進(jìn),引入正弦補(bǔ)償函數(shù)設(shè)計(jì)非奇異分布協(xié)議,避免系統(tǒng)的奇異性且克服非匹配擾動(dòng),使多智能體系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)固定時(shí)間一致跟蹤.

第1 節(jié),主要介紹了一些概念和引理.第2 節(jié),提出了一種固定時(shí)間擾動(dòng)觀測(cè)器.第3 節(jié)研究了固定時(shí)間控制及固定時(shí)間一致跟蹤的問(wèn)題.第4 節(jié),用一個(gè)仿真算例來(lái)證明理論結(jié)果的有效性.最后,第5 節(jié)做出了總結(jié).

1 問(wèn)題描述與預(yù)備知識(shí)

1.1 問(wèn)題描述

本文研究目標(biāo):利用一種非奇異控制協(xié)議,使多智能體系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)固定時(shí)間一致跟蹤.

考慮如下多智能體系統(tǒng),

其中xi∈R,vi∈R,ui∈R分別表示第i個(gè)智能體的位置、速度和輸入,fi∈R 是與控制輸入ui∈R在相同信道中的有界擾動(dòng),di∈R表示第i個(gè)智能體的非匹配擾動(dòng),i∈?N:={1,2,···,N}.參考模型可描述為

其中x0∈R,v0∈R,u0∈R 分別表示參考系統(tǒng)的位置,速度和輸入.多智能體系統(tǒng)(1)中引入一個(gè)領(lǐng)航者π0,其狀態(tài)ξ0=[x0,v0]T.定義一個(gè)非負(fù)對(duì)角陣B=diag{b1,b2,···,bn}表示智能體對(duì)ξ0的可訪問(wèn)性,若ξ0可以被第i個(gè)智能體訪問(wèn),則bi=1,否則bi=0.

假設(shè) 1.在有向網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渲?至少有一個(gè)智能體可獲取領(lǐng)航者信息,即B≠0.

假設(shè) 2.智能體無(wú)法獲取領(lǐng)航者的輸入u0(t),但其上界可知.

假設(shè) 3.di為外部擾動(dòng),滿足

其中D >0,為已知常數(shù).

假設(shè) 4.擾動(dòng)fi的一階導(dǎo)數(shù)有界,且滿足,Li為其上界.

注 1.假設(shè)3 存在于實(shí)際中,如車輛、船舶或飛機(jī)等載體在行進(jìn)過(guò)程中,所受阻力會(huì)隨速度增加而變大,當(dāng)阻力到達(dá)某極限值后不再變化,如文獻(xiàn)[26]關(guān)于船舶阻尼系數(shù)的研究.存在多個(gè)文獻(xiàn)對(duì)此類擾動(dòng)進(jìn)行了研究如文獻(xiàn)[25].

注 2.在假設(shè)4 中,假設(shè)擾動(dòng)一階導(dǎo)數(shù)是有界的,因?yàn)閿_動(dòng)不可能無(wú)限快地變化.

1.2 預(yù)備知識(shí)

1.2.1 代數(shù)圖論

設(shè)N階加權(quán)圖g(A)={ν,ε,A}表示n個(gè)多智能體之間的通信拓?fù)?且每個(gè)智能體作為節(jié)點(diǎn),其由節(jié)點(diǎn)集ν(g)={π1,π2,···,πn},邊集ε(g)?ν×ν,和加權(quán)鄰接矩陣A=[aij]∈RN×N(aij >0)組成.在加權(quán)圖g(A)中邊 (πi,πj)表示節(jié)點(diǎn)πi的狀態(tài)可以應(yīng)用于節(jié)點(diǎn)πj,但節(jié)點(diǎn)πj的狀態(tài)不一定可以應(yīng)用于節(jié)點(diǎn)πj.如果 (πi,πj)∈ε,節(jié)點(diǎn)πi稱為節(jié)點(diǎn)πj的鄰節(jié)點(diǎn).πi的所有鄰節(jié)點(diǎn)可以用集合λj={i:(πi,πj)∈ε}來(lái)表示.當(dāng) (πi,πj)∈ε時(shí),有向圖的加權(quán)鄰接矩陣定義為aij=1 ,對(duì)于其他情況aij=0,g的拉普拉斯矩陣表示為L(zhǎng)=[lij]∈RN×N.若一個(gè)邊的子集形成一個(gè)生成樹,那一個(gè)圖就有一個(gè)有向生成樹.

1.2.2 重要引理

引理 1[27].設(shè)ξ1,ξ2,···,ξN≥0,則有

引理 2[28].考慮如下標(biāo)量系統(tǒng),

其中α>0,β >0,m,n,p,q是正奇數(shù)且m>n,p

若ε:=[q(m ?n)]/[n(q ?p)]≤1,穩(wěn)定時(shí)間為

定義 1.在給定ui的情況下,對(duì)?ξi(0)和?i,j∈?N,存在正常數(shù)Tmax使得?t>Tmax,且ξi(t)=ξ0(t)則式(1)中的閉環(huán)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)固定時(shí)間一致跟蹤,其中ξi:=[xi,vi]T.

定義 2.固定時(shí)間收斂是指系統(tǒng)狀態(tài)從任意初始條件出發(fā),都將在有限時(shí)間內(nèi)收斂到平衡點(diǎn),且收斂時(shí)間一致有界.

2 固定時(shí)間擾動(dòng)觀測(cè)器設(shè)計(jì)

針對(duì)多智能體系統(tǒng)抗擾問(wèn)題,通常采用滑模擾動(dòng)觀測(cè)器來(lái)提高對(duì)不確定性和干擾的魯棒性.然而,在傳統(tǒng)的滑模擾動(dòng)觀測(cè)器中,估計(jì)誤差漸近或有限時(shí)間收斂為零,當(dāng)初始誤差較大,收斂時(shí)間可能很長(zhǎng).此外,滑模擾動(dòng)觀測(cè)器中通常存在抖振問(wèn)題.考慮到這兩個(gè)問(wèn)題,本文設(shè)計(jì)固定時(shí)間擾動(dòng)觀測(cè)器對(duì)擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì),且利用非奇異控制協(xié)議使多智能體系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)固定時(shí)間一致跟蹤.

對(duì)多智能體系統(tǒng)(1)設(shè)計(jì)如下固定時(shí)間擾動(dòng)觀測(cè)器,對(duì)其擾動(dòng)fi進(jìn)行估計(jì).

對(duì)于多智能體系統(tǒng)(1),固定時(shí)間擾動(dòng)觀測(cè)器如式(8)所示,定義為系統(tǒng)擾動(dòng)的估計(jì)誤差,在固定時(shí)間內(nèi),固定時(shí)間擾動(dòng)觀測(cè)器的估計(jì)誤差收斂到原點(diǎn),即,通過(guò)假設(shè)4 可得收斂時(shí)間界限為

其中Mi=ki,3+Li,mi=ki,3?Li,h(ki,1)=1/ki,1+[2e/(miki,1)]1/3,e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),控制增益滿足ki,3>Li,ki,1h?1(ki,1)>Mi.

擾動(dòng)fi經(jīng)過(guò)固定時(shí)間擾動(dòng)觀測(cè)器觀測(cè)后在下文中為已知數(shù)值.

注 3.在式(8)積分項(xiàng)中存在符號(hào)函數(shù),因此,估計(jì)值是連續(xù)的,避免了抖振問(wèn)題.

注 4.不等式(9)表明系統(tǒng)(8)的收斂時(shí)間由觀測(cè)器初值限制,與系統(tǒng)初始狀態(tài)無(wú)關(guān).

3 主要結(jié)論

3.1 非奇異固定時(shí)間控制

本節(jié)研究單個(gè)系統(tǒng)固定時(shí)間控制問(wèn)題,引入一種正弦補(bǔ)償函數(shù),得到非奇異固定時(shí)間控制方法,為下節(jié)一致跟蹤問(wèn)題提供理論基礎(chǔ).

考慮任意子系統(tǒng),定義z1=xi,z2=vi,d=di,f=fi則系統(tǒng)如下

其中z=[z1,z2]T∈R2表示系統(tǒng)的狀態(tài)向量,u∈R為控制輸入.

定義mχ,nχ,pχ,qχ為正奇數(shù),且滿足mχ >nχ,p11.αχ,βχ是正常數(shù),其中χ=1,2.引入文獻(xiàn)[18]中定義的正弦補(bǔ)償函數(shù)μτ(·):[0,+∞)→[0,1],

其中τ為正常數(shù).

為避免奇異性問(wèn)題,引入如下滑模面[18]

其中k(·):R→R+表示標(biāo)量正函數(shù)

為書寫方便,下文將省略k(·)中的參數(shù).當(dāng)s=0時(shí)可得.

定義一種新的固定時(shí)間控制律

其中,

對(duì)于?ω >0存在 sinωx≤x.

定理 1.考慮二階系統(tǒng),控制協(xié)議(14)使其狀態(tài)z=[z1,z2]T全局固定時(shí)間收斂,且收斂時(shí)間為

其中,Tχ:=nχ/[αχ(mχ ?nχ)]+qχ/[βχ(qχ ?pχ)](χ=1,2),θ(τ)表示與τ相關(guān)的最小時(shí)間區(qū)域.

證明.對(duì)s進(jìn)行求導(dǎo)得到

定義u=u1+u2+u3+u4,其中u2,u3,u4用來(lái)克服擾動(dòng)d與f,將在下文對(duì)其進(jìn)行定義,將u代入式(16)可得

若z2≠0 則μτ(·)>0,為方便證明,將狀態(tài)空間z∈R{2分成兩個(gè)不同的}空間,如{圖1[18]所示,其中}.

圖1 系統(tǒng)的相位圖Fig.1 The phase plot of the system

若相位圖1 中任意位置都可以在Tmax內(nèi)到達(dá)滑模面s=0 ,則全局收斂實(shí)現(xiàn).當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)(z1,z2)處于S1區(qū)域時(shí),函數(shù)μτ(·)為1.據(jù)引理2,狀態(tài)(z1,z2)將到達(dá)滑動(dòng)面s=0或在固定時(shí)間內(nèi)進(jìn)入S2區(qū)域,在S2中當(dāng)z2≠0 時(shí)0<μτ <1.據(jù)式(20)及引理2 可得,滑動(dòng)面s=0仍然是一個(gè)吸引域.在靠近z1軸時(shí)z2趨近于0,且,控制輸入(14)變?yōu)?當(dāng)時(shí),若則s>0 ,則s<0.因此z(t)將在固定時(shí)間θ(τ)內(nèi)單調(diào)地越過(guò)S2進(jìn)入S1(如圖1 所示).所以在時(shí)間t1

注 5.對(duì)于包括z1=0的非常小的z1=0,S2中的z2→0表示系統(tǒng)軌跡接近滑模面s=0,保證了固定時(shí)間收斂性,因此θ(τ)→0.由于對(duì)T2的保守估計(jì),當(dāng)τ足夠小時(shí),忽略θ(τ)是有實(shí)踐意義的.參數(shù)約束條件m1/n1?p1/q1>1,p1/q1>1/2 可使ε1>1.因?yàn)榭赡艽嬖讦?≤1,所以穩(wěn)定時(shí)間(7)僅適用于計(jì)算短暫的T2.

注 6.對(duì)于多智能體系統(tǒng)固定時(shí)間一致控制問(wèn)題,文獻(xiàn)[25]研究了存在非匹配擾動(dòng)的情況,但其存在奇異性,對(duì)不連續(xù)函數(shù)進(jìn)行了求導(dǎo),我們引入文獻(xiàn)[18]中的方法避免了系統(tǒng)的奇異性,與文獻(xiàn)[18]相比我們通過(guò)改進(jìn)滑模面克服了非匹配擾動(dòng).

3.2 非奇異固定時(shí)間一致跟蹤

為解決固定時(shí)間一致跟蹤問(wèn)題,引入一種改進(jìn)的非奇異分布式協(xié)議

其中滑模面si表示為

其中,

m2>n2,p2

定理 2.考慮多智能體系統(tǒng)(1)和(2),如滿足假設(shè)1 和2,非奇異分布協(xié)議(22)可使多智能體系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)固定時(shí)間一致跟蹤,其中,穩(wěn)定時(shí)間T滿足

且

其中,χ=(1,2),θ(τ)表示最小時(shí)間間隔.

證明.1)當(dāng)si≠0 時(shí),將式(22)代入式(21)可得

將式(23)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)并且將式(27)代入其中可得

2)當(dāng)滑模面si=0 時(shí),式(23)可化為

其中,i∈?N.構(gòu)造一個(gè)Lyapunov 函數(shù)V3=,應(yīng)用引理1 可得

若V3≠0,則為下列微分方程的解

與 1)中結(jié)果相同,對(duì)于?i∈?N,可以得到,穩(wěn)定時(shí)間t1

因此ep在T

為將交互拓?fù)洳⑷牖Ｃ?定義新的滑動(dòng)變量

定理 3.考慮多智能體系統(tǒng)(1)和(2),如滿足假設(shè)1 和2,非奇異分布協(xié)議(36)可使多智能體系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)固定時(shí)間一致跟蹤,穩(wěn)定時(shí)間T滿足

其中,

證明.定理2 與定理3 都是為多智能體系統(tǒng)(1)和(2)設(shè)計(jì)非奇異分布協(xié)議,使多智能體系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)固定時(shí)間一致跟蹤.該定理的證明與定理2 的證明有同樣思路,證明過(guò)程本文不再贅述.

注 7.穩(wěn)定時(shí)間(38)也依賴于交互拓?fù)鋵傩?即.此外,在滑動(dòng)變量的定義中引入了交互拓?fù)?保證了轉(zhuǎn)換過(guò)程中的一致性.

本文在協(xié)議中引入連續(xù)的正弦補(bǔ)償函數(shù)消除了奇異性.此外,分布式控制協(xié)議(22)與(36)均可實(shí)現(xiàn)多智能體系統(tǒng)(1)和(2)的固定時(shí)間一致跟蹤,且截止時(shí)間與初始條件無(wú)關(guān),相比協(xié)議(22),協(xié)議(36)更側(cè)重多智能體系統(tǒng)在實(shí)現(xiàn)一致跟蹤過(guò)程中的編隊(duì)效率,減小超調(diào).

3.3 算法

1)選擇系統(tǒng)參數(shù)α1,β1,α2,β2,m1,n1,m2,n2,p1,q1,p2,q2,τ.

2)定義系統(tǒng)狀態(tài).

3)根據(jù)定義的系統(tǒng)狀態(tài)設(shè)計(jì)固定時(shí)間擾動(dòng)觀測(cè)器.

4)根據(jù)所設(shè)計(jì)的固定時(shí)間擾動(dòng)測(cè)器來(lái)設(shè)計(jì)固定時(shí)間一致控制協(xié)議.

5)根據(jù)設(shè)計(jì)的固定時(shí)間一致控制協(xié)議來(lái)設(shè)計(jì)固定時(shí)間一致跟蹤控制協(xié)議.

圖2 算法流程圖Fig.2 Algorithm flowchart

4 系統(tǒng)仿真

本章通過(guò)MATLAB/SIMULINK 仿真來(lái)驗(yàn)證所提固定時(shí)間一致算法的有效性.

考慮一組智能體由1 個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者和4 個(gè)跟隨者組成,其交互圖如圖3 所示.將虛擬領(lǐng)導(dǎo)者(2)的控制輸入設(shè)計(jì)為u0=?sin(x0)/(1+exp(?t))使得.定義智能體組初始狀態(tài)為x(0)=[?200,?50,50,150,200]T,v(0)=[?100,60,90,?80,100]T,擾動(dòng)di=10 sin(0.1xi),fi=2 cos(xi(t)),根據(jù)引理2,為了使參數(shù)滿足約束條件m1/n1?p1/q1>1,p1/q1>1/2,將式(22)和式(36)中的參數(shù)賦值為α1=β1=α2=β2=4,m1=9,n1=5,p1=7,q1=9,m2=11 ,n2=9 ,p2=5 ,q2=7,τ=0.1.

圖3 交互拓?fù)鋱DgeFig.3 The topology graph ge

仿真結(jié)果如下圖所示,圖4 與圖6 為多智能體系統(tǒng)在兩種控制協(xié)議下的位置軌跡,圖5 與圖7 為多智能體系統(tǒng)在兩種控制協(xié)議下的速度軌跡,由圖分析可得收斂時(shí)間小于最大收斂時(shí)間,在固定時(shí)間內(nèi)多智能體系統(tǒng)達(dá)到了一致跟蹤的目標(biāo),驗(yàn)證了定理2 和定理3 中控制協(xié)議的有效性.

圖4 協(xié)議(22)下的位置軌跡Fig.4 Position trajectory under protocol (22)

圖5 協(xié)議(22)下的速度軌跡Fig.5 Speed trajectory under protocol (22)

圖6 協(xié)議(36)下的位置軌跡Fig.6 Position trajectory under protocol (36)

圖7 協(xié)議(36)下的速度軌跡Fig.7 Speed trajectory under protocol (36)

5 結(jié)論

本文研究了多智能體系統(tǒng)存在非匹配擾動(dòng)的情況下,實(shí)現(xiàn)固定時(shí)間一致跟蹤問(wèn)題.基于固定時(shí)間狀態(tài)觀測(cè)器與設(shè)計(jì)的算法,在存在非匹配干擾的情況下,實(shí)現(xiàn)多智能體系統(tǒng)固定時(shí)間一致跟蹤.由于多智能體系統(tǒng)中存在干擾,本文所引入固定時(shí)間擾動(dòng)觀測(cè)器可以估計(jì)出系統(tǒng)匹配擾動(dòng),并設(shè)計(jì)相應(yīng)的非奇異固定時(shí)間算法避免系統(tǒng)存在的奇異性且克服非匹配擾動(dòng),使多智能體系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)固定時(shí)間一致跟蹤.最后,通過(guò)仿真算例驗(yàn)證了算法的有效性.