黃翔東, 趙一冉, 苗 笛

(1.天津大學(xué)電氣自動(dòng)化與信息工程學(xué)院, 天津 300072; 2.天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)電子工程學(xué)院, 天津 300222)

0 引 言

魯棒自適應(yīng)波束形成(robust adaptive beamforming, RAB)一直是陣列信號(hào)處理領(lǐng)域的研究熱題。通過(guò)調(diào)整權(quán)重,控制陣列中各個(gè)陣元輸出,使其在期望信號(hào)方向形成增益;在干擾信號(hào)方向設(shè)置零陷,實(shí)現(xiàn)放大期望信號(hào)同時(shí)抑制干擾信號(hào)的目的。因而在雷達(dá)、聲吶、移動(dòng)通信、衛(wèi)星導(dǎo)航等領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用[1-4]。

傳統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)Capon波束形成器[5](standard Capon beamformer, SCB)因其具有較高分辨率和較強(qiáng)抗干擾能力,而被作為基本模型廣泛采用。然而當(dāng)快拍數(shù)較少、期望信號(hào)失配、觀測(cè)數(shù)據(jù)包含期望信號(hào)時(shí),傳統(tǒng)波束形成器的性能會(huì)嚴(yán)重下降。因此,提高期望信號(hào)的適配度和干擾加噪聲協(xié)方差矩陣(interference plus noise covariance matrix, INCM)的估計(jì)精度是改善波束性能的根本途徑。近年來(lái),自適應(yīng)波束形成器主要圍繞兩個(gè)方面進(jìn)行改進(jìn):對(duì)角加載方法和基于子空間分解的方法。

對(duì)角加載方法是通過(guò)在樣本協(xié)方差矩陣上增加一個(gè)尺度單位矩陣,或?qū)Ψ较蛳蛄渴┘佣渭s束而實(shí)現(xiàn)的[6],其優(yōu)點(diǎn)在于可有效地降低波束形成器對(duì)快拍數(shù)的依賴(lài)度;但其缺陷在于:難以選擇適用于不同環(huán)境下最優(yōu)的對(duì)角加載因子,且當(dāng)輸入信噪比較高時(shí),其性能下降嚴(yán)重[7-8]。

而基于子空間分解的思路是:對(duì)樣本協(xié)方差矩陣做有效的處理,將觀測(cè)空間分解為期望信號(hào)子空間、干擾子空間和噪聲子空間,從中估計(jì)出INCM,再進(jìn)一步結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)SCB而完成波束形成器設(shè)計(jì)[9]。具體地,一方面,需要提升INCM的估計(jì)精度,另一方面,需要降低構(gòu)造INCM的復(fù)雜度[10-11]。

文獻(xiàn)[12]通過(guò)在期望信號(hào)入射角度以外的所有區(qū)間對(duì)Capon空間譜進(jìn)行積分,首次解決了不可觀測(cè)的INCM的估計(jì)問(wèn)題,然而這種大范圍的數(shù)值積分也帶來(lái)了高計(jì)算復(fù)雜度;文獻(xiàn)[13]在文獻(xiàn)[12]基礎(chǔ)上做出改進(jìn),利用一階泰勒級(jí)數(shù)逼近期望信號(hào)方向向量,提升了Capon空間譜積分區(qū)間的精度,從而優(yōu)化了波束性能,但仍然沒(méi)有解決大范圍積分帶來(lái)的高計(jì)算復(fù)雜度的問(wèn)題;文獻(xiàn)[14]提出用空間譜采樣的方法重構(gòu)INCM,大大減少了計(jì)算復(fù)雜度,然而算法對(duì)陣元數(shù)量有較高的需求;文獻(xiàn)[15]通過(guò)剔除Capon空間譜積分的殘留噪聲影響,不僅降低了計(jì)算復(fù)雜度,而且進(jìn)一步提升了波束性能;然而文獻(xiàn)[14-15]設(shè)計(jì)均建立在信號(hào)空間與干擾空間正交的基礎(chǔ)上,而實(shí)際應(yīng)用中這一假設(shè)往往不嚴(yán)格成立;文獻(xiàn)[16]則利用了噪聲空間和信號(hào)空間的正交性,通過(guò)構(gòu)造阻塞矩陣實(shí)現(xiàn)了INCM的高精度估計(jì)和高性能波束形成器的設(shè)計(jì),然而該設(shè)計(jì)要求期望信號(hào)功率遠(yuǎn)高于噪聲功率,這限制了其實(shí)際應(yīng)用。

為克服以上不足,提出基于噪聲子空間特性的波束形成器的設(shè)計(jì),其作用機(jī)理體現(xiàn)在: ① 利用噪聲子空間的寬帶分布特性,對(duì)期望信號(hào)和干擾以外的區(qū)間進(jìn)行粗采樣,計(jì)算出殘留噪聲,并將之作為補(bǔ)償量, 獲得信號(hào)協(xié)方差矩陣的估計(jì);② 利用噪聲子空間與信號(hào)子空間的正交性,對(duì)信號(hào)協(xié)方差矩陣進(jìn)行分解,從中構(gòu)造出信號(hào)正交補(bǔ)投影算子;③ 利用噪聲子空間與干擾子空間的正交性,用信號(hào)正交補(bǔ)投影算子對(duì)觀測(cè)信號(hào)進(jìn)行處理,獲得干擾功率的高精度估計(jì)。充分利用噪聲空間以上特性,可確保高精度設(shè)計(jì)出波束形成器,由于以上數(shù)值積分均在窄空間上實(shí)現(xiàn)的,因而本設(shè)計(jì)的計(jì)算復(fù)雜度較低。仿真結(jié)果驗(yàn)證了所提算法的有效性。

1 系統(tǒng)模型

考慮由M個(gè)陣元組成的均勻線(xiàn)性陣列接收遠(yuǎn)場(chǎng)信號(hào),假設(shè)有一個(gè)期望信號(hào)和J個(gè)干擾信號(hào),期望信號(hào)入射角度為θ0,干擾信號(hào)波達(dá)角(direction of arrival, DOA)為θi,i=1,2,…,J。則在k時(shí)刻的陣列接收信號(hào)可以建模為

x(k)=s(k)+i(k)+n(k)

(1)

(2)

式中：se(k)為期望信號(hào)復(fù)包絡(luò)；a0為期望信號(hào)方向向量;ai為干擾信號(hào)方向向量；si(k)是為干擾信號(hào)復(fù)包絡(luò)。假設(shè)期望信號(hào)、干擾和噪聲各自統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。

令λ表示信號(hào)波長(zhǎng)，d為陣元間距,則對(duì)于任一入射角度θ的方向向量可表示為

(3)

式中：T表示轉(zhuǎn)置,不難證明,該方向向量的l2-范數(shù)為

(4)

不妨將接收機(jī)的M個(gè)陣元上的權(quán)重矢量表示為w=[w1,w2,…,wM]T,則在k時(shí)刻可獲得波束輸出:

y(k)=wHx(k)

(5)

式中：H表示共軛轉(zhuǎn)置；最優(yōu)權(quán)重矢量w可以在輸出信干噪比(signal to interference plus noise ratio, SINR)取到最大值時(shí)得到

(6)

(7)

文獻(xiàn)[5]指出,式(6)取最大值的問(wèn)題等價(jià)于下面的優(yōu)化問(wèn)題:

s.t.wHa0=1

(8)

式(8)即為Capon波束形成器[5],其解為

(9)

實(shí)際應(yīng)用中,由于Ri+n無(wú)法直接觀測(cè)得到,通常用下式樣本協(xié)方差矩陣代替：

(10)

式中：K為快拍數(shù)。此時(shí)的最佳權(quán)重矢量為

(11)

式(11)為由樣本協(xié)方差矩陣近似推出的波束形成器,對(duì)期望信號(hào)方向向量失配較為敏感,尤其是當(dāng)高信噪比(signal to noise ratio, SNR)時(shí),性能下降嚴(yán)重。

因而,高效、高精度估計(jì)出式(9)中的INCM(即Ri+n)是RAB設(shè)計(jì)的關(guān)鍵所在。

2 算法原理

2.1 基于殘留噪聲補(bǔ)償?shù)男盘?hào)方向向量估計(jì)

式(10)對(duì)應(yīng)的Capon空間功率譜為

(12)

(13)

證明設(shè)x(k)的期望信號(hào)的入射角度和功率分別為θs、σ2,不妨聚焦于期望信號(hào)的角度區(qū)域Θs,則該區(qū)域的協(xié)方差矩陣為

(14)

將式(14)代入式(12),且令θ=θs,則可推導(dǎo)出在期望信號(hào)入射方向處的Capon空間譜功率值為

(15)

(16)

考慮到在Θs、Θi、Θn中,噪聲區(qū)域Θn的范圍最大,故為降低大范圍內(nèi)的數(shù)值積分造成的誤差累積,且考慮到噪聲特性在Θn內(nèi)的一致性,僅在Θn內(nèi)隨機(jī)選取少數(shù)采樣點(diǎn)進(jìn)行數(shù)值積分。相應(yīng)地,殘留噪聲可估算為

(17)

式中：θn是Θn中隨機(jī)采樣點(diǎn)；N為采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)。由于式(17)用隨機(jī)取樣平均取代了密集樣點(diǎn)的數(shù)值積分,故計(jì)算復(fù)雜度得以降低。

聯(lián)立式(16)和式(17),可估計(jì)實(shí)際噪聲功率為

(18)

(19)

進(jìn)一步,聚焦于期望信號(hào)區(qū)域Θs,聯(lián)立式(13)、式(19),可推出期望信號(hào)協(xié)方差矩陣為

(20)

(21)

式中：α1,α2,…,αM為由大到小排序的特征值,dn是對(duì)應(yīng)于αn的特征向量。從而,期望信號(hào)的方向向量可估計(jì)為

(22)

2.2 基于噪聲與信號(hào)正交性的互補(bǔ)投影算子構(gòu)造

為構(gòu)造干擾加噪聲協(xié)方差矩陣INCM,需消除觀測(cè)空間中期望信號(hào)成分的影響,這可通過(guò)構(gòu)造與信號(hào)子空間互補(bǔ)的投影矩陣來(lái)實(shí)現(xiàn)。

對(duì)式(22)的期望信號(hào)方向向量做歸一化,有

(23)

考慮到實(shí)際應(yīng)用中,噪聲相比于干擾更具普遍存在性,因而利用噪聲子空間與信號(hào)子空間的正交性,僅需從全集空間中減去信號(hào)子空間,即可構(gòu)造出信號(hào)互補(bǔ)投影算子U,如下式所示：

U=I-BBH

(24)

從式(24)可推知,互補(bǔ)投影算子U的物理意義在于:從觀測(cè)樣本中消去其中的期望信號(hào)分量。

進(jìn)而利用算子U對(duì)觀測(cè)向量投影,得到

i(k)+UHn(k)

(25)

從而投影后的協(xié)方差矩陣為

(26)

2.3 基于噪聲與干擾正交性的INCM構(gòu)造

構(gòu)造INCM要求估計(jì)所有干擾的方向向量和對(duì)應(yīng)功率。

為精確估計(jì)干擾方向向量,需做如下優(yōu)化:

(27)

(28)

式中：μ為拉格朗日乘子,可通過(guò)求解下式得出：

(29)

(30)

進(jìn)一步利用噪聲與干擾的正交性,有

(31)

聯(lián)立式(30)和式(31),可推出干擾功率估計(jì)：

(32)

從而,可推出最終INCM的估計(jì)結(jié)果為

(33)

最后,根據(jù)式(22)和式(33),即可得波束形成向量：

(34)

2.4 算法總結(jié)

將以上波束形成過(guò)程歸納為算法1所示。

算法1 基于噪聲子空間的波束生成器設(shè)計(jì)流程輸入: 陣元個(gè)數(shù)M、陣元接收的快拍數(shù)據(jù)以及噪聲采樣數(shù)N步驟1 根據(jù)式(10)計(jì)算采樣協(xié)方差矩陣^R,并根據(jù)式和計(jì)算殘留噪聲σ^2r和實(shí)際噪聲σ^2n;步驟2 根據(jù)式(17)和式(18)計(jì)算期望信號(hào)協(xié)方差矩陣的估計(jì)值^Rs,進(jìn)而根據(jù)式(19)和式(20),得到期望信號(hào)方向向量估計(jì)a^0;步驟3 根據(jù)式(24)構(gòu)造期望信號(hào)補(bǔ)空間U,并根據(jù)式(26)得到準(zhǔn)干擾協(xié)方差矩陣 R;步驟4 根據(jù)式(17)估計(jì)得到干擾方向向量的粗估計(jì)a-i=a( θi),1≤i≤J,后通過(guò)式(17)得到更準(zhǔn)確的估計(jì)值a^i,1≤i≤J;步驟5 根據(jù)式(28)計(jì)算第i個(gè)干擾信號(hào)功率σ^2i,并根據(jù)式(32)計(jì)算自適應(yīng)權(quán)值wpro。

3 仿真分析

其中,文獻(xiàn)[12]方法求和區(qū)域、間隔分別為(-90°,θ0-5°]∪[θ0+5°,90°)和0.1°,文獻(xiàn)[15]方法與本文求和區(qū)域?yàn)棣╯,精度值為0.1°。

3.1 信號(hào)正交補(bǔ)投影算子的傳輸特性測(cè)試

圖1 信號(hào)正交補(bǔ)投影算子的傳輸曲線(xiàn)

3.2 不同陣元數(shù)波束方向圖對(duì)比

將本文算法應(yīng)用于不同長(zhǎng)度的線(xiàn)性均勻陣列(分別設(shè)定陣元個(gè)數(shù)M=8和M=12),得到的波束方向圖如圖2。如圖2所示不同陣元數(shù)的波束方向圖略有不同,陣元數(shù)為12時(shí)比陣元數(shù)為8時(shí)得到的方向圖主瓣變窄,但是都在干擾角度(即-40°和20°)形成了較深的凹陷,這體現(xiàn)出本文方法對(duì)干擾抑制的自適應(yīng)性。因而,工程實(shí)現(xiàn)時(shí),需要在陣列孔徑盡量大的前提下,才可以實(shí)現(xiàn)對(duì)近鄰方向的干擾做深度抑制。

圖2 不同陣元數(shù)波束方向圖對(duì)比

3.3 DOA存在誤差時(shí)對(duì)比試驗(yàn)仿真結(jié)果

令陣列個(gè)數(shù)M=8,當(dāng)DOA存在+2°誤差,即θ0=-3°時(shí),仍將本文方法與以上提及的波束形成器做對(duì)比,分別觀察輸入SNR、快拍數(shù)對(duì)SINR的影響，結(jié)果如圖3所示。圖3(a)中,設(shè)定快拍數(shù)為80,設(shè)定輸入SNR范圍為[-10,30]dB;圖3(b)中,固定輸入SNR為30 dB,快拍數(shù)變化范圍為[10,100]次;可看出在有DOA誤差情況下,文獻(xiàn)[5]、文獻(xiàn)[7]、文獻(xiàn)[10]的傳輸性能較差,特別是當(dāng)輸入SNR提高到15 dB后,SINR出現(xiàn)惡化,這是因?yàn)檫@些方法將INCM用樣本協(xié)方差矩陣粗略替代。而本文在INCM構(gòu)造時(shí),做了各全面與噪聲特性有關(guān)的全面考慮,故其傳輸曲線(xiàn)(以“ ☆”標(biāo)記)避開(kāi)了高信噪比的性能惡化效應(yīng)。進(jìn)一步可看出, 本方法得到的SINR曲線(xiàn)明顯高于文獻(xiàn)[12](以“ ◇”標(biāo)記)和文獻(xiàn)[13](以“?”標(biāo)記)的方法,這是因?yàn)檫@兩種方法忽略了殘留噪聲誤差帶來(lái)的影響。而本文考慮了殘留噪聲影響的同時(shí)充分利用了子空間的相互正交特性,故輸出信干燥比性能得以改善。

圖3 DOA誤差下性能對(duì)比

另外,還可看出本文方法得到的SINR曲線(xiàn)略微高于文獻(xiàn)[15](以“□”標(biāo)記)的方法,這充分反映了基于噪聲特性設(shè)計(jì)的理論優(yōu)越性。且本文在估計(jì)殘留噪聲時(shí)采用了隨機(jī)取樣并在構(gòu)造互補(bǔ)投影算子U時(shí)避開(kāi)了矩陣求逆過(guò)程,在性能改善的同時(shí)降低了算法復(fù)雜度,故綜合實(shí)用性更高。

從圖3(b)可看出,本文算法與文獻(xiàn)[15]算法性能最好,文獻(xiàn)[12]和文獻(xiàn)[13]性能略差,這3種方法均僅耗費(fèi)10次快拍即可得到35 dB以上的SINR輸出;相比而言,文獻(xiàn)[5]、文獻(xiàn)[7]、文獻(xiàn)[10]的輸出SINR整體大幅下降20 dB左右,且需較多快拍數(shù)。

4 結(jié) 論

針對(duì)已有波束形成算法在高信噪比時(shí)輸出下降以及計(jì)算量過(guò)大等問(wèn)題,本文提出基于噪聲子空間特性的波束形成器,該算法充分利用了信號(hào)、干擾和噪聲空間的正交性。由于本文設(shè)計(jì)兼具低計(jì)算復(fù)雜度和高輸出SINR,因而在雷達(dá)、聲吶、移動(dòng)通信等領(lǐng)域有應(yīng)用前景。然而本文算法僅適用于密集陣列,未來(lái)將在稀疏陣列的波束形成器設(shè)計(jì)方面做努力。