阮猛， 王之強(qiáng)， 李鵬飛

(1.西安市軌道交通集團(tuán)建設(shè)分公司， 陜西 西安 710000；2.陜西建工機(jī)械施工集團(tuán)有限公司， 陜西 西安 710048；3.陜西建工集團(tuán)有限公司， 陜西 西安 710003)

桿系結(jié)構(gòu)在橋梁中應(yīng)用十分廣泛，包括平面桿系和空間桿系。當(dāng)荷載增大到某一限值時(shí)，結(jié)構(gòu)體系可能出現(xiàn)失穩(wěn)，即偏離原有的變形形式而過渡到另一種平衡狀態(tài)或整個(gè)結(jié)構(gòu)喪失承載能力。因此，對(duì)桿系結(jié)構(gòu)進(jìn)行非線性分析十分必要。目前關(guān)于幾何非線性分析的理論已十分成熟，如王欣、孟陽君等在傳統(tǒng)幾何非線性分析方法的基礎(chǔ)上，基于CR列式法得到平面桿系單元的切線剛度矩陣，提出了適用于大變形幾何非線性分析的方法；李云飛、王殿龍等引入剛體準(zhǔn)則及廣義位移控制法，解決了極值點(diǎn)和回彈點(diǎn)附近迭代方向不能有效確定的問題；鄧?yán)^華、丁泉順等同時(shí)考慮幾何非線性與徐變共同作用，基于隨轉(zhuǎn)坐標(biāo)法及初應(yīng)變法推導(dǎo)了平衡方程；劉鋒、魏鵬等基于Green-lagrange應(yīng)變和第二類Piola-Kirchhoff應(yīng)力，推導(dǎo)了適用于空間桿系結(jié)構(gòu)幾何非線性分析的剛度矩陣。常用桿系結(jié)構(gòu)幾何非線性分析方法包括荷載增量法、Newton-Raphson法(簡(jiǎn)稱NR法)、弧長法。荷載增量法將荷載分成一系列荷載增量，可在幾個(gè)荷載步或一個(gè)荷載步的幾個(gè)子步內(nèi)施加荷載增量，在每個(gè)荷載增量求解完成后，繼續(xù)進(jìn)行下一個(gè)荷載增量之前調(diào)整剛度矩陣以反映結(jié)構(gòu)剛度的非線性變化。NR法是一種常用的求解非線性方程的線性化方法，每次平衡迭代都要修改一次剛度矩陣，具有很好的收斂性能，但頻繁地修改剛度矩陣使其計(jì)算工作量大。弧長法是一種通過圓弧把荷載增量因子與位移增量相聯(lián)系的求解方法，通過加強(qiáng)弧長迭代得到沿與平衡路徑相交的圓弧收斂，從而獲得不穩(wěn)定性問題(KT→0)或負(fù)的切線剛度(KT<0)的數(shù)值穩(wěn)定解。目前對(duì)于如何根據(jù)實(shí)際問題選擇合適方法的研究少之又少。該文選取2個(gè)平面桿系結(jié)構(gòu)、2個(gè)空間桿系結(jié)構(gòu)，分別編制適用于大變形幾何非線性分析的有限元程序，對(duì)比3種方法的計(jì)算結(jié)果，研究適用于平面及空間桿系結(jié)構(gòu)幾何非線性分析的一般步驟及方法選擇依據(jù)。

1 平面及空間桿系結(jié)構(gòu)有限元分析

選用有限元程序ANSYS，針對(duì)荷載增量法、弧長法和NR法編制相應(yīng)計(jì)算程序，分別對(duì)2個(gè)平面桿系結(jié)構(gòu)、2個(gè)空間桿系結(jié)構(gòu)進(jìn)行數(shù)值分析。采用ANSYS程序作幾何非線性分析時(shí)，打開大位移選項(xiàng)，根據(jù)實(shí)際問題類型設(shè)置求解控制選項(xiàng)。在大多數(shù)實(shí)際問題分析中，需引入缺陷(模型更新)“激發(fā)”結(jié)構(gòu)的非線性分析，但對(duì)拱類結(jié)構(gòu)則不必引入缺陷而直接進(jìn)行非線性分析。對(duì)于兩端鉸接的軸心受壓桿、平面桁架、空間鋼架和六角星形穹頂結(jié)構(gòu)，除兩端鉸接的軸心受壓桿必須引入初始缺陷外，其余3個(gè)均可不引入(計(jì)算結(jié)果無明顯差異)。

1.1 兩端鉸接的軸心受壓桿

圖1為兩端鉸接的軸心受壓桿，其保持彈性穩(wěn)定的臨界荷載Pcr=π2EI/L2。

如圖2及表1所示，對(duì)于該軸心受壓桿，采用3種方法進(jìn)行幾何非線性分析，均收斂且計(jì)算結(jié)果基本一致。計(jì)算時(shí)間上荷載增量法和NR法用時(shí)較少，精度上則是弧長法與理論解更接近。

圖1 軸心受壓桿件構(gòu)造示意圖

圖2 壓桿中點(diǎn)荷載-位移曲線

表1 壓桿幾何非線性計(jì)算方法對(duì)比

1.2 平面桁架

如圖3所示，該桁架的幾何非線性分析為經(jīng)典的跳越問題，荷載與頂點(diǎn)位移的理論關(guān)系為P=EA0x(x-sinθ0)(x-2sinθ0)。

圖3 平面桁架結(jié)構(gòu)示意圖

如圖4及表2所示，對(duì)于該平面桁架結(jié)構(gòu)，采用3種方法進(jìn)行幾何非線性分析，只有弧長法收斂，而NR法與弧長法的計(jì)算結(jié)果在到達(dá)第一個(gè)極值點(diǎn)之前基本一致，荷載增量法則差異較大。計(jì)算時(shí)間上NR法及弧長法用時(shí)較少，精度上則是弧長法與理論解最接近。

圖4 平面桁架頂點(diǎn)荷載-位移曲線

表2 平面桁架幾何非線性計(jì)算方法對(duì)比

1.3 空間鋼架

圖5為空間鋼架結(jié)構(gòu)，假定6個(gè)邊節(jié)點(diǎn)均為滑動(dòng)鉸支座，當(dāng)中間六桿劃分為3個(gè)單元以上時(shí)，不同單元數(shù)目的計(jì)算結(jié)果之間的誤差在0.5%以內(nèi)。

圖5 空間鋼架結(jié)構(gòu)示意圖

如圖6及表3所示，對(duì)于該空間鋼架結(jié)構(gòu)，采用3種方法進(jìn)行幾何非線性分析，只有弧長法收斂，而NR法與荷載增量法的計(jì)算結(jié)果在到達(dá)第一個(gè)極值點(diǎn)之前基本一致。計(jì)算時(shí)間上弧長法用時(shí)最少，精度上弧長法與理論解最接近。

圖6 空間鋼架中心點(diǎn)荷載-位移曲線

表3 空間鋼架幾何非線性計(jì)算方法對(duì)比

1.4 六角星形穹頂

圖7為六角星形穹頂結(jié)構(gòu)，假定6個(gè)支承均為鉸結(jié)，頂點(diǎn)承受集中力作用，空間桁架采用Link8單元模擬。

圖7 六角星形穹頂結(jié)構(gòu)示意圖

如圖8及表4所示，對(duì)于該六角星形穹頂結(jié)構(gòu)，采用3種方法進(jìn)行幾何非線性分析，均收斂且計(jì)算結(jié)果基本一致。計(jì)算時(shí)間上NR法用時(shí)最少，精度上NR法與理論解更接近。

圖8 穹頂結(jié)構(gòu)頂點(diǎn)荷載-位移曲線

表4 穹頂結(jié)構(gòu)幾何非線性計(jì)算方法對(duì)比

2 分析方法論證

從以上4個(gè)算例來看，不同計(jì)算方法均有其優(yōu)勢(shì)，荷載增量法在求解已知荷載水平問題時(shí)可較方便地提取數(shù)據(jù)和分析結(jié)果，NR法計(jì)算速度較快且結(jié)果可靠，弧長法在計(jì)算極值點(diǎn)問題時(shí)較易收斂。在進(jìn)行幾何非線性分析時(shí)，首先要判斷施工荷載是否達(dá)到結(jié)構(gòu)的臨界荷載，而臨界荷載的大小取決于結(jié)構(gòu)剛度。以穹頂結(jié)構(gòu)為例，按不同剛度Iy進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果見圖9。

圖9 不同剛度下穹頂結(jié)構(gòu)荷載-位移曲線

從圖9可看出：當(dāng)桿件抗彎剛度較小時(shí)，均會(huì)發(fā)生跳越；而剛度增大超過一定數(shù)值后，不再發(fā)生跳越。由此可見，對(duì)于桿系結(jié)構(gòu)幾何非線性分析，首先要進(jìn)行線性的特征值屈曲分析，得到結(jié)構(gòu)的臨界荷載，這樣既可幫助合理選擇計(jì)算方法，也有助于判斷計(jì)算結(jié)果正確與否。然后對(duì)比臨界荷載與所要計(jì)算荷載的大小，若臨界荷載大于計(jì)算荷載，則優(yōu)先選用NR法計(jì)算；若臨界荷載小于計(jì)算荷載，則選用弧長法進(jìn)行計(jì)算。

3 結(jié)語

針對(duì)平面和空間桿系結(jié)構(gòu)編制荷載增量法、弧長法和NR法的有限元程序，通過對(duì)比分析有限元及理論計(jì)算結(jié)果，總結(jié)適用于平面及空間桿系結(jié)構(gòu)幾何非線性分析的一般步驟和方法選擇依據(jù)。對(duì)于桿系結(jié)構(gòu)幾何非線性分析，首先要進(jìn)行線性的特征值屈曲分析，得到結(jié)構(gòu)的臨界荷載。然后對(duì)比臨界荷載與所要計(jì)算荷載的大小，若臨界荷載大于計(jì)算荷載，則優(yōu)先選用NR法計(jì)算；若臨界荷載小于計(jì)算荷載，則選用弧長法進(jìn)行計(jì)算。對(duì)于在特定的一個(gè)或多個(gè)荷載作用下結(jié)構(gòu)非線性分析問題，則可采用荷載增量法計(jì)算。