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初中數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)是指在理解的基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型，類比遷移，運(yùn)用數(shù)學(xué)模型批判地學(xué)習(xí)新思想、分析事實(shí)，并將新知識融入原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，進(jìn)而提升學(xué)習(xí)層次和探究能力。

初中數(shù)學(xué)建模教學(xué)的一般思路是“提出問題——分析問題——選擇模型——建立模型——得出結(jié)論”，以問題的探究為主要目標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會大膽質(zhì)疑、思想碰撞，產(chǎn)生火花，從而讓學(xué)生思考得更深刻，有效提升學(xué)生思維的廣度和深度。筆者以“二次函數(shù)圖像中線段和差最值的存在性問題”教學(xué)設(shè)計(jì)為例進(jìn)行了實(shí)踐性的思考與總結(jié)，談?wù)劷虒W(xué)設(shè)計(jì)中的深度學(xué)習(xí)應(yīng)呈現(xiàn)出什么樣的狀態(tài)，教學(xué)設(shè)計(jì)在建模學(xué)習(xí)的過程中能夠發(fā)揮什么樣的作用，建模學(xué)習(xí)是如何幫助學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)的，請同行指正。

學(xué)習(xí)目標(biāo)要求本課內(nèi)容為九年級數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課“二次函數(shù)圖像中線段和差最值的存在性問題”，要求學(xué)生能通過對具體問題的分析，體會函數(shù)變量之間的變化關(guān)系，探究發(fā)現(xiàn)幾何中線段和差最值的轉(zhuǎn)化與建模途徑，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識解決二次函數(shù)的相關(guān)問題的能力。

一、提出問題

提出要探究的問題，引導(dǎo)學(xué)生尋找解決問題的數(shù)學(xué)模型，設(shè)計(jì)具有挑戰(zhàn)性的問題，培養(yǎng)幾何直觀、運(yùn)算與推理能力，建構(gòu)知識，生成能力，遷移方法。

教學(xué)活動1探究下列問題，畫出對應(yīng)的幾何模型

問題1拋物線y=2x2-12x+16與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D。點(diǎn)P是該拋物線對稱軸上的一個動點(diǎn)，要使得△PAC的周長最小，求點(diǎn)P坐標(biāo)。

解析：如圖1，連接BC，交直線x=3于點(diǎn)P，根據(jù)對稱性有PA=PB，求出直線B C的表達(dá)式為y=-4x+16，∴點(diǎn)P（3，4）。

圖1

【設(shè)計(jì)意圖】找出點(diǎn)A關(guān)于直線x=3的對稱點(diǎn)B，連接CB，依據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”揭示此類求線段和最小值題目的本質(zhì)特征，為學(xué)生解決后續(xù)問題鋪設(shè)臺階，有效提升學(xué)生識圖建模能力。

二、變式探究

在不改變知識本質(zhì)特征的前提下，變換其非本質(zhì)特征，引導(dǎo)學(xué)生在動態(tài)變化的情境中強(qiáng)化對本質(zhì)特征的理解，將已有的知識遷移到動態(tài)的情境中，理解數(shù)學(xué)模型的價(jià)值，探究真問題，拓展數(shù)學(xué)思維的深度和廣度。

教學(xué)活動2 梳理數(shù)學(xué)模型，尋求問題1和變式問題的內(nèi)在聯(lián)系

變式1拋物線y=2x2-12x+16與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D。拋物線上有一點(diǎn)E，E的橫坐標(biāo)為5，點(diǎn)F（m，0）是x軸上的一個動點(diǎn)，當(dāng)F C+E F的值最小時，求m的值。

解析：如圖2，作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)E′，連接C E′交x軸于點(diǎn)F，求得直線C E′的表達(dá)式為根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短，F(xiàn) C+E F=FC+E′F=CE′，此時F C+EF的值最小

圖2

變式2拋物線y=2x2-12x+16與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，點(diǎn)G(0，n)是y軸上的一個動點(diǎn)，求線段GD與G A中較長的線段減去較短的線段的差的最小值與最大值，并求出相應(yīng)的n的值。

解析：如圖3，當(dāng)A、G、D三點(diǎn)共 線 時，|GD-GA|=AD，求得直線A D的表達(dá)式為y=-2x+4，此時G(0，4)，∴n=4。當(dāng)G′D-G′A=0，即G′D=G′A時，|GD-G A|有最小值為0。此時AD的垂直平分線G′E的表達(dá)式為

圖3

變式3拋物線y=2x2-12x+16與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，K是O C中點(diǎn)。一個動點(diǎn)Q從K點(diǎn)出發(fā)，先經(jīng)過x軸上的M點(diǎn)，再經(jīng)過拋物線對稱軸上的點(diǎn)N，然后返回到C，如果動點(diǎn)Q走過的路程最短，請找出點(diǎn)M、N位置，并求出最短路程。

解析：如圖4，根據(jù)對稱性分別找出點(diǎn)K、點(diǎn)C的對稱點(diǎn)K′、C′，再連接K′C′，分別交x軸于點(diǎn)M，交直線x=3于點(diǎn)N，動點(diǎn)Q的最短路程為S=KM+M N+CN=K′M+M N+C′N′，∴S=K′C′?？?求 出C′(6,16)，K′(0,-8)，∴最 短 路 程S=

圖4

【設(shè)計(jì)意圖】以上問題及變式，強(qiáng)化了學(xué)生對數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識、積累。學(xué)生通過尋找對稱點(diǎn)，求解線段和、差最值問題，掌握方法與策略，再通過變式訓(xùn)練，便真正能知其然，更能知其所以然。學(xué)生經(jīng)歷化繁為簡、轉(zhuǎn)難為易的深度思考，學(xué)會在新情境中運(yùn)用新結(jié)論解決問題，深度學(xué)習(xí)的雛形初現(xiàn)。

三、拓展提升

設(shè)計(jì)思維清晰的系列問題，引導(dǎo)學(xué)生感知求解方法是建立在數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上的。通過對比上述建模解題的方法，積累經(jīng)驗(yàn)，引發(fā)學(xué)生深入思考，真正將其內(nèi)化，實(shí)現(xiàn)由低階思維走向高階思維。

教學(xué)活動3 體驗(yàn)建構(gòu)過程，挑戰(zhàn)新問題

問題2如圖5，已知一條直線與拋物線y=相交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別是-2、8。

圖5

（1）求這條直線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）如圖6，設(shè)直線AB分別與x軸、y軸交于點(diǎn)D、E，F(xiàn)為OD的中點(diǎn)，將線段O F順時針旋轉(zhuǎn)得到O F′，旋轉(zhuǎn)角α(0°＜α＜90°)，連接D F′，EF′，求的最小值。

圖6

解析：（1）求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為點(diǎn)A(-2，1)，B(8，16)，直線AB的表達(dá)式為

又∠F′O G=∠E OF′，∴△OF′G∽ΔO E F′，有F′G=當(dāng)D、F′、G三點(diǎn)共線時，的值最小

【設(shè)計(jì)意圖】拓展深化一類數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生明晰數(shù)學(xué)方法的多樣性，體驗(yàn)利用構(gòu)造相似三角形的手段，巧妙轉(zhuǎn)化線段的長度，類比遷移，優(yōu)化求解線段和最小值的方法。學(xué)生經(jīng)歷建模轉(zhuǎn)化的過程，體會其中的數(shù)學(xué)思想方法，形成數(shù)學(xué)的思維方式。

四、延伸升華

真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，得到必要的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，深入思考問題本質(zhì)，讓深層次思考成為建模探究的必然之需。

教學(xué)活動4 理解模型，感悟思想

問題3如圖7，已知一次函數(shù)y=x+3的圖像與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=-x2+bx+c過A、B兩點(diǎn)，且與x軸交于另一點(diǎn)C。

圖7

（1）求b、c的值；

（2）如圖7，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段B D上，且BE=2ED，連接CE并延長交拋物線于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）將直線AB繞著點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)15°后交y軸于點(diǎn)G，連接C G，如圖8，P為△A O G內(nèi)一點(diǎn)，連接P A、PC、PG，分別以AP、AG為邊在它們的左側(cè)作等邊三角形APR、等邊三角形AGQ，連接Q R。

圖8

①求證：P G=RQ；

②求PA+P C+PG最小值。

解析：（1）b=-2，c=3；（2）直線C E的表達(dá)式為；（3）連接C Q，PA+P C+PG=P C+PR+QR≥C Q，∴當(dāng)C、P、R、Q四點(diǎn)共線時，P A+P C+P G有最小值。求得

【設(shè)計(jì)意圖】問題3為學(xué)生提供多角度、多層次的探究空間，從繞旋的角度發(fā)現(xiàn)△PAG≌△R A Q，將問題2的解法自然遷移至此，類比探究方法，教學(xué)設(shè)計(jì)環(huán)環(huán)相扣，層次分明，思維訓(xùn)練指向核心問題。

五、教后反思

1.建模構(gòu)造，積累策略。

合作式建模學(xué)習(xí)方式，能促使學(xué)生集思廣益，找到解決問題的最優(yōu)策略。本課例以一個二次函數(shù)最值問題為中心，讓學(xué)生在教師設(shè)置的變式問題的引導(dǎo)下，建構(gòu)基本幾何模型，依靠已有的知識經(jīng)驗(yàn)和思維實(shí)踐活動主動地解決問題，以達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、養(yǎng)成探究的習(xí)慣與態(tài)度的目的。

2.分解模型，正向遷移。

將要解決的問題抽象分解出基本模型，從而得到解決問題的方法。如何破題，如何分享解題思路，有幾種解題方法，其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法是什么，題目的易錯點(diǎn)在哪里等。在分解模型的過程中，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會對重點(diǎn)問題、難點(diǎn)問題深入思考，充分打開思維，對問題進(jìn)行深度剖析。通過一題多解、多題一解，學(xué)生的思維充分碰撞，閃現(xiàn)出創(chuàng)造的火花，創(chuàng)新意識、歸納總結(jié)能力得到有效提升，知識網(wǎng)絡(luò)得到有效建構(gòu)，學(xué)會思考、表達(dá)、耐心傾聽，處理信息和反思評價(jià)的能力得到提高，思考也向縱深發(fā)展。

3.強(qiáng)化意識，提升素養(yǎng)。

倡導(dǎo)獨(dú)立思考后的小組合作，采用“完整經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型的抽象過程”，積累二次函數(shù)背景下線段和差最值問題的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，能強(qiáng)化學(xué)生的模型意識。在建?；顒油瓿珊螅處熞龑?dǎo)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)，將數(shù)學(xué)模型內(nèi)化，成為自己解決問題的一種方法。了解和經(jīng)歷解決實(shí)際問題的全過程，促進(jìn)模型思想的滲透。

“學(xué)的真諦在于悟”，通過變式拓展問題，解析數(shù)學(xué)模型，深度學(xué)習(xí)，解決真問題，揭示線段和差的最值求法的內(nèi)在規(guī)律。問題情境變化了，但幾何圖形的基本性質(zhì)和解決問題的方法沒有變化。學(xué)生在發(fā)現(xiàn)、辨析、反思中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)模型的認(rèn)知策略，提升學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力。